# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/matriks/determinan-matriks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/matrix/matrix-determinant/id.mdx

Hitung determinan matriks ordo dua dan selesaikan SPLDV dengan Aturan Cramer. Pelajari rumus determinan dengan contoh bertahap dan latihan.

---

## Memahami Determinan Matriks

Determinan matriks adalah sebuah nilai skalar (angka tunggal) yang dapat dihitung dari elemen-elemen sebuah matriks persegi. Konsep determinan sangat penting dalam aljabar linear, salah satunya adalah untuk membantu menyelesaikan sistem persamaan linear. Setiap matriks persegi memiliki nilai determinan yang unik.

## Menghitung Determinan Matriks Ordo Dua

Matriks ordo $$2 \times 2$$ adalah matriks yang memiliki dua baris dan dua kolom. Misalkan kita memiliki matriks $$A$$ sebagai berikut:

Visible text: Matriks ordo adalah matriks yang memiliki dua baris dan dua kolom. Misalkan kita memiliki matriks sebagai berikut:

```math
A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
```

Determinan dari matriks $$A$$, yang biasa ditulis sebagai $$\det(A)$$ atau $$|A|$$, dihitung dengan mengurangkan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal kedua.

Visible text: Determinan dari matriks , yang biasa ditulis sebagai atau , dihitung dengan mengurangkan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal kedua.

Rumusnya adalah:

```math
\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
```

Perhatikan bahwa notasi $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$ menggunakan garis lurus, yang menandakan determinan, berbeda dengan kurung siku $$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$ yang menandakan matriks itu sendiri.

Visible text: Perhatikan bahwa notasi menggunakan garis lurus, yang menandakan determinan, berbeda dengan kurung siku yang menandakan matriks itu sendiri.

### Perhitungan Determinan Matriks Ordo Dua

Misalkan kita memiliki matriks $$B$$:

Visible text: Misalkan kita memiliki matriks :

```math
B = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -7 & -5 \end{bmatrix}
```

Untuk menghitung determinannya, kita identifikasi $$a = -1$$, $$b = 3$$, $$c = -7$$, dan $$d = -5$$.

Visible text: Untuk menghitung determinannya, kita identifikasi , , , dan .

Maka, determinan matriks $$B$$ adalah:

Visible text: Maka, determinan matriks adalah:

Component: MathContainer
Children:

```math
\det(B) = (-1 \times -5) - (3 \times -7)
```

```math
\det(B) = 5 - (-21)
```

```math
\det(B) = 5 + 21
```

```math
\det(B) = 26
```

Jadi, nilai determinan dari matriks $$B$$ adalah $$26$$.

Visible text: Jadi, nilai determinan dari matriks adalah .

## Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan Determinan

Salah satu aplikasi penting dari determinan adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini sering disebut sebagai Aturan Cramer.

Perhatikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) berikut:

Component: MathContainer
Children:

```math
a_{11}x + a_{12}y = b_1
```

```math
a_{21}x + a_{22}y = b_2
```

Dalam sistem ini, $$x$$ dan $$y$$ adalah variabel yang ingin kita cari nilainya. Koefisien-koefisien $$a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$$ dan konstanta $$b_1, b_2$$ adalah bilangan yang diketahui.

Visible text: Dalam sistem ini, dan adalah variabel yang ingin kita cari nilainya. Koefisien-koefisien dan konstanta adalah bilangan yang diketahui.

Sistem persamaan ini dapat kita ubah ke dalam bentuk perkalian matriks:

```math
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}
```

Langkah pertama adalah menghitung determinan dari matriks koefisien, yang kita sebut $$D$$:

Visible text: Langkah pertama adalah menghitung determinan dari matriks koefisien, yang kita sebut :

```math
D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
```

Sistem persamaan linear akan memiliki solusi unik jika dan hanya jika $$D \neq 0$$.

Visible text: Sistem persamaan linear akan memiliki solusi unik jika dan hanya jika .

Selanjutnya, kita hitung dua determinan lainnya:

1.  $$D_x$$, yaitu determinan matriks koefisien di mana kolom
    pertama (koefisien $$x$$) diganti dengan kolom konstanta ($$b_1, b_2$$
    ):

    
    
    ```math
    D_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} = b_1a_{22} - a_{12}b_2
    ```

2.  $$D_y$$, yaitu determinan matriks koefisien di mana kolom
    kedua (koefisien $$y$$) diganti dengan kolom konstanta ($$b_1, b_2$$
    ):

    
    
    ```math
    D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} = a_{11}b_2 - b_1a_{21}
    ```

Visible text: 1. , yaitu determinan matriks koefisien di mana kolom
 pertama (koefisien ) diganti dengan kolom konstanta (
 ):

 
 

2. , yaitu determinan matriks koefisien di mana kolom
 kedua (koefisien ) diganti dengan kolom konstanta (
 ):

Setelah mendapatkan nilai $$D$$, $$D_x$$, dan $$D_y$$, kita dapat menemukan nilai $$x$$ dan $$y$$ dengan rumus:

Visible text: Setelah mendapatkan nilai , , dan , kita dapat menemukan nilai dan dengan rumus:

Component: MathContainer
Children:

```math
x = \frac{D_x}{D}
```

```math
y = \frac{D_y}{D}
```

Rumus ini hanya berlaku jika $$D \neq 0$$.

Visible text: Rumus ini hanya berlaku jika .

### Penyelesaian SPLDV dengan Determinan

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

Component: MathContainer
Children:

```math
2x - y = 7
```

```math
x - 4y = 14
```

Dari sistem di atas, kita dapatkan:

$$a_{11} = 2$$, $$a_{12} = -1$$, $$b_1 = 7$$

Visible text: , ,

$$a_{21} = 1$$, $$a_{22} = -4$$, $$b_2 = 14$$

Visible text: , ,

**Langkah** $$1$$: Hitung determinan $$D$$.

Visible text: **Langkah** : Hitung determinan .

```math
D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = (2 \times -4) - (-1 \times 1) = -8 - (-1) = -8 + 1 = -7
```

Karena $$D = -7 \neq 0$$, sistem ini memiliki solusi unik.

Visible text: Karena , sistem ini memiliki solusi unik.

**Langkah** $$2$$: Hitung determinan $$D_x$$.

Visible text: **Langkah** : Hitung determinan .

```math
D_x = \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 14 & -4 \end{vmatrix} = (7 \times -4) - (-1 \times 14) = -28 - (-14) = -28 + 14 = -14
```

**Langkah** $$3$$: Hitung determinan $$D_y$$.

Visible text: **Langkah** : Hitung determinan .

```math
D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 14 \end{vmatrix} = (2 \times 14) - (7 \times 1) = 28 - 7 = 21
```

**Langkah** $$4$$: Hitung nilai $$x$$ dan $$y$$.

Visible text: **Langkah** : Hitung nilai dan .

Component: MathContainer
Children:

```math
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-14}{-7} = 2
```

```math
y = \frac{D_y}{D} = \frac{21}{-7} = -3
```

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah $$x=2$$ dan $$y=-3$$, atau dapat ditulis sebagai pasangan berurutan $$(2, -3)$$.

Visible text: Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah dan , atau dapat ditulis sebagai pasangan berurutan .

## Latihan

1.  Diketahui matriks $$M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}$$ dan $$\det(M) = 9$$. Tentukan nilai $$x$$.
2.  Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

    
    
    ```math
    \begin{cases} 2x - y = 8 \\ x + 3y = -10 \end{cases}
    ```

Visible text: 1. Diketahui matriks dan . Tentukan nilai .
2. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

### Kunci Jawaban

1.  Untuk matriks $$M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}$$, determinannya adalah:

    
    
    ```math
    \det(M) = (9 \times -7) - (x \times 8) = -63 - 8x
    ```

    Diketahui $$\det(M) = 9$$, maka:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    -63 - 8x = 9
    ```

      
    
    ```math
    -8x = 9 + 63
    ```

      
    
    ```math
    -8x = 72
    ```

      
    
    ```math
    x = \frac{72}{-8}
    ```

      
    
    ```math
    x = -9
    ```

    </MathContainer>

    Jadi, nilai $$x$$ adalah $$-9$$.

2.  Sistem persamaan linear:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    2x - y = 8
    ```

      
    
    ```math
    x + 3y = -10
    ```

    </MathContainer>

    Kita tentukan $$D, D_x,$$ dan $$D_y$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \times 3) - (-1 \times 1) = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7
    ```

      
    
    ```math
    D_x = \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ -10 & 3 \end{vmatrix} = (8 \times 3) - (-1 \times -10) = 24 - 10 = 14
    ```

      
    
    ```math
    D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -10 \end{vmatrix} = (2 \times -10) - (8 \times 1) = -20 - 8 = -28
    ```

    </MathContainer>

    Maka, nilai $$x$$ dan $$y$$ adalah:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    x = \frac{D_x}{D} = \frac{14}{7} = 2
    ```

      
    
    ```math
    y = \frac{D_y}{D} = \frac{-28}{7} = -4
    ```

    </MathContainer>

    Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah $$x=2$$ dan $$y=-4$$, atau pasangan berurutan $$(2, -4)$$.

Visible text: 1. Untuk matriks , determinannya adalah:

 
 

 Diketahui , maka:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Jadi, nilai adalah .

2. Sistem persamaan linear:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Kita tentukan dan .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Maka, nilai dan adalah:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah dan , atau pasangan berurutan .