# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/matriks/pengurangan-matriks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/matrix/matrix-subtraction/id.mdx
Pelajari pengurangan matriks dengan contoh bertahap, sifat-sifat, dan soal latihan. Pelajari operasi pengurangan elemen matriks seletak.
---
## Apa Itu Pengurangan Matriks?
Pengurangan matriks adalah operasi untuk menemukan selisih antara dua matriks. Sama seperti penjumlahan matriks, operasi pengurangan hanya dapat dilakukan jika kedua matriks yang terlibat memiliki ukuran atau ordo yang sama.
Hasil dari pengurangan matriks adalah sebuah matriks baru yang juga memiliki ordo yang sama, di mana setiap elemennya merupakan hasil pengurangan elemen-elemen yang bersesuaian dari kedua matriks awal.
## Definisi Formal Pengurangan Matriks
Ada dua cara umum untuk mendefinisikan pengurangan matriks, yang keduanya mengarah pada hasil yang sama.
**Pengurangan sebagai Penjumlahan dengan Lawan**
Pengurangan matriks $$A$$ dengan matriks $$B$$ dapat didefinisikan sebagai penjumlahan matriks $$A$$ dengan matriks lawan dari $$B$$ (yaitu, $$-B$$).
Visible text: Pengurangan matriks dengan matriks dapat didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dengan matriks lawan dari (yaitu, ).
```math
A - B = A + (-B)
```
Matriks $$-B$$ adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks $$B$$ dengan $$-1$$. Jadi, jika $$B = [b_{ij}]$$, maka $$-B = [-b_{ij}]$$.
Visible text: Matriks adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan . Jadi, jika , maka .
**Pengurangan Elemen Seletak**
Jika matriks $$A = [a_{ij}]$$ dan matriks $$B = [b_{ij}]$$ keduanya memiliki ordo $$m \times n$$, maka hasil pengurangan matriks $$C = A - B$$ juga akan berordo $$m \times n$$.
Visible text: Jika matriks dan matriks keduanya memiliki ordo , maka hasil pengurangan matriks juga akan berordo .
Setiap elemen $$c_{ij}$$ dari matriks $$C$$ dihitung dengan mengurangkan elemen matriks $$B$$ yang seletak dari elemen matriks $$A$$ yang seletak:
Visible text: Setiap elemen dari matriks dihitung dengan mengurangkan elemen matriks yang seletak dari elemen matriks yang seletak:
```math
c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}
```
Ini berarti kita mengurangkan elemen-elemen yang berada pada posisi baris dan kolom yang sama.
Kedua definisi ini ekuivalen dan akan menghasilkan matriks selisih yang sama.
## Cara Melakukan Pengurangan Matriks
Untuk mengurangkan dua matriks, ikuti langkah-langkah berikut:
1. **Pastikan Ordo Sama**: Langkah pertama dan paling penting adalah memeriksa apakah kedua matriks memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika ordonya berbeda, pengurangan tidak dapat dilakukan.
2. **Kurangkan Elemen Seletak**: Jika ordonya sama, kurangkan setiap elemen matriks kedua (pengurang) dari elemen matriks pertama yang posisinya bersesuaian (seletak).
3. **Bentuk Matriks Hasil**: Susun hasil pengurangan elemen-elemen tersebut ke dalam sebuah matriks baru. Matriks baru ini akan memiliki ordo yang sama dengan matriks-matriks awal.
Visible text: 1. **Pastikan Ordo Sama**: Langkah pertama dan paling penting adalah memeriksa apakah kedua matriks memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika ordonya berbeda, pengurangan tidak dapat dilakukan.
2. **Kurangkan Elemen Seletak**: Jika ordonya sama, kurangkan setiap elemen matriks kedua (pengurang) dari elemen matriks pertama yang posisinya bersesuaian (seletak).
3. **Bentuk Matriks Hasil**: Susun hasil pengurangan elemen-elemen tersebut ke dalam sebuah matriks baru. Matriks baru ini akan memiliki ordo yang sama dengan matriks-matriks awal.
### Contoh Pengurangan Matriks
Misalkan kita memiliki dua matriks, $$P$$ dan $$Q$$, sebagai berikut:
Visible text: Misalkan kita memiliki dua matriks, dan , sebagai berikut:
Component: MathContainer
Children:
```math
P = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}
```
```math
Q = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}
```
Kedua matriks ini berordo $$2 \times 2$$, sehingga dapat dikurangkan.
Visible text: Kedua matriks ini berordo , sehingga dapat dikurangkan.
