# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/lingkaran/lingkaran-dan-garis-singgung
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/circle/circle-and-tangent-line/id.mdx
Temukan garis singgung lingkaran. Pelajari persamaan, sifat, dan selesaikan soal titik luar serta garis singgung persekutuan dengan solusi detail.
---
## Pengertian Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik perpotongan antara garis singgung dan lingkaran disebut titik singgung.
Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung Lingkaran
- description: Garis singgung memotong lingkaran tepat di satu titik.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "P", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 3, y: -3, z: 0 },
{ x: 3, y: 3, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "Garis singgung", at: 1, offset: [1.5, 0, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
**Sifat penting:** Garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran di titik singgung.
## Persamaan Garis Singgung Lingkaran
### Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran
Jika titik $$(x_1, y_1)$$ terletak pada lingkaran $$x^2 + y^2 = r^2$$, maka persamaan garis singgung di titik tersebut adalah:
Visible text: Jika titik terletak pada lingkaran , maka persamaan garis singgung di titik tersebut adalah:
```math
x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2
```
Untuk lingkaran dengan pusat $$(a, b)$$:
Visible text: Untuk lingkaran dengan pusat :
```math
(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2
```
### Garis Singgung dengan Gradien Tertentu
Persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 = r^2$$ dengan gradien $$m$$ adalah:
Visible text: Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien adalah:
```math
y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
Untuk lingkaran dengan pusat $$(a, b)$$:
Visible text: Untuk lingkaran dengan pusat :
```math
y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
## Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran
Dari sebuah titik di luar lingkaran, dapat ditarik dua garis singgung ke lingkaran tersebut.
Component: LineEquation
Props:
- title: Dua Garis Singgung dari Titik Luar
- description: Dari titik $$P$$ di luar lingkaran dapat ditarik dua
garis singgung.
Visible text: Dari titik di luar lingkaran dapat ditarik dua
garis singgung.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2.5 * Math.cos(angle),
y: 2.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 5, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P", at: 0, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: (() => {
const P = { x: 5, y: 0 };
const O = { x: 0, y: 0 };
const r = 2.5;
const d = Math.sqrt((P.x - O.x) ** 2 + (P.y - O.y) ** 2);
// Angle from center to external point
const theta = Math.atan2(P.y - O.y, P.x - O.x);
// Angle of tangent line from center
const alpha = Math.asin(r / d);
// First tangent point
const T1x = O.x + r * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha);
const T1y = O.y + r * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha);
return [
{ x: P.x, y: P.y, z: 0 },
{ x: T1x, y: T1y, z: 0 },
];
})(),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "T₁", at: 1, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const P = { x: 5, y: 0 };
const O = { x: 0, y: 0 };
const r = 2.5;
const d = M ... [truncated; 1729 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
### Panjang Garis Singgung
Jika $$P(x_1, y_1)$$ adalah titik di luar lingkaran dengan pusat $$O(a, b)$$ dan jari-jari $$r$$, maka panjang garis singgung dari P ke lingkaran adalah:
Visible text: Jika adalah titik di luar lingkaran dengan pusat dan jari-jari , maka panjang garis singgung dari P ke lingkaran adalah:
```math
PT = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2}
```
## Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
### Garis Singgung Persekutuan Luar
Garis singgung persekutuan luar adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dan tidak memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.
Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung Persekutuan Luar
- description: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang sama.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "O₁", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "O₂", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -3, y: 0 };
const O2 = { x: 3, y: 0 };
const r1 = 1.5;
const r2 = 2;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);
// Angle between center line and common tangent
const alpha = Math.asin((r2 - r1) / d);
// Angle from O1 to O2
const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x);
// Tangent points on first circle
const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI/2 - alpha);
const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI/2 - alpha);
// Tangent points on second circle
const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(thet ... [truncated; 2702 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Panjang garis singgung persekutuan luar:
```math
l = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}
```
di mana $$d$$ adalah jarak antara kedua pusat lingkaran.
Visible text: di mana adalah jarak antara kedua pusat lingkaran.
### Garis Singgung Persekutuan Dalam
Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dan memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.
Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung Persekutuan Dalam
- description: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "O₁", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "O₂", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -3, y: 0 };
const O2 = { x: 3, y: 0 };
const r1 = 1.5;
const r2 = 1.5;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);
// For internal common tangent, we need to find the angle
const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d);
// Angle from O1 to O2
const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x);
// For internal tangent, tangent points are on opposite sides
// First circle: top side
const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI/2 - alpha);
const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI/2 - alpha);
// ... [truncated; 2939 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Panjang garis singgung persekutuan dalam:
```math
l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}
```
## Menentukan Persamaan Garis Singgung
### Menentukan Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 = 25$$ di titik $$(3, 4)$$.
Visible text: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik .
**Penyelesaian:**
Karena titik $$(3, 4)$$ terletak pada lingkaran (dapat diverifikasi: $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$), maka persamaan garis singgungnya:
Visible text: Karena titik terletak pada lingkaran (dapat diverifikasi: ), maka persamaan garis singgungnya:
Component: MathContainer
Children:
```math
x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2
```
```math
3x + 4y = 25
```
### Menentukan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 = 16$$ yang sejajar dengan garis $$3x - 4y + 5 = 0$$.
