Kesamaan Dua Matriks

Membandingkan Ordo dan Elemen yang Seletak

Kesamaan matriks membandingkan struktur sekaligus isinya. Nilai yang sama belum cukup jika posisinya berbeda atau kedua matriks memiliki ordo yang berbeda.

Matriks $A$ dan $B$ dikatakan sama, ditulis $A=B$, jika dan hanya jika kedua syarat berikut terpenuhi:

1. Ordo Sama: Matriks $A$ dan matriks $B$ harus memiliki ordo (jumlah baris dan kolom) yang sama. Jika matriks $A$ berordo $m \times n$, maka matriks $B$ juga harus berordo $m \times n$.
2. Elemen Seletak Sama: Setiap elemen yang seletak (berada pada posisi baris dan kolom yang sama) pada matriks $A$ dan matriks $B$ harus memiliki nilai yang sama. Jika $A = [a_{ij}]$ dan $B = [b_{ij}]$, maka $a_{ij} = b_{ij}$ untuk semua nilai $i$ (indeks baris) dan $j$ (indeks kolom).

Jika salah satu dari kedua syarat di atas tidak terpenuhi, maka matriks $A$ tidak sama dengan matriks $B$ (ditulis $A \neq B$).

Contoh Kesamaan Dua Matriks

Kesamaan dua matriks ditentukan oleh dua pemeriksaan. Kedua matriks harus berordo sama, lalu setiap elemen yang seletak harus bernilai sama. Contoh berikut memperlihatkan satu pasangan yang lolos kedua pemeriksaan dan dua pasangan yang gagal pada salah satu syarat, lalu ditutup dengan kasus yang memuat variabel belum diketahui.

Matriks yang Sama

Diberikan dua matriks:

Matriks $P$ dan $Q$ adalah sama ($P=Q$) karena:

• Keduanya berordo $2 \times 2$.

• Elemen-elemen yang seletak bernilai sama:

  $p_{11} = q_{11} = 1$, $p_{12} = q_{12} = 2$ , $p_{21} = q_{21} = 3$, $p_{22} = q_{22} = 4$ .

Matriks dengan Ordo yang Berbeda

Diberikan dua matriks:

Matriks $R$ tidak sama dengan matriks $C$ ($R \neq C$) karena ordo matriks $R$ adalah $2 \times 2$, sedangkan ordo matriks $C$ adalah $3 \times 2$.

Matriks dengan Elemen Seletak yang Berbeda

Diberikan dua matriks:

Meskipun matriks $S$ dan $T$ sama-sama berordo $2 \times 2$, keduanya tidak sama ($S \neq T$). Elemen seletak pada baris ke-$2$, kolom ke-$1$ berbeda: $s_{21} = -2$, sedangkan $t_{21} = 2$.

Menentukan Nilai Variabel dari Kesamaan Matriks

Diketahui kedua matriks berikut:

Jika matriks $A$ sama dengan matriks $B$ ($A=B$), tentukan nilai $x$, $y$, dan $z$.

Penyelesaian:

Karena $A=B$, maka elemen-elemen yang seletak harus sama:

1. $a_{11} = b_{11} \implies -x = -1 \implies x = 1$
2. $a_{12} = b_{12} \implies 2 = 2$ (sudah sama)
3. $a_{21} = b_{21} \implies -3y = 6 \implies y = \frac{6}{-3} \implies y = -2$
4. $a_{22} = b_{22} \implies z^2 = 9 \implies z = \pm\sqrt{9} \implies z = 3 \text{ atau } z = -3$

Jadi, nilai $x=1$, $y=-2$, dan $z = \pm 3$.

Latihan

Tentukan apakah tiga pernyataan pertama Benar atau Salah.

