# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/lingkaran/sifat-sudut-dalam-lingkaran
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/circle/properties-of-angle-in-circle/id.mdx

Pelajari sifat sudut dalam lingkaran, termasuk sudut keliling, teorema Thales, dan segiempat tali busur.

---

## Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama, tidak peduli di mana posisi titik sudutnya pada lingkaran.

Component: LineEquation
Props:
- title: Sudut Keliling Menghadap Busur yang Sama
- description: Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "D", at: 1, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 ... [truncated; 1603 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

**Sifat:** $$\angle ACB = \angle ADB$$

Visible text: **Sifat:**

Kedua sudut keliling $$\angle ACB$$ dan{" "}
$$\angle ADB$$ menghadap busur $$AB$$ yang sama, sehingga besarnya sama.

Visible text: Kedua sudut keliling dan{" "}
 menghadap busur yang sama, sehingga besarnya sama.

## Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Component: LineEquation
Props:
- title: Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling
- description: Sudut pusat $$= 2 \times$$ sudut keliling untuk busur
yang sama.
  Visible text: Sudut pusat sudut keliling untuk busur
yang sama.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (((i * 45) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 1.2 * Math.cos(angle),
y: ... [truncated; 1992 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

**Sifat:** $$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$$

Visible text: **Sifat:**

## Sudut Keliling yang Menghadap Diameter

Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu merupakan sudut siku-siku ($$90^\circ$$).

Visible text: Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu merupakan sudut siku-siku ().

Component: LineEquation
Props:
- title: Sudut Keliling Menghadap Diameter
- description: Sudut keliling yang menghadap diameter selalu $$90^\circ$$.
  Visible text: Sudut keliling yang menghadap diameter selalu .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const C = { x: 0, y: 4 };
const A = { x: -4, y: 0 };
const B = { x: 4, y: 0 };

// Calculate angle ACB at point C (should be 90°)
const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);

return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const t = i / 15;
const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
return {
x: C.x + 0.8 * ... [truncated; 1768 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

**Sifat:** Jika $$AB$$ adalah diameter, maka $$\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$$

Visible text: **Sifat:** Jika adalah diameter, maka

Ini dikenal sebagai **Teorema Thales**.

## Sudut-sudut dalam Segiempat Tali Busur

Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah $$180^\circ$$.

Visible text: Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah .

Component: LineEquation
Props:
- title: Segiempat Tali Busur
- description: Jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah $$180^\circ$$.
  Visible text: Jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] },
{ text: "C", at: 2, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: "D", at: 3, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (((i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "α", at: 7, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((180 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PINK"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "γ", at: 7, offset: [-0.3, -0.2, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

**Sifat:** $$\alpha + \gamma = 180^\circ$$ dan $$\beta + \delta = 180^\circ$$

Visible text: **Sifat:** dan

## Sudut Luar Sama dengan Sudut Dalam Berseberangan

Pada segiempat tali busur, sudut luar di suatu titik sama dengan sudut dalam di titik yang berseberangan.

Component: LineEquation
Props:
- title: Sudut Luar Segiempat Tali Busur
- description: Sudut luar $$=$$ sudut dalam berseberangan.
  Visible text: Sudut luar sudut dalam berseberangan.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] },
{ text: "C", at: 2, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: "D", at: 3, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "E", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((270 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0 + 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PINK"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "∠DAE", at: 7, offset: [0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((90 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: -4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0 + 0.8 * Math.sin(an ... [truncated; 1328 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

**Sifat:** $$\angle DAE = \angle BCD$$ (sudut luar di $$A$$ sama dengan sudut dalam di $$C$$)

Visible text: **Sifat:** (sudut luar di sama dengan sudut dalam di )

## Penerapan Sifat-sifat Sudut dalam Lingkaran

### Menentukan Besar Sudut

Pada lingkaran dengan pusat $$O$$, diketahui sudut pusat $$\angle AOB = 100^\circ$$. Tentukan besar sudut keliling $$\angle ACB$$!

Visible text: Pada lingkaran dengan pusat , diketahui sudut pusat . Tentukan besar sudut keliling !

**Penyelesaian:**

Menggunakan sifat sudut pusat dan sudut keliling:

Component: MathContainer
Children:

```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB
```

```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times 100^\circ
```

```math
\angle ACB = 50^\circ
```

### Mencari Sudut Berhadapan

Dalam segiempat tali busur $$ABCD$$, diketahui $$\angle A = 75^\circ$$. Tentukan besar $$\angle C$$!

Visible text: Dalam segiempat tali busur , diketahui . Tentukan besar !

**Penyelesaian:**

Menggunakan sifat segiempat tali busur:

Component: MathContainer
Children:

```math
\angle A + \angle C = 180^\circ
```

```math
75^\circ + \angle C = 180^\circ
```

```math
\angle C = 180^\circ - 75^\circ
```

```math
\angle C = 105^\circ
```

### Menggunakan Teorema Thales

Titik $$C$$ terletak pada lingkaran dengan $$AB$$ sebagai diameter. Tentukan besar $$\angle ACB$$!

Visible text: Titik terletak pada lingkaran dengan sebagai diameter. Tentukan besar !

**Penyelesaian:**

Karena $$AB$$ adalah diameter dan $$C$$ terletak pada lingkaran, maka berdasarkan Teorema Thales:

Visible text: Karena adalah diameter dan terletak pada lingkaran, maka berdasarkan Teorema Thales:

```math
\angle ACB = 90^\circ
```

## Latihan Soal

1. Pada lingkaran dengan pusat $$O$$, sudut pusat $$\angle AOB = 140^\circ$$. Jika $$C$$ dan $$D$$ adalah dua titik berbeda pada lingkaran, tentukan:

   - Besar sudut $$\angle ACB$$
   - Besar sudut $$\angle ADB$$

2. Dalam segiempat tali busur $$PQRS$$, diketahui:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   \angle P = 85^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle Q = 110^\circ
   ```

   </MathContainer>

   Tentukan besar $$\angle R$$ dan $$\angle S$$!

3. Titik $$A$$, $$B$$, dan $$C$$ terletak pada lingkaran. Jika $$AB$$ adalah diameter dan $$BC = AC$$, tentukan besar $$\angle BAC$$!

4. Pada lingkaran, sudut keliling $$\angle APB = 35^\circ$$. Tentukan besar sudut pusat $$\angle AOB$$!

5. Dalam segiempat tali busur $$KLMN$$, sudut luar di titik $$K$$ adalah $$65^\circ$$. Tentukan besar sudut dalam di titik $$M$$!

Visible text: 1. Pada lingkaran dengan pusat , sudut pusat . Jika dan adalah dua titik berbeda pada lingkaran, tentukan:

 - Besar sudut 
 - Besar sudut 

2. Dalam segiempat tali busur , diketahui:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Tentukan besar dan !

3. Titik , , dan terletak pada lingkaran. Jika adalah diameter dan , tentukan besar !

4. Pada lingkaran, sudut keliling . Tentukan besar sudut pusat !

5. Dalam segiempat tali busur , sudut luar di titik adalah . Tentukan besar sudut dalam di titik !

### Kunci Jawaban

1. **Menentukan sudut keliling yang menghadap busur yang sama**

   <LineEquation
     title="Visualisasi"
     description={<>Sudut pusat $$AOB = 140^\circ$$ dan sudut-sudut keliling yang menghadap busur $$AB$$.</>}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
           const angle = (i * Math.PI) / 180;
           return {
             x: 4 * Math.cos(angle),
             y: 4 * Math.sin(angle),
             z: 0,
           };
         }),
         color: getColor("PURPLE"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [
           { x: 0, y: 0, z: 0 },
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
         ],
         color: getColor("ORANGE"),
         showPoints: true,
         labels: [
           { text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
           { text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
         ],
       },
       {
         points: [
           { x: 0, y: 0, z: 0 },
           {
             x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
             y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
             z: 0,
           },
         ],
         color: getColor("ORANGE"),
         showPoints: true,
         labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [-0.3, 0.5, 0] }],
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           {
             x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
             y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
             z: 0,
           },
         ],
         color: getColor("CYAN"),
         showPoints: true,
         labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
       },
       {
         points: [
           {
             x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
             y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
             z: 0,
           },
           {
             x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
             y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
             z: 0,
           },
         ],
         color: getColor("CYAN"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           {
             x: 4 * Math.cos((7 * Math.PI) / 4),
             y: 4 * Math.sin((7 * Math.PI) / 4),
             z: 0,
           },
         ],
         color: getColor("TEAL"),
         showPoints: true,
         labels: [{ text: "D", at: 1, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
       },
       {
         points: [
           {
             x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
             y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
             z: 0,
           },
           {
             x: 4 * Math.cos((7 * Math.PI) / 4),
             y: 4 * Math.sin((7 * Math.PI) / 4),
             z: 0,
           },
         ],
         color: getColor("TEAL"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
           const angle = (((i * 140) / 15) * Math.PI) / 180;
           return {
             x: 1.2 * Math.cos(angle),
             y: 1.2 * Math.sin(angle),
             z: 0,
           };
         }),
         color: getColor("PINK"),
         showPoints: false,
         labels: [{ text: "140°", at: 7, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
       },
     ]}
     cameraPosition={[0, 0, 12]}
     showZAxis={false}
   />

   **Penyelesaian:**

   Menggunakan sifat hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   \text{Sudut keliling} = \frac{1}{2} \times \text{Sudut pusat}
   ```

