# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/lingkaran/lingkaran-dan-tali-busur
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/circle/circle-and-chord/id.mdx

Pelajari hubungan lingkaran dan tali busur, termasuk teorema, sifat, dan cara menghitung panjang tali busur lewat contoh serta pembahasan.

---

## Pengertian Tali Busur

Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Berbeda dengan diameter yang melewati pusat lingkaran, tali busur dapat berada di posisi mana saja asalkan kedua ujungnya terletak pada lingkaran.

Component: LineEquation
Props:
- title: Tali Busur pada Lingkaran
- description: Berbagai tali busur dengan panjang berbeda pada sebuah lingkaran.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 6;
const angle2 = Math.PI / 3;
return [
{ x: 3 * Math.cos(angle1), y: 3 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(angle2), y: 3 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = (2 * Math.PI) / 3;
const angle2 = (5 * Math.PI) / 6;
return [
{ x: 3 * Math.cos(angle1), y: 3 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(angle2), y: 3 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "C", at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: "D", at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = (7 * Math.PI) / 6;
const angle2 = (3 * Math.PI) / 2;
return [
{ x: 3 * Math.cos(ang ... [truncated; 1459 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

Pada diagram di atas, $$AB$$, $$CD$$, dan $$EF$$ adalah tali busur dengan panjang yang berbeda-beda.

Visible text: Pada diagram di atas, , , dan adalah tali busur dengan panjang yang berbeda-beda.

## Sifat-Sifat Tali Busur

### Tali Busur Sama Panjang

Dua tali busur yang sama panjang memiliki jarak yang sama dari pusat lingkaran.

Component: LineEquation
Props:
- title: Tali Busur Sama Panjang
- description: Dua tali busur dengan panjang sama memiliki jarak sama dari pusat.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const y = 2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "P", at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: "Q", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const y = -2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "R", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: "S", at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "d₁", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: -2, z: 0 },
],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false, ... [truncated; 1258 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Jika $$PQ = RS$$, maka jarak dari pusat $$O$$ ke tali busur $$PQ$$ sama dengan jarak dari $$O$$ ke tali busur $$RS$$, yaitu $$d_1 = d_2$$.

Visible text: Jika , maka jarak dari pusat ke tali busur sama dengan jarak dari ke tali busur , yaitu .

### Garis dari Pusat Tegak Lurus Tali Busur

Garis yang ditarik dari pusat lingkaran tegak lurus terhadap tali busur akan membagi tali busur tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang.

Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Tegak Lurus dari Pusat
- description: Garis dari pusat yang tegak lurus tali busur membaginya sama panjang.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 4;
const angle2 = (3 * Math.PI) / 4;
return [
{ x: 5 * Math.cos(angle1), y: 5 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(angle2), y: 5 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const midAngle = (Math.PI / 4 + (3 * Math.PI) / 4) / 2;
const midX = 5 * Math.cos(midAngle);
const midY = 5 * Math.sin(midAngle);
const chordMidX =
(5 * Math.cos(Math.PI / 4) + 5 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4)) / 2;
const chordMidY =
(5 * Math.sin(Math.PI / 4) + 5 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4)) / 2;
return [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: chordMidX, y: chordMidY, z: 0 },
];
})(),
color: getColor("PINK"),
showPoints: true,
smooth: false,
labels: [{ text: "M", at: 1, of ... [truncated; 1690 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Pada diagram di atas, $$OM \perp AB$$ dan $$M$$ adalah titik tengah tali busur $$AB$$, sehingga $$AM = MB$$.

Visible text: Pada diagram di atas, dan adalah titik tengah tali busur , sehingga .

## Panjang Tali Busur

### Rumus Panjang Tali Busur

Untuk menghitung panjang tali busur, kita dapat menggunakan rumus:

```math
AB = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
```

Di mana:

- $$r$$ = jari-jari lingkaran
- $$\theta$$ = sudut pusat yang menghadap tali busur (dalam radian)

Visible text: - = jari-jari lingkaran
- = sudut pusat yang menghadap tali busur (dalam radian)

Hubungan antara sudut pusat dan panjang tali busur dapat kita visualisasikan sebagai berikut:

Component: LineEquation
Props:
- title: Sudut Pusat dan Tali Busur
- description: Hubungan antara sudut pusat dan panjang tali busur.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 6;
const angle2 = (2 * Math.PI) / 3;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angle1), y: 4 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angle2), y: 4 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "P", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: "Q", at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 6;
return [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angle1), y: 4 * Math.sin(angle1), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: (() => {
const angle2 = (2 * Math.PI) / 3;
return [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angle2), y: 4 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: (() => {
const startAngle = Math.PI / 6;
const endAn ... [truncated; 1558 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

### Jarak Tali Busur dari Pusat

Jarak tali busur dari pusat lingkaran dapat dihitung dengan rumus:

```math
d = r \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
```

Atau jika diketahui panjang tali busur $$l$$:

Visible text: Atau jika diketahui panjang tali busur :

```math
d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}
```

## Teorema Perpotongan Tali Busur

Jika dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran, maka hasil kali segmen-segmen dari satu tali busur sama dengan hasil kali segmen-segmen dari tali busur lainnya.