Visible text: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar dengan garis .
**Penyelesaian:**
Gradien garis $$3x - 4y + 5 = 0$$ adalah $$m = \frac{3}{4}$$.
Visible text: Gradien garis adalah .
Persamaan garis singgung dengan gradien $$m = \frac{3}{4}$$:
Visible text: Persamaan garis singgung dengan gradien :
Component: MathContainer
Children:
```math
y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 4\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 4\sqrt{1 + \frac{9}{16}}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 4\sqrt{\frac{25}{16}}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 4 \cdot \frac{5}{4}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 5
```
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
- $$y = \frac{3}{4}x + 5$$ atau $$3x - 4y + 20 = 0$$
- $$y = \frac{3}{4}x - 5$$ atau $$3x - 4y - 20 = 0$$
Visible text: - atau
- atau
### Menghitung Panjang Garis Singgung dari Titik Luar
Tentukan panjang garis singgung dari titik $$P(7, 1)$$ ke lingkaran $$x^2 + y^2 = 25$$.
Visible text: Tentukan panjang garis singgung dari titik ke lingkaran .
**Penyelesaian:**
Pusat lingkaran $$O(0, 0)$$ dan jari-jari $$r = 5$$.
Visible text: Pusat lingkaran dan jari-jari .
Component: MathContainer
Children:
```math
PT = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2}
```
```math
PT = \sqrt{(7 - 0)^2 + (1 - 0)^2 - 25}
```
```math
PT = \sqrt{49 + 1 - 25}
```
```math
PT = \sqrt{25}
```
```math
PT = 5
```
## Latihan Soal
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 = 36$$ di titik $$(-3, 3\sqrt{3})$$!
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$$ yang tegak lurus dengan garis $$2x + y - 5 = 0$$!
3. Dari titik $$A(10, 0)$$ ditarik garis singgung ke lingkaran $$x^2 + y^2 = 36$$. Tentukan:
- Panjang garis singgung
- Koordinat titik-titik singgung
4. Dua lingkaran masing-masing berpusat di $$O_1(-4, 0)$$ dengan jari-jari $$2$$ dan $$O_2(4, 0)$$ dengan jari-jari $$3$$. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ yang melalui titik $$(8, -2)$$!
Visible text: 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik !
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan garis !
3. Dari titik ditarik garis singgung ke lingkaran . Tentukan:
- Panjang garis singgung
- Koordinat titik-titik singgung
4. Dua lingkaran masing-masing berpusat di dengan jari-jari dan dengan jari-jari . Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik !
### Kunci Jawaban
1. **Persamaan garis singgung di titik pada lingkaran**
Verifikasi titik pada lingkaran:
```math
(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36 \space \checkmark
```
Persamaan garis singgung:
```math
x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2
```
```math
-3x + 3\sqrt{3}y = 36
```
```math
-x + \sqrt{3}y = 12
```
```math
x - \sqrt{3}y + 12 = 0
```
2. **Garis singgung tegak lurus dengan garis tertentu**
Gradien garis $$2x + y - 5 = 0$$ adalah $$m_1 = -2$$.
Karena tegak lurus, maka $$m_2 = \frac{1}{2}$$.
Persamaan garis singgung:
```math
y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
```math
y + 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \pm 5\sqrt{1 + \frac{1}{4}}
```
```math
y + 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \pm 5 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}
```
```math
y + 3 = \frac{1}{2}x - 1 \pm \frac{5\sqrt{5}}{2}
```
Jadi: $$x - 2y - 4 \pm 5\sqrt{5} = 0$$
3. **Garis singgung dari titik luar**
- Panjang garis singgung:
```math
AT = \sqrt{10^2 + 0^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8
```
- Koordinat titik singgung dapat dicari dengan persamaan garis singgung dari titik luar.
4. **Garis singgung persekutuan luar**
```math
d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8
```
```math
l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{64 - 1} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}
```
5. **Garis singgung melalui titik luar**
Lingkaran: $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$
Pusat $$(3, -2)$$, jari-jari $$r = 5$$
Verifikasi titik $$(8, -2)$$ di luar lingkaran:
```math
(8-3)^2 + (-2+2)^2 = 25 + 0 = 25
```
Titik tepat pada lingkaran! Maka persamaan garis singgungnya:
```math
(8-3)(x-3) + (-2+2)(y+2) = 25
```
```math
5(x-3) + 0 = 25
```
```math
x - 3 = 5
```
```math
x = 8
```
Visible text: 1. **Persamaan garis singgung di titik pada lingkaran**
Verifikasi titik pada lingkaran:
Persamaan garis singgung:
2. **Garis singgung tegak lurus dengan garis tertentu**
Gradien garis adalah .
Karena tegak lurus, maka .
Persamaan garis singgung:
Jadi:
3. **Garis singgung dari titik luar**
- Panjang garis singgung:
- Koordinat titik singgung dapat dicari dengan persamaan garis singgung dari titik luar.
4. **Garis singgung persekutuan luar**
5. **Garis singgung melalui titik luar**
Lingkaran:
Pusat , jari-jari
Verifikasi titik di luar lingkaran:
Titik tepat pada lingkaran! Maka persamaan garis singgungnya: