# Nakafa Learning Content > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/matriks/penjumlahan-matriks Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/matrix/matrix-addition/id.mdx Pelajari penjumlahan matriks pada matriks seordo. Pahami sifat komutatif dan asosiatif, lalu selesaikan soal praktis dengan contoh pembahasan. --- ## Apa Itu Penjumlahan Matriks? Penjumlahan matriks adalah operasi dasar dalam aljabar matriks di mana dua matriks atau lebih digabungkan untuk menghasilkan matriks baru. Operasi ini hanya dapat dilakukan jika matriks-matriks yang dijumlahkan memiliki ukuran atau ordo yang sama. Hasil penjumlahannya adalah matriks baru dengan ordo yang sama, di mana setiap elemennya merupakan hasil penjumlahan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) dari matriks-matriks awal. ## Definisi Formal Penjumlahan Matriks Dua matriks, katakanlah matriks $$A$$ dan matriks $$B$$, dapat dijumlahkan jika dan hanya jika kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Visible text: Dua matriks, katakanlah matriks dan matriks , dapat dijumlahkan jika dan hanya jika kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Misalkan matriks $$A$$ berordo $$m \times n$$ dengan elemen-elemen $$a_{ij}$$ (elemen pada baris ke-$$i$$ dan kolom ke-$$j$$), dan matriks $$B$$ juga berordo $$m \times n$$ dengan elemen-elemen $$b_{ij}$$. Visible text: Misalkan matriks berordo dengan elemen-elemen (elemen pada baris ke- dan kolom ke-), dan matriks juga berordo dengan elemen-elemen . Maka, hasil penjumlahan matriks $$A$$ dan $$B$$, yang kita sebut matriks $$C$$, ditulis sebagai $$C = A + B$$. Matriks $$C$$ juga akan berordo $$m \times n$$, dengan elemen-elemen $$c_{ij}$$ yang didefinisikan sebagai: Visible text: Maka, hasil penjumlahan matriks dan , yang kita sebut matriks , ditulis sebagai . Matriks juga akan berordo , dengan elemen-elemen yang didefinisikan sebagai: ```math c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} ``` Ini berarti setiap elemen pada matriks hasil penjumlahan diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang posisinya sama dari kedua matriks yang dijumlahkan. ## Cara Melakukan Penjumlahan Matriks Untuk menjumlahkan dua matriks, ikuti langkah-langkah berikut: 1. **Pastikan Ordo Sama**: Periksa apakah kedua matriks memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika tidak, penjumlahan tidak dapat dilakukan. 2. **Jumlahkan Elemen Seletak**: Jumlahkan elemen-elemen yang berada pada posisi baris dan kolom yang sama dari kedua matriks. 3. **Bentuk Matriks Hasil**: Susun hasil penjumlahan elemen-elemen tersebut ke dalam matriks baru dengan ordo yang sama. Visible text: 1. **Pastikan Ordo Sama**: Periksa apakah kedua matriks memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika tidak, penjumlahan tidak dapat dilakukan. 2. **Jumlahkan Elemen Seletak**: Jumlahkan elemen-elemen yang berada pada posisi baris dan kolom yang sama dari kedua matriks. 3. **Bentuk Matriks Hasil**: Susun hasil penjumlahan elemen-elemen tersebut ke dalam matriks baru dengan ordo yang sama. ### Contoh Penjumlahan Matriks Misalkan kita memiliki dua matriks, $$P$$ dan $$Q$$, sebagai berikut: Visible text: Misalkan kita memiliki dua matriks, dan , sebagai berikut: Component: MathContainer Children: ```math P = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} ``` ```math Q = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 8 & 1 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} ``` Kedua matriks ini berordo $$3 \times 2$$ ($$3$$ baris dan $$2$$ kolom), sehingga dapat dijumlahkan. Visible text: Kedua matriks ini berordo ( baris dan kolom), sehingga dapat dijumlahkan. Maka, $$P+Q$$ adalah: Visible text: Maka, adalah: Component: MathContainer Children: ```math P+Q = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 8 & 1 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 1+6 & 5+(-3) \\ -2+8 & 0+1 \\ 4+(-2) & 7+9 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \\ 2 & 16 \end{bmatrix} ``` Jadi, hasil penjumlahan matriks $$P$$ dan $$Q$$ adalah matriks $$\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \\ 2 & 16 \end{bmatrix}$$. Visible text: Jadi, hasil penjumlahan matriks dan adalah matriks . ### Matriks yang Tidak Dapat Dijumlahkan