Component: LineEquation
Props:
- title: Perpotongan Dua Tali Busur
- description: Teorema perpotongan tali busur: $$PA \times PB = PC \times PD$$.
  Visible text: Teorema perpotongan tali busur: .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 3;
const angle2 = (4 * Math.PI) / 3;
return [
{ x: 5 * Math.cos(angle1), y: 5 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(angle2), y: 5 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = (5 * Math.PI) / 6;
const angle2 = (11 * Math.PI) / 6;
return [
{ x: 5 * Math.cos(angle1), y: 5 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(angle2), y: 5 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "C", at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: "D", at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
// Calculate intersection point P
const A = {
x: 5 * Math.cos(Math.PI / 3),
y: 5 * Math.sin(Math.PI / 3),
};
const B = {
x: 5 * Math.cos((4 * Math.PI) / 3),
y: 5 * Math.sin((4 * Math.PI) / 3),
};
const C = {
x: 5 * Math.cos((5 * ... [truncated; 1794 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Pada diagram di atas berlaku: $$PA \times PB = PC \times PD$$

Visible text: Pada diagram di atas berlaku:

## Sudut Keliling yang Menghadap Tali Busur Sama

Sudut-sudut keliling yang menghadap tali busur yang sama memiliki besar yang sama.

Component: LineEquation
Props:
- title: Sudut Keliling Menghadap Tali Busur Sama
- description: Sudut keliling yang menghadap tali busur $$AB$$ memiliki
besar yang sama.
  Visible text: Sudut keliling yang menghadap tali busur memiliki
besar yang sama.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const angleA = 0;
const angleB = Math.PI / 2;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angleA), y: 4 * Math.sin(angleA), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleB), y: 4 * Math.sin(angleB), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angleC = (3 * Math.PI) / 4;
const angleA = 0;
const angleB = Math.PI / 2;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angleC), y: 4 * Math.sin(angleC), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleA), y: 4 * Math.sin(angleA), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleB), y: 4 * Math.sin(angleB), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleC), y: 4 * Math.sin(angleC), z: 0 },
];
})(),
color: getColor("PINK"),
showPoints: true,
smooth: false,
labels: [{ text: "C", at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angleD = (5 * Math.PI) / 4;
const angleA = 0;
const angleB = Math.PI / 2;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angleD), y: 4 * Math.sin(angleD), z: 0 },
{ x: ... [truncated; 1505 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Pada diagram di atas, $$\angle ACB = \angle ADB$$ karena keduanya menghadap tali busur $$AB$$ yang sama.

Visible text: Pada diagram di atas, karena keduanya menghadap tali busur yang sama.

## Apotema

Apotema adalah jarak terpendek dari pusat lingkaran ke tali busur, yaitu garis yang tegak lurus dari pusat ke tali busur.

Component: LineEquation
Props:
- title: Apotema pada Tali Busur
- description: Apotema adalah garis tegak lurus dari pusat ke tali busur.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const y = 3;
const x = Math.sqrt(25 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "P", at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: "Q", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 },
],
color: getColor("PINK"),
showPoints: true,
smooth: false,
labels: [
{ text: "M", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "apotema", at: 0.5, offset: [1.2, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -0.3, y: 3, z: 0 },
{ x: -0.3, y: 2.7, z: 0 },
{ x: 0, y: 2.7, z: 0 },
],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Panjang apotema dapat dihitung dengan rumus:

```math
a = r \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}
```

Di mana:

- $$a$$ = panjang apotema
- $$r$$ = jari-jari lingkaran
- $$l$$ = panjang tali busur
- $$\theta$$ = sudut pusat

Visible text: - = panjang apotema
- = jari-jari lingkaran
- = panjang tali busur
- = sudut pusat

## Tali Busur Sejajar

Dua tali busur yang sejajar dalam lingkaran memiliki sifat khusus.

Component: LineEquation
Props:
- title: Tali Busur Sejajar
- description: Busur di antara tali busur sejajar memiliki panjang yang sama.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const y = 2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const y = -2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "C", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: "D", at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const y1 = 2;
const x1 = Math.sqrt(16 - y1 * y1);
const angle1 = Math.atan2(y1, -x1);
const y2 = -2;
const x2 = Math.sqrt(16 - y2 * y2);
const angle2 = Math.atan2(y2, -x2);
const numPoints = 20;
return Array.from({ length: numPoints + 1 }, (_, i) => {
const angle = angle1 + (angle2 - angle1) * (i / numPoints);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
});
})(),
color: getColor("PINK"),
sho ... [truncated; 1673 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Jika $$AB \parallel CD$$, maka busur $$AC$$ sama panjang dengan busur $$BD$$.

Visible text: Jika , maka busur sama panjang dengan busur .

