# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/matriks/kesamaan-dua-matriks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/matrix/matrix-equality/id.mdx
Pelajari syarat kesamaan matriks: ordo sama dan elemen seletak sama melalui contoh soal, penentuan variabel, dan latihan praktis.
---
## Definisi Kesamaan Dua Matriks
Dalam dunia matriks, kita seringkali perlu membandingkan dua matriks atau lebih. Salah satu konsep penting dalam perbandingan ini adalah kesamaan dua matriks. Dua matriks dikatakan sama jika memenuhi syarat-syarat tertentu.
Dua matriks, katakanlah matriks $$A$$ dan matriks $$B$$, dikatakan **sama** (ditulis $$A=B$$) jika dan hanya jika kedua syarat berikut terpenuhi:
Visible text: Dua matriks, katakanlah matriks dan matriks , dikatakan **sama** (ditulis ) jika dan hanya jika kedua syarat berikut terpenuhi:
1. **Ordo Sama**: Matriks $$A$$ dan matriks $$B$$ harus memiliki ordo (jumlah baris dan kolom) yang sama. Jika matriks $$A$$ berordo $$m \times n$$, maka matriks $$B$$ juga harus berordo $$m \times n$$.
2. **Elemen Seletak Sama**: Setiap elemen yang seletak (berada pada posisi baris dan kolom yang sama) pada matriks $$A$$ dan matriks $$B$$ harus memiliki nilai yang sama. Jika $$A = [a_{ij}]$$ dan $$B = [b_{ij}]$$, maka $$a_{ij} = b_{ij}$$ untuk semua nilai $$i$$ (indeks baris) dan $$j$$ (indeks kolom).
Visible text: 1. **Ordo Sama**: Matriks dan matriks harus memiliki ordo (jumlah baris dan kolom) yang sama. Jika matriks berordo , maka matriks juga harus berordo .
2. **Elemen Seletak Sama**: Setiap elemen yang seletak (berada pada posisi baris dan kolom yang sama) pada matriks dan matriks harus memiliki nilai yang sama. Jika dan , maka untuk semua nilai (indeks baris) dan (indeks kolom).
Jika salah satu dari kedua syarat di atas tidak terpenuhi, maka matriks $$A$$ tidak sama dengan matriks $$B$$ (ditulis $$A \neq B$$).
Visible text: Jika salah satu dari kedua syarat di atas tidak terpenuhi, maka matriks tidak sama dengan matriks (ditulis ).
## Contoh Kesamaan Dua Matriks
### Matriks yang Sama
Diberikan dua matriks:
```math
P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
```
Matriks $$P$$ dan $$Q$$ adalah sama ($$P=Q$$) karena:
Visible text: Matriks dan adalah sama () karena:
- Keduanya berordo $$2 \times 2$$.
- Elemen-elemen yang seletak bernilai sama:
$$p_{11} = q_{11} = 1$$, $$p_{12} = q_{12} = 2$$
, $$p_{21} = q_{21} = 3$$, $$p_{22} = q_{22} = 4$$
.
Visible text: - Keduanya berordo .
- Elemen-elemen yang seletak bernilai sama:
,
, ,
.
### Matriks yang Tidak Sama (Beda Ordo)
Diberikan dua matriks:
```math
R = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad C = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
```
Matriks $$R$$ tidak sama dengan matriks $$C$$ ($$R \neq C$$) karena ordo matriks $$R$$ adalah $$2 \times 2$$, sedangkan ordo matriks $$C$$ adalah $$3 \times 2$$.
Visible text: Matriks tidak sama dengan matriks () karena ordo matriks adalah , sedangkan ordo matriks adalah .
### Matriks yang Tidak Sama (Elemen Seletak Berbeda)
Diberikan dua matriks:
```math
S = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 8 \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad T = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}
```
Meskipun matriks $$S$$ dan $$T$$ berordo sama($$2 \times 2$$), keduanya tidak sama ($$S \neq T$$) karena elemen pada baris ke-$$2$$ kolom ke-$$1$$ tidak sama ($$s_{21} = -2$$ sedangkan $$t_{21} = 2$$).