Misalkan matriks $$X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ dan matriks $$Y = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \end{bmatrix}$$. Visible text: Misalkan matriks dan matriks . Matriks $$X$$ berordo $$2 \times 2$$, sedangkan matriks $$Y$$ berordo $$2 \times 3$$. Karena ordonya berbeda, matriks $$X$$ dan $$Y$$ tidak dapat dijumlahkan. Visible text: Matriks berordo , sedangkan matriks berordo . Karena ordonya berbeda, matriks dan tidak dapat dijumlahkan. ## Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks Penjumlahan matriks memiliki beberapa sifat penting, mirip dengan sifat penjumlahan pada bilangan real. Misalkan $$A$$, $$B$$, dan $$C$$ adalah matriks-matriks yang berordo sama, dan $$O$$ adalah matriks nol (matriks yang semua elemennya nol) yang berordo sama dengan $$A$$, $$B$$, dan $$C$$. Visible text: Penjumlahan matriks memiliki beberapa sifat penting, mirip dengan sifat penjumlahan pada bilangan real. Misalkan , , dan adalah matriks-matriks yang berordo sama, dan adalah matriks nol (matriks yang semua elemennya nol) yang berordo sama dengan , , dan . 1. **Sifat Komutatif**: Urutan penjumlahan matriks tidak mempengaruhi hasilnya. ```math A + B = B + A ``` Artinya, menjumlahkan matriks $$A$$ dengan $$B$$ akan menghasilkan matriks yang sama dengan menjumlahkan matriks $$B$$ dengan $$A$$. 2. **Sifat Asosiatif**: Pengelompokan dalam penjumlahan tiga matriks atau lebih tidak mempengaruhi hasilnya. ```math (A + B) + C = A + (B + C) ``` Artinya, Anda bisa menjumlahkan $$A$$ dan $$B$$ terlebih dahulu, kemudian hasilnya dijumlahkan dengan $$C$$, atau menjumlahkan $$B$$ dan $$C$$ terlebih dahulu, kemudian $$A$$ dijumlahkan dengan hasilnya. Hasil akhirnya akan sama. 3. **Memiliki Elemen Identitas (Matriks Nol)**: Terdapat matriks nol $$O$$ yang bersifat sebagai elemen identitas dalam penjumlahan. ```math A + O = O + A = A ``` Artinya, jika suatu matriks dijumlahkan dengan matriks nol (yang seordo), hasilnya adalah matriks itu sendiri. Matriks nol ini berperan seperti angka $$0$$ dalam penjumlahan bilangan. 4. **Memiliki Invers Aditif (Lawan Suatu Matriks)**: Setiap matriks $$A$$ memiliki invers aditif, yaitu matriks $$-A$$, yang jika dijumlahkan dengan $$A$$ akan menghasilkan matriks nol $$O$$. ```math A + (-A) = O ``` Matriks $$-A$$ adalah matriks yang setiap elemennya merupakan lawan (negatif) dari elemen-elemen matriks $$A$$ yang seletak. Misalnya, jika $$a_{ij}$$ adalah elemen dari $$A$$ , maka $$-a_{ij}$$ adalah elemen dari $$-A$$. Visible text: 1. **Sifat Komutatif**: Urutan penjumlahan matriks tidak mempengaruhi hasilnya. Artinya, menjumlahkan matriks dengan akan menghasilkan matriks yang sama dengan menjumlahkan matriks dengan . 2. **Sifat Asosiatif**: Pengelompokan dalam penjumlahan tiga matriks atau lebih tidak mempengaruhi hasilnya. Artinya, Anda bisa menjumlahkan dan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dijumlahkan dengan , atau menjumlahkan dan terlebih dahulu, kemudian dijumlahkan dengan hasilnya. Hasil akhirnya akan sama. 3. **Memiliki Elemen Identitas (Matriks Nol)**: Terdapat matriks nol yang bersifat sebagai elemen identitas dalam penjumlahan. Artinya, jika suatu matriks dijumlahkan dengan matriks nol (yang seordo), hasilnya adalah matriks itu sendiri. Matriks nol ini berperan seperti angka dalam penjumlahan bilangan. 4. **Memiliki Invers Aditif (Lawan Suatu Matriks)**: Setiap matriks memiliki invers aditif, yaitu matriks , yang jika dijumlahkan dengan akan menghasilkan matriks nol . Matriks adalah matriks yang setiap elemennya merupakan lawan (negatif) dari elemen-elemen matriks yang seletak. Misalnya, jika adalah elemen dari , maka adalah elemen dari . ## Latihan **Soal** $$1$$ Visible text: **Soal** Diketahui matriks-matriks berikut: Component: MathContainer Children: ```math A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} ``` ```math B = \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} ``` ```math C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ``` Hitunglah $$A+B$$ dan $$B+A$$. Kemudian, tentukan apakah $$A+C$$ dapat dihitung dan berikan penjelasanmu. Visible text: Hitunglah dan . Kemudian, tentukan apakah dapat dihitung dan berikan penjelasanmu. **Soal** $$2$$ Visible text: **Soal** Tentukan