## Latihan Soal

1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $$10 \text{ cm}$$. Jika sudut pusat yang menghadap tali busur adalah $$60^\circ$$, tentukan:

   - Panjang tali busur
   - Jarak tali busur dari pusat lingkaran

2. Dua tali busur $$AB$$ dan $$CD$$ berpotongan di titik $$P$$ di dalam lingkaran. Jika $$PA = 4 \text{ cm}$$, $$PB = 6 \text{ cm}$$, dan $$PC = 3 \text{ cm}$$, tentukan panjang $$PD$$.

3. Dalam lingkaran berjari-jari $$13 \text{ cm}$$, terdapat tali busur sepanjang $$24 \text{ cm}$$. Hitunglah jarak tali busur tersebut dari pusat lingkaran.

4. Dua tali busur sejajar dalam lingkaran masing-masing berjarak $$3 \text{ cm}$$ dan $$4 \text{ cm}$$ dari pusat lingkaran. Jika jari-jari lingkaran $$5 \text{ cm}$$, tentukan panjang kedua tali busur tersebut.

5. Buktikan bahwa tali busur terpanjang dalam lingkaran adalah diameter.

Visible text: 1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari . Jika sudut pusat yang menghadap tali busur adalah , tentukan:

 - Panjang tali busur
 - Jarak tali busur dari pusat lingkaran

2. Dua tali busur dan berpotongan di titik di dalam lingkaran. Jika , , dan , tentukan panjang .

3. Dalam lingkaran berjari-jari , terdapat tali busur sepanjang . Hitunglah jarak tali busur tersebut dari pusat lingkaran.

4. Dua tali busur sejajar dalam lingkaran masing-masing berjarak dan dari pusat lingkaran. Jika jari-jari lingkaran , tentukan panjang kedua tali busur tersebut.

5. Buktikan bahwa tali busur terpanjang dalam lingkaran adalah diameter.

### Kunci Jawaban

1. **Menghitung panjang tali busur dan jaraknya dari pusat**

   Diketahui: $$r = 10 \text{ cm}$$, $$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$$ rad

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \times 10 \times \sin\left(\frac{\pi/3}{2}\right)
   ```

     
   
   ```math
   l = 20 \times \sin(30^\circ) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ cm}
   ```

     
   
   ```math
   d = r \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 10 \times \cos(30^\circ)
   ```

     
   
   ```math
   d = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

2. **Teorema perpotongan tali busur**

   Diketahui: $$PA = 4 \text{ cm}$$, $$PB = 6 \text{ cm}$$, $$PC = 3 \text{ cm}$$

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   PA \times PB = PC \times PD
   ```

     
   
   ```math
   4 \times 6 = 3 \times PD
   ```

     
   
   ```math
   24 = 3 \times PD
   ```

     
   
   ```math
   PD = 8 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

3. **Menghitung jarak tali busur dari pusat**

   Diketahui: $$r = 13 \text{ cm}$$, $$l = 24 \text{ cm}$$

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}
   ```

     
   
   ```math
   d = \sqrt{13^2 - 12^2}
   ```

     
   
   ```math
   d = \sqrt{169 - 144}
   ```

     
   
   ```math
   d = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

4. **Tali busur sejajar**

   Diketahui: $$r = 5 \text{ cm}$$, $$d_1 = 3 \text{ cm}$$, $$d_2 = 4 \text{ cm}$$

   Untuk tali busur pertama:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l_1 = 2\sqrt{r^2 - d_1^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 8 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

   Untuk tali busur kedua:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l_2 = 2\sqrt{r^2 - d_2^2} = 2\sqrt{25 - 16} = 2\sqrt{9} = 6 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

5. **Bukti diameter adalah tali busur terpanjang**

   Untuk sebarang tali busur dengan sudut pusat $$\theta$$:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
   ```

   </MathContainer>

   Nilai maksimum $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1$$ tercapai ketika $$\frac{\theta}{2} = 90^\circ$$, yaitu $$\theta = 180^\circ$$.

   Saat $$\theta = 180^\circ$$, tali busur melewati pusat lingkaran (diameter) dengan panjang:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l_{max} = 2r \times 1 = 2r
   ```

   </MathContainer>

   Terbukti bahwa diameter adalah tali busur terpanjang.

Visible text: 1. **Menghitung panjang tali busur dan jaraknya dari pusat**

 Diketahui: , rad

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

2. **Teorema perpotongan tali busur**

 Diketahui: , , 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. **Menghitung jarak tali busur dari pusat**

 Diketahui: , 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

4. **Tali busur sejajar**

 Diketahui: , , 

 Untuk tali busur pertama:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

 Untuk tali busur kedua:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

5. **Bukti diameter adalah tali busur terpanjang**

 Untuk sebarang tali busur dengan sudut pusat :

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

 Nilai maksimum tercapai ketika , yaitu .

 Saat , tali busur melewati pusat lingkaran (diameter) dengan panjang:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

 Terbukti bahwa diameter adalah tali busur terpanjang.