Menggunakan metode pengurangan elemen seletak:
Component: MathContainer
Children:
```math
P - Q = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 8-2 & 5-1 \\ 3-(-1) & 7-4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 3+1 & 3 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}
```
Menggunakan metode penjumlahan dengan lawan ($$P + (-Q)$$):
Visible text: Menggunakan metode penjumlahan dengan lawan ():
Pertama, tentukan $$-Q$$:
Visible text: Pertama, tentukan :
```math
-Q = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -(-1) & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}
```
Kemudian, jumlahkan $$P$$ dengan $$-Q$$:
Visible text: Kemudian, jumlahkan dengan :
Component: MathContainer
Children:
```math
P + (-Q) = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 8+(-2) & 5+(-1) \\ 3+1 & 7+(-4) \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}
```
Kedua metode menghasilkan matriks yang sama.
### Contoh Matriks yang Tidak Dapat Dikurangkan
Misalkan matriks $$K = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$ dan matriks $$L = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Misalkan matriks dan matriks .
Matriks $$K$$ berordo $$3 \times 2$$, sedangkan matriks $$L$$ berordo $$2 \times 2$$. Karena ordo kedua matriks ini berbeda, maka pengurangan $$K-L$$ (atau $$L-K$$) tidak dapat dilakukan atau tidak terdefinisi.
Visible text: Matriks berordo , sedangkan matriks berordo . Karena ordo kedua matriks ini berbeda, maka pengurangan (atau ) tidak dapat dilakukan atau tidak terdefinisi.
## Sifat-Sifat Pengurangan Matriks
Berbeda dengan penjumlahan matriks yang memiliki beberapa sifat penting seperti komutatif dan asosiatif, pengurangan matriks umumnya tidak memiliki sifat-sifat tersebut.
1. **Tidak Komutatif**: Secara umum, urutan pengurangan matriks sangat berpengaruh. Artinya, $$A - B$$ tidak sama dengan $$B - A$$, kecuali dalam kasus-kasus khusus (misalnya jika $$A=B$$).
```math
A - B \neq B - A \quad (\text{secara umum})
```
Sebagai contoh, dari matriks $$P$$ dan $$Q$$ di atas:
$$P-Q = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$$
Sedangkan,
```math
Q-P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 2-8 & 1-5 \\ -1-3 & 4-7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} -6 & -4 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}
```
Terlihat jelas bahwa $$P-Q \neq Q-P$$.
2. **Tidak Asosiatif**: Pengelompokan dalam pengurangan tiga matriks atau lebih juga berpengaruh pada hasil akhir. Secara umum, $$(A - B) - C$$ tidak sama dengan $$A - (B - C)$$.
```math
(A - B) - C \neq A - (B - C) \quad (\text{secara umum})
```
Ini karena $$(A - B) - C = A - B - C$$, sedangkan $$A - (B - C) = A - B + C$$.
Visible text: 1. **Tidak Komutatif**: Secara umum, urutan pengurangan matriks sangat berpengaruh. Artinya, tidak sama dengan , kecuali dalam kasus-kasus khusus (misalnya jika ).
Sebagai contoh, dari matriks dan di atas:
Sedangkan,
Terlihat jelas bahwa .
2. **Tidak Asosiatif**: Pengelompokan dalam pengurangan tiga matriks atau lebih juga berpengaruh pada hasil akhir. Secara umum, tidak sama dengan .
Ini karena , sedangkan .
Satu-satunya "sifat" yang penting untuk diingat adalah hubungannya dengan penjumlahan, yaitu $$A - B = A + (-B)$$.
Visible text: Satu-satunya "sifat" yang penting untuk diingat adalah hubungannya dengan penjumlahan, yaitu .
Dengan mengubah operasi pengurangan menjadi penjumlahan dengan matriks lawan, kita dapat memanfaatkan sifat-sifat penjumlahan jika diperlukan.
## Latihan
**Soal** $$1$$
Visible text: **Soal**
Diketahui matriks-matriks berikut:
Component: MathContainer
Children:
```math
M = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}
```
```math
N = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}
```
Tentukan hasil dari $$M-N$$.
Visible text: Tentukan hasil dari .
**Soal** $$2$$
Visible text: **Soal**
Tentukan nilai $$x, y,$$ dan $$z$$ dari persamaan matriks berikut:
Visible text: Tentukan nilai dan dari persamaan matriks berikut:
```math
\begin{bmatrix} 2x & 7 \\ y-1 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & z \\ 4 & -2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}
```
**Soal** $$3$$
Visible text: **Soal**
Diberikan tiga matriks:
Component: MathContainer
Children:
```math
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
C = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}
```
Hitunglah $$(A-B)-C$$ dan $$A-(B-C)$$. Apakah hasilnya sama?