     
   
   ```math
   \angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB
   ```

     
   
   ```math
   \angle ACB = \frac{1}{2} \times 140^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle ACB = 70^\circ
   ```

   </MathContainer>

   Karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama:

   
   
   ```math
   \angle ADB = \angle ACB = 70^\circ
   ```

2. **Menentukan sudut-sudut dalam segiempat tali busur**

   **Penyelesaian:**

   Dalam segiempat tali busur, $$\text{jumlah sudut berhadapan} = 180^\circ$$

   Untuk sudut $$R$$ (berhadapan dengan $$P$$):

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   \angle P + \angle R = 180^\circ
   ```

     
   
   ```math
   85^\circ + \angle R = 180^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle R = 180^\circ - 85^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle R = 95^\circ
   ```

   </MathContainer>

   Untuk sudut $$S$$ (berhadapan dengan $$Q$$):

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   \angle Q + \angle S = 180^\circ
   ```

     
   
   ```math
   110^\circ + \angle S = 180^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle S = 180^\circ - 110^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle S = 70^\circ
   ```

   </MathContainer>

3. **Menentukan sudut dalam segitiga sama kaki dengan diameter**

   <LineEquation
     title="Visualisasi"
     description={
       <>
         $$AB$$ adalah diameter,{" "}
         $$BC = AC$$ (segitiga sama kaki).
       </>
     }
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
           const angle = (i * Math.PI) / 180;
           return {
             x: 4 * Math.cos(angle),
             y: 4 * Math.sin(angle),
             z: 0,
           };
         }),
         color: getColor("PURPLE"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [
           { x: -4, y: 0, z: 0 },
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
         ],
         color: getColor("ORANGE"),
         showPoints: true,
         labels: [
           { text: "A", at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
           { text: "B", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
         ],
       },
       {
         points: [
           { x: -4, y: 0, z: 0 },
           { x: 0, y: 4, z: 0 },
         ],
         color: getColor("CYAN"),
         showPoints: true,
         labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           { x: 0, y: 4, z: 0 },
         ],
         color: getColor("CYAN"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
         color: getColor("AMBER"),
         showPoints: true,
         labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
       },
       {
         points: (() => {
           const C = { x: 0, y: 4 };
           const A = { x: -4, y: 0 };
           const B = { x: 4, y: 0 };