Visible text: Meskipun matriks dan berordo sama(), keduanya tidak sama () karena elemen pada baris ke- kolom ke- tidak sama ( sedangkan ).
### Menentukan Nilai Variabel dari Kesamaan Matriks
Diketahui matriks $$A = \begin{bmatrix} -x & 2 \\ -3y & z^2 \end{bmatrix}$$ dan $$B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Diketahui matriks dan .
Jika matriks $$A$$ sama dengan matriks $$B$$ ($$A=B$$), tentukan nilai $$x$$, $$y$$, dan $$z$$.
Visible text: Jika matriks sama dengan matriks (), tentukan nilai , , dan .
**Penyelesaian:**
Karena $$A=B$$, maka elemen-elemen yang seletak harus sama:
Visible text: Karena , maka elemen-elemen yang seletak harus sama:
1. $$a_{11} = b_{11} \implies -x = -1 \implies x = 1$$
2. $$a_{12} = b_{12} \implies 2 = 2$$ (sudah sama)
3. $$a_{21} = b_{21} \implies -3y = 6 \implies y = \frac{6}{-3} \implies y = -2$$
4. $$a_{22} = b_{22} \implies z^2 = 9 \implies z = \pm\sqrt{9} \implies z = 3 \text{ atau} z = -3$$
Visible text: 1.
2. (sudah sama)
3.
4.
Jadi, nilai $$x=1$$, $$y=-2$$, dan $$z = \pm 3$$.
Visible text: Jadi, nilai , , dan .
## Latihan
Jawablah pertanyaan berikut dengan **Benar** atau **Salah**.
1. Dua matriks yang mempunyai ordo yang sama merupakan salah satu syarat agar kedua matriks tersebut sama.
2. Dua matriks yang berbeda selalu memiliki ordo yang berbeda.
3. Jika diketahui matriks $$K = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$ dan matriks $$L = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$, maka matriks $$K$$ sama dengan matriks $$L$$.
4. Diketahui matriks $$P = \begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix}$$ dan $$Q = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$. Jika $$P=Q$$, tentukan nilai $$x$$ dan $$y$$.
5. Jika matriks $$A = \begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix}$$ dan $$I$$ adalah matriks identitas berordo $$2 \times 2$$. Jika $$A = I$$, tentukan nilai $$x+y$$.
6. Hitunglah nilai $$a+b+c+d$$ yang memenuhi kesamaan matriks berikut:
```math
\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}
```
Visible text: 1. Dua matriks yang mempunyai ordo yang sama merupakan salah satu syarat agar kedua matriks tersebut sama.
2. Dua matriks yang berbeda selalu memiliki ordo yang berbeda.
3. Jika diketahui matriks dan matriks , maka matriks sama dengan matriks .
4. Diketahui matriks dan . Jika , tentukan nilai dan .
5. Jika matriks dan adalah matriks identitas berordo . Jika , tentukan nilai .
6. Hitunglah nilai yang memenuhi kesamaan matriks berikut:
### Kunci Jawaban
1. **Benar**. Memiliki ordo yang sama adalah syarat pertama kesamaan dua matriks.
2. **Salah**. Dua matriks yang berbeda bisa saja memiliki ordo yang sama, tetapi elemen seletaknya berbeda (lihat Contoh $$3$$).
3. **Salah**. Matriks $$K$$ berordo $$2 \times 2$$ sedangkan matriks $$L$$ berordo $$3 \times 2$$. Karena ordonya berbeda, kedua matriks tidak sama.
4. Diketahui $$P=Q$$:
```math
\begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}
```
Dari kesamaan elemen seletak:
- $$2x = -10 \implies x = -5$$
- $$y+3 = 2 \implies y = 2-3 \implies y = -1$$
Jadi, $$x=-5$$ dan $$y=-1$$.