Visible text: Hitunglah dan . Apakah hasilnya sama?
### Kunci Jawaban
**Soal** $$1$$
Visible text: **Soal**
Diketahui:
Component: MathContainer
Children:
```math
M = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}
```
```math
N = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}
```
Maka, $$M-N$$ adalah:
Visible text: Maka, adalah:
Component: MathContainer
Children:
```math
M-N = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 4-(-1) & -2-1 & 0-(-2) \\ 1-6 & 5-0 & 3-7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 4+1 & -3 & 0+2 \\ -5 & 5 & -4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ -5 & 5 & -4 \end{bmatrix}
```
**Soal** $$2$$
Visible text: **Soal**
Diketahui persamaan matriks:
```math
\begin{bmatrix} 2x & 7 \\ y-1 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & z \\ 4 & -2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}
```
Lakukan operasi pengurangan pada ruas kiri:
Component: MathContainer
Children:
```math
\begin{bmatrix} 2x-3 & 7-z \\ (y-1)-4 & 5-(-2x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
\begin{bmatrix} 2x-3 & 7-z \\ y-5 & 5+2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}
```
Berdasarkan kesamaan dua matriks, elemen-elemen yang seletak harus sama:
Dari elemen baris $$1$$,kolom $$1$$: $$2x-3 = 5$$
Visible text: Dari elemen baris ,kolom :
Component: MathContainer
Children:
```math
2x = 5+3
```
```math
2x = 8
```
```math
x = 4
```
Dari elemen baris $$1$$, kolom $$2$$: $$7-z = 10$$
Visible text: Dari elemen baris , kolom :
Component: MathContainer
Children:
```math
-z = 10-7
```
```math
-z = 3
```
```math
z = -3
```
Dari elemen baris $$2$$, kolom $$1$$: $$y-5 = -3$$
Visible text: Dari elemen baris , kolom :
Component: MathContainer
Children:
```math
y = -3+5
```
```math
y = 2
```
Dari elemen baris $$2$$, kolom $$2$$: $$5+2x = 1$$.
Visible text: Dari elemen baris , kolom : .
Jika kita substitusikan $$x=4$$ (dari persamaan pertama), kita dapatkan $$5+2(4) = 13$$. Karena $$13 \neq 1$$, terdapat inkonsistensi pada elemen terakhir di soal ini.
Visible text: Jika kita substitusikan (dari persamaan pertama), kita dapatkan . Karena , terdapat inkonsistensi pada elemen terakhir di soal ini.
Untuk tujuan pembelajaran, kita akan menggunakan nilai $$x, y, z$$ yang diperoleh dari tiga persamaan pertama yang konsisten.
Visible text: Untuk tujuan pembelajaran, kita akan menggunakan nilai yang diperoleh dari tiga persamaan pertama yang konsisten.
Jadi, nilai yang diperoleh adalah $$x=4$$, $$y=2$$, dan $$z=-3$$.
Visible text: Jadi, nilai yang diperoleh adalah , , dan .
Dalam situasi ujian, inkonsistensi seperti ini sebaiknya dikonfirmasi kepada pengawas.
**Soal** $$3$$
Visible text: **Soal**
Diberikan:
Component: MathContainer
Children:
```math
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
C = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}
```
Hitung $$(A-B)-C$$:
Visible text: Hitung :
Pertama, $$A-B$$:
Visible text: Pertama, :
Component: MathContainer
Children:
```math
A-B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 1-3 & 0-(-2) \\ 0-5 & 1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 0 \end{bmatrix}
```
Kemudian, $$(A-B)-C$$:
Visible text: Kemudian, :
Component: MathContainer
Children:
```math
(A-B)-C = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} -2-(-4) & 2-0 \\ -5-2 & 0-(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2+4 & 2 \\ -7 & 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix}
```
Hitung $$A-(B-C)$$:
Visible text: Hitung :
Pertama, $$B-C$$:
Visible text: Pertama, :
Component: MathContainer
Children:
```math
B-C = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 3-(-4) & -2-0 \\ 5-2 & 1-(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3+4 & -2 \\ 3 & 1+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
```
Kemudian, $$A-(B-C)$$:
Visible text: Kemudian, :
Component: MathContainer
Children:
```math
A-(B-C) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 1-7 & 0-(-2) \\ 0-3 & 1-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}
```
Hasilnya tidak sama: $$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Hasilnya tidak sama: .
Ini menunjukkan bahwa pengurangan matriks tidak bersifat asosiatif.