           // Calculate angle ACB at point C (should be 90°)
           const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
           const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);

           return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
             const t = i / 15;
             const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
             return {
               x: C.x + 0.8 * Math.cos(angle),
               y: C.y + 0.8 * Math.sin(angle),
               z: 0,
             };
           });
         })(),
         color: getColor("PINK"),
         showPoints: false,
         labels: [{ text: "90°", at: 7, offset: [-0.3, -0.5, 0] }],
       },
     ]}
     cameraPosition={[0, 0, 12]}
     showZAxis={false}
   />

   **Penyelesaian:**

   Karena $$AB$$ adalah diameter, maka berdasarkan Teorema Thales:

   
   
   ```math
   \angle ACB = 90^\circ
   ```

   Karena $$BC = AC$$, maka segitiga{" "}
   $$ABC$$ adalah segitiga siku-siku sama kaki.

   Dalam segitiga siku-siku sama kaki, kedua sudut alasnya sama besar:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle BAC + \angle ABC + 90^\circ = 180^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle BAC + \angle ABC = 90^\circ
   ```

   </MathContainer>

   Karena $$\angle BAC = \angle ABC$$ (sudut alas segitiga sama kaki):

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   2 \times \angle BAC = 90^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle BAC = 45^\circ
   ```

   </MathContainer>

4. **Menentukan sudut pusat dari sudut keliling**

   **Penyelesaian:**

   Menggunakan hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   \text{Sudut pusat} = 2 \times \text{Sudut keliling}
   ```

     
   
   ```math
   \angle AOB = 2 \times \angle APB
   ```

     
   
   ```math
   \angle AOB = 2 \times 35^\circ
   ```

     
   
   ```math
   \angle AOB = 70^\circ
   ```

   </MathContainer>

5. **Menentukan sudut dalam dari sudut luar segiempat tali busur**

   **Penyelesaian:**

   Dalam segiempat tali busur, sudut luar di suatu titik sama dengan sudut dalam di titik yang berseberangan.

   Jika sudut luar di $$K$$ adalah $$65^\circ$$, maka:

   
   
   ```math
   \angle \text{dalam di M} = \angle \text{luar di K} = 65^\circ
   ```

   Ini karena titik $$K$$ dan $$M$$ berseberangan dalam segiempat tali busur $$KLMN$$.

Visible text: 1. **Menentukan sudut keliling yang menghadap busur yang sama**

 <LineEquation
 title="Visualisasi"
 description={<>Sudut pusat dan sudut-sudut keliling yang menghadap busur .</>}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
 const angle = (i * Math.PI) / 180;
 return {
 x: 4 * Math.cos(angle),
 y: 4 * Math.sin(angle),
 z: 0,
 };
 }),
 color: getColor("PURPLE"),
 showPoints: false,
 },
 {
 points: [
 { x: 0, y: 0, z: 0 },
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 ],
 color: getColor("ORANGE"),
 showPoints: true,
 labels: [
 { text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
 { text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
 ],
 },
 {
 points: [
 { x: 0, y: 0, z: 0 },
 {
 x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
 y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
 z: 0,
 },
 ],
 color: getColor("ORANGE"),
 showPoints: true,
 labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [-0.3, 0.5, 0] }],
 },
 {
 points: [
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 {
 x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
 y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
 z: 0,
 },
 ],
 color: getColor("CYAN"),
 showPoints: true,
 labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
 },
 {
 points: [
 {
 x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
 y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
 z: 0,
 },
 {
 x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
 y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
 z: 0,
 },
 ],
 color: getColor("CYAN"),
 showPoints: false,
 },