nilai $$x, y,$$ dan $$z$$ dari penjumlahan matriks berikut: Visible text: Tentukan nilai dan dari penjumlahan matriks berikut: ```math \begin{bmatrix} 2x & 5 \\ -1 & 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ z & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} ``` **Soal** $$3$$ Visible text: **Soal** Jika $$P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$, tentukan matriks $$-P$$ (invers aditif dari $$P$$) dan buktikan bahwa $$P + (-P) = O$$, di mana $$O$$ adalah matriks nol yang seordo. Visible text: Jika , tentukan matriks (invers aditif dari ) dan buktikan bahwa , di mana adalah matriks nol yang seordo. ### Kunci Jawaban **Soal** $$1$$ Visible text: **Soal** Diketahui matriks-matriks: Component: MathContainer Children: ```math A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} ``` ```math B = \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} ``` ```math C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ``` Penjumlahan matriks $$A$$ dan $$B$$ ($$A+B$$): Visible text: Penjumlahan matriks dan (): Component: MathContainer Children: ```math A+B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 3+(-2) & -1+9 & 7+(-4) \\ 0+6 & 5+(-3) & 2+1 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 1 & 8 & 3 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix} ``` Penjumlahan matriks $$B$$ dan $$A$$ ($$B+A$$): Visible text: Penjumlahan matriks dan (): Component: MathContainer Children: ```math B+A = \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} -2+3 & 9+(-1) & -4+7 \\ 6+0 & -3+5 & 1+2 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 1 & 8 & 3 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix} ``` (Terbukti sifat komutatif: $$A+B = B+A$$) Visible text: (Terbukti sifat komutatif: ) Penjumlahan matriks $$A$$ dan $$C$$ ($$A+C$$): Visible text: Penjumlahan matriks dan (): Tidak dapat dihitung. Matriks $$A$$ berordo $$2 \times 3$$, sedangkan matriks $$C$$ berordo $$2 \times 2$$. Karena ordonya berbeda, penjumlahan $$A+C$$ tidak dapat dilakukan. Visible text: Tidak dapat dihitung. Matriks berordo , sedangkan matriks berordo . Karena ordonya berbeda, penjumlahan tidak dapat dilakukan. **Soal** $$2$$ Visible text: **Soal** Diketahui penjumlahan matriks: ```math \begin{bmatrix} 2x & 5 \\ -1 & 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ z & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} ``` Lakukan penjumlahan matriks di ruas kiri: Component: MathContainer Children: ```math \begin{bmatrix} 2x+4 & 5+(-2) \\ -1+z & 3y+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} ``` ```math \begin{bmatrix} 2x+4 & 3 \\ -1+z & 3y+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} ``` Berdasarkan kesamaan dua matriks, elemen-elemen yang seletak harus sama: Untuk elemen baris $$1$$, kolom $$1$$: $$2x+4 = 10$$ Visible text: Untuk elemen baris , kolom : Component: MathContainer Children: ```math 2x = 10-4 ``` ```math 2x = 6 ``` ```math x = 3 ``` Untuk elemen baris $$1$$, kolom $$2$$: $$3 = 3$$ (sudah sesuai). Visible text: Untuk elemen baris , kolom : (sudah sesuai). Untuk elemen baris $$2$$, kolom $$1$$: $$-1+z = 6$$ Visible text: Untuk elemen baris , kolom : Component: MathContainer Children: ```math z = 6+1 ``` ```math z = 7 ``` Untuk elemen baris $$2$$, kolom $$2$$: $$3y+7 = 1$$ Visible text: Untuk elemen baris , kolom : Component: MathContainer Children: ```math 3y = 1-7 ``` ```math 3y = -6 ``` ```math y = -2 ``` Jadi, nilai $$x=3$$, $$y=-2$$, dan $$z=7$$. Visible text: Jadi, nilai , , dan . **Soal** $$3$$ Visible text: **Soal** Diberikan matriks $$P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$. Visible text: Diberikan matriks . Invers aditif dari $$P$$, yaitu $$-P$$, adalah: Visible text: Invers aditif dari , yaitu , adalah: ```math -P = \begin{bmatrix} -1 & -(-2) \\ -3 & -0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} ``` Pembuktian bahwa $$P + (-P) = O$$: Visible text: Pembuktian bahwa : Component: MathContainer Children: ```math P + (-P) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 1+(-1) & -2+2 \\ 3+(-3) & 0+0 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ``` Hasilnya adalah matriks nol $$O$$ berordo $$2 \times 2$$. Terbukti. Visible text: Hasilnya adalah matriks nol berordo . Terbukti.