1. Ordo yang sama merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi oleh dua matriks yang sama.

2. Dua matriks yang tidak sama selalu memiliki ordo yang berbeda.

3. Kedua matriks berikut sama.

   $$K = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

   $$L = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

4. Untuk kedua matriks berikut, $P=Q$. Tentukan nilai $x$ dan $y$.

   $$P = \begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix}$$

   $$Q = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$

5. Matriks $I$ adalah matriks identitas berordo $2 \times 2$. Untuk matriks $A$ berikut, $A = I$. Tentukan nilai $x+y$.

   $$A = \begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix}$$

6. Hitunglah nilai $a+b+c+d$ yang memenuhi kesamaan matriks berikut:

   $$\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$$

Pembahasan Lengkap

1. Benar. Dua matriks yang sama harus memiliki ordo yang sama, walaupun syarat ini saja belum cukup.

2. Salah. Dua matriks yang tidak sama dapat memiliki ordo yang sama, tetapi berbeda pada satu atau beberapa elemen seletak, seperti pada Contoh 3.

3. Salah. Matriks $K$ berordo $2 \times 2$, sedangkan matriks $L$ berordo $3 \times 2$. Matriks dengan ordo berbeda tidak mungkin sama.

4. Diketahui $P=Q$:

   $$\begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$

   Dari kesamaan elemen seletak:

   • $2x = -10 \implies x = -5$
   • $y+3 = 2 \implies y = 2-3 \implies y = -1$

     Jadi, $x=-5$ dan $y=-1$.

5. Matriks identitas berordo $2 \times 2$ adalah:

   $$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

   Diketahui $A=I$:

   $$\begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

   Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:

   1. $-x-3y = 1$ (Persamaan 1)
   2. $(x-2y)^2 = 0$ (Persamaan 2)

   Selesaikan Persamaan 2 terlebih dahulu:

   $$(x-2y)^2 = 0$$

   $$x-2y = \sqrt{0}$$

   $$x-2y = 0$$

   $$x = 2y \quad \text{(Persamaan 2')}$$

   Substitusikan Persamaan 2' ke Persamaan 1:

   $$-(2y)-3y = 1$$

   $$-2y-3y = 1$$

   $$-5y = 1$$

   $$y = -\frac{1}{5}$$

   Substitusikan nilai $y = -\frac{1}{5}$ ke Persamaan 2':

   $$x = 2\left(-\frac{1}{5}\right)$$

   $$x = -\frac{2}{5}$$

   Maka, nilai $x+y$ adalah:

   $$x+y = \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right)$$

   $$= -\frac{2}{5} - \frac{1}{5}$$

   $$= \frac{-2-1}{5}$$

   $$= -\frac{3}{5}$$

6. Diketahui kesamaan matriks:

   $$\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$$

   Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:

   1. $a+2b = 3$
   2. $2a+b = -3$
   3. $c+d = 7$
   4. $2c+d = 1$

   Selesaikan sistem persamaan untuk $a$ dan $b$ (persamaan 1 dan 2):

   Persamaan awal:

   $$a+2b = 3 \quad \text{(1)}$$

   $$2a+b = -3 \quad \text{(2)}$$

   Untuk mengeliminasi $b$, kalikan persamaan (2) dengan $2$:

   $$2(2a+b) = 2(-3)$$

   $$4a+2b = -6 \quad \text{(2')}$$

   Kurangkan persamaan (1) dari persamaan (2'):

   $$(4a+2b) - (a+2b) = -6 - 3$$

   $$4a - a + 2b - 2b = -9$$

   $$3a = -9$$

   $$a = \frac{-9}{3}$$

   $$a = -3$$

   Substitusikan nilai $a=-3$ ke persamaan (1):

   $$-3+2b=3$$

   $$2b=3+3$$

   $$2b=6$$

   $$b = \frac{6}{2}$$

   $$b = 3$$

   Selesaikan sistem persamaan untuk $c$ dan $d$ (persamaan 3 dan 4):

   Persamaan awal:

   $$c+d = 7 \quad \text{(3)}$$

   $$2c+d = 1 \quad \text{(4)}$$

   Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (4) untuk mengeliminasi $d$:

   $$(2c+d) - (c+d) = 1 - 7$$

   $$2c - c + d - d = -6$$

   $$c = -6$$

   Substitusikan nilai $c=-6$ ke persamaan (3):

   $$-6+d=7$$

   $$d=7+6$$

   $$d=13$$

   Maka, nilai $a+b+c+d$ adalah:

   $$\begin{aligned} &a+b+c +d \\ &= (-3) + 3 + (-6) + 13 \end{aligned}$$

   $$= 0 - 6 + 13$$

   $$= 7$$