 {
 points: [
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 {
 x: 4 * Math.cos((7 * Math.PI) / 4),
 y: 4 * Math.sin((7 * Math.PI) / 4),
 z: 0,
 },
 ],
 color: getColor("TEAL"),
 showPoints: true,
 labels: [{ text: "D", at: 1, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
 },
 {
 points: [
 {
 x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
 y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
 z: 0,
 },
 {
 x: 4 * Math.cos((7 * Math.PI) / 4),
 y: 4 * Math.sin((7 * Math.PI) / 4),
 z: 0,
 },
 ],
 color: getColor("TEAL"),
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
 const angle = (((i * 140) / 15) * Math.PI) / 180;
 return {
 x: 1.2 * Math.cos(angle),
 y: 1.2 * Math.sin(angle),
 z: 0,
 };
 }),
 color: getColor("PINK"),
 showPoints: false,
 labels: [{ text: "140°", at: 7, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
 },
 ]}
 cameraPosition={[0, 0, 12]}
 showZAxis={false}
 />

 **Penyelesaian:**

 Menggunakan sifat hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama:

 
 

2. **Menentukan sudut-sudut dalam segiempat tali busur**

 **Penyelesaian:**

 Dalam segiempat tali busur, 

 Untuk sudut (berhadapan dengan ):

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Untuk sudut (berhadapan dengan ):

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. **Menentukan sudut dalam segitiga sama kaki dengan diameter**

 <LineEquation
 title="Visualisasi"
 description={
 <>
 adalah diameter,{" "}
 (segitiga sama kaki).
 </>
 }
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
 const angle = (i * Math.PI) / 180;
 return {
 x: 4 * Math.cos(angle),
 y: 4 * Math.sin(angle),
 z: 0,
 };
 }),
 color: getColor("PURPLE"),
 showPoints: false,
 },
 {
 points: [
 { x: -4, y: 0, z: 0 },
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 ],
 color: getColor("ORANGE"),
 showPoints: true,
 labels: [
 { text: "A", at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
 { text: "B", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
 ],
 },
 {
 points: [
 { x: -4, y: 0, z: 0 },
 { x: 0, y: 4, z: 0 },
 ],
 color: getColor("CYAN"),
 showPoints: true,
 labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
 },
 {
 points: [
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 { x: 0, y: 4, z: 0 },
 ],
 color: getColor("CYAN"),
 showPoints: false,
 },
 {
 points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
 color: getColor("AMBER"),
 showPoints: true,
 labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
 },
 {
 points: (() => {
 const C = { x: 0, y: 4 };
 const A = { x: -4, y: 0 };
 const B = { x: 4, y: 0 };

 // Calculate angle ACB at point C (should be 90°)
 const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
 const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);

 return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
 const t = i / 15;
 const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
 return {
 x: C.x + 0.8 * Math.cos(angle),
 y: C.y + 0.8 * Math.sin(angle),
 z: 0,
 };
 });
 })(),
 color: getColor("PINK"),
 showPoints: false,
 labels: [{ text: "90°", at: 7, offset: [-0.3, -0.5, 0] }],
 },
 ]}
 cameraPosition={[0, 0, 12]}
 showZAxis={false}
 />

 **Penyelesaian:**

 Karena adalah diameter, maka berdasarkan Teorema Thales:

 
 

 Karena , maka segitiga{" "}
 adalah segitiga siku-siku sama kaki.

 Dalam segitiga siku-siku sama kaki, kedua sudut alasnya sama besar:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Karena (sudut alas segitiga sama kaki):

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

4. **Menentukan sudut pusat dari sudut keliling**

 **Penyelesaian:**

 Menggunakan hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

5. **Menentukan sudut dalam dari sudut luar segiempat tali busur**

 **Penyelesaian:**

 Dalam segiempat tali busur, sudut luar di suatu titik sama dengan sudut dalam di titik yang berseberangan.

 Jika sudut luar di adalah , maka:

 
 

 Ini karena titik dan berseberangan dalam segiempat tali busur .