5. Matriks identitas $$I$$ berordo $$2 \times 2$$ adalah $$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$.
Diketahui $$A=I$$:
```math
\begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
```
Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:
1. $$-x-3y = 1$$ (Persamaan $$1$$)
2. $$(x-2y)^2 = 0$$ (Persamaan $$2$$)
Selesaikan Persamaan $$2$$ terlebih dahulu:
```math
(x-2y)^2 = 0
```
```math
x-2y = \sqrt{0}
```
```math
x-2y = 0
```
Substitusikan Persamaan $$2$$' ke Persamaan $$1$$:
```math
-(2y)-3y = 1
```
```math
-2y-3y = 1
```
```math
-5y = 1
```
```math
y = -\frac{1}{5}
```
Substitusikan nilai $$y = -\frac{1}{5}$$ ke Persamaan :
```math
x = 2\left(-\frac{1}{5}\right)
```
```math
x = -\frac{2}{5}
```
Maka, nilai $$x+y$$ adalah:
```math
x+y = \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right)
```
```math
= -\frac{2}{5} - \frac{1}{5}
```
```math
= \frac{-2-1}{5}
```
```math
= -\frac{3}{5}
```
6. Diketahui kesamaan matriks:
```math
\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}
```
Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:
1. $$a+2b = 3$$
2. $$2a+b = -3$$
3. $$c+d = 7$$
4. $$2c+d = 1$$
Selesaikan sistem persamaan untuk $$a$$ dan $$b$$ (persamaan $$1$$ dan $$2$$):
Persamaan awal:
```math
a+2b = 3 \quad \text{(1)}
```
```math
2a+b = -3 \quad \text{(2)}
```
Untuk mengeliminasi $$b$$, kalikan persamaan ($$2$$) dengan $$2$$:
```math
2(2a+b) = 2(-3)
```
Kurangkan persamaan ($$1$$) dari persamaan ($$2$$'):
```math
(4a+2b) - (a+2b) = -6 - 3
```
```math
4a - a + 2b - 2b = -9
```
```math
3a = -9
```
```math
a = \frac{-9}{3}
```
```math
a = -3
```
Substitusikan nilai $$a=-3$$ ke persamaan ($$1$$):
```math
-3+2b=3
```
```math
2b=3+3
```
```math
2b=6
```
```math
b = \frac{6}{2}
```
```math
b = 3
```
Selesaikan sistem persamaan untuk $$c$$ dan $$d$$ (persamaan $$3$$ dan $$4$$):
Persamaan awal:
```math
c+d = 7 \quad \text{(3)}
```
```math
2c+d = 1 \quad \text{(4)}
```
Kurangkan persamaan ($$3$$) dari persamaan ($$4$$) untuk mengeliminasi $$d$$:
```math
(2c+d) - (c+d) = 1 - 7
```
```math
2c - c + d - d = -6
```
```math
c = -6
```
Substitusikan nilai $$c=-6$$ ke persamaan ($$3$$):
```math
-6+d=7
```
```math
d=7+6
```
```math
d=13
```
Maka, nilai $$a+b+c+d$$ adalah:
```math
a+b+c+d = (-3) + 3 + (-6) + 13
```
```math
= 0 - 6 + 13
```
```math
= 7
```
Visible text: 1. **Benar**. Memiliki ordo yang sama adalah syarat pertama kesamaan dua matriks.
2. **Salah**. Dua matriks yang berbeda bisa saja memiliki ordo yang sama, tetapi elemen seletaknya berbeda (lihat Contoh ).
3. **Salah**. Matriks berordo sedangkan matriks berordo . Karena ordonya berbeda, kedua matriks tidak sama.
4. Diketahui :
Dari kesamaan elemen seletak:
-
-
Jadi, dan .
5. Matriks identitas berordo adalah .
Diketahui :
Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:
1. (Persamaan )
2. (Persamaan )
Selesaikan Persamaan terlebih dahulu:
Substitusikan Persamaan ' ke Persamaan :
Substitusikan nilai ke Persamaan :
Maka, nilai adalah:
6. Diketahui kesamaan matriks:
Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:
1.
2.
3.
4.
Selesaikan sistem persamaan untuk dan (persamaan dan ):
Persamaan awal:
Untuk mengeliminasi , kalikan persamaan () dengan :
Kurangkan persamaan () dari persamaan ('):
Substitusikan nilai ke persamaan ():
Selesaikan sistem persamaan untuk dan (persamaan dan ):
Persamaan awal:
Kurangkan persamaan () dari persamaan () untuk mengeliminasi :
Substitusikan nilai ke persamaan ():
Maka, nilai adalah: