# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/matriks/perkalian-matriks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/matrix/matrix-multiplication/id.mdx
Pelajari aturan perkalian matriks, syarat, dan perhitungan. Pelajari metode bertahap, sifat-sifat, dan aplikasi nyata dengan contoh.
---
## Memahami Perkalian Dua Matriks
Perkalian matriks adalah operasi fundamental dalam aljabar linear. Berbeda dengan penjumlahan atau pengurangan matriks yang elemennya langsung dioperasikan, perkalian matriks memiliki aturan tersendiri.
### Syarat Perkalian Matriks
Dua matriks, katakanlah matriks $$A$$ dan matriks $$B$$, dapat dikalikan ($$A \times B$$) hanya jika **jumlah kolom pada matriks $$A$$ sama dengan jumlah baris pada matriks $$B$$**.
Visible text: Dua matriks, katakanlah matriks dan matriks , dapat dikalikan () hanya jika **jumlah kolom pada matriks sama dengan jumlah baris pada matriks **.
Misalkan matriks $$A$$ memiliki ordo $$m \times n$$ (artinya $$m$$ baris dan $$n$$ kolom) dan matriks $$B$$ memiliki ordo $$n \times p$$ (artinya $$n$$ baris dan $$p$$ kolom).
Visible text: Misalkan matriks memiliki ordo (artinya baris dan kolom) dan matriks memiliki ordo (artinya baris dan kolom).
Karena jumlah kolom matriks $$A$$ ($$n$$) sama dengan jumlah baris matriks $$B$$ ($$n$$), maka matriks $$A$$ dan $$B$$ dapat dikalikan.
Visible text: Karena jumlah kolom matriks () sama dengan jumlah baris matriks (), maka matriks dan dapat dikalikan.
Hasil perkaliannya, sebut saja matriks $$C = AB$$, akan memiliki ordo $$m \times p$$.
Visible text: Hasil perkaliannya, sebut saja matriks , akan memiliki ordo .
### Cara Menghitung Elemen Hasil Perkalian
Elemen $$c_{ij}$$ pada matriks $$C$$ (yaitu elemen pada baris ke-$$i$$ dan kolom ke-$$j$$) dihitung dengan mengalikan setiap elemen pada baris ke-$$i$$ dari matriks $$A$$ dengan elemen yang bersesuaian pada kolom ke-$$j$$ dari matriks $$B$$, kemudian menjumlahkan semua hasil perkalian tersebut.
Visible text: Elemen pada matriks (yaitu elemen pada baris ke- dan kolom ke-) dihitung dengan mengalikan setiap elemen pada baris ke- dari matriks dengan elemen yang bersesuaian pada kolom ke- dari matriks , kemudian menjumlahkan semua hasil perkalian tersebut.
Secara matematis, jika $$A = [a_{ik}]$$ dan $$B = [b_{kj}]$$, maka elemen $$c_{ij}$$ dari matriks $$C = AB$$ adalah:
Visible text: Secara matematis, jika dan , maka elemen dari matriks adalah:
```math
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}
```
Notasi $$\sum$$ (sigma) berarti penjumlahan.
Visible text: Notasi (sigma) berarti penjumlahan.
Dalam rumus di atas, kita menjumlahkan hasil perkalian $$a_{ik}b_{kj}$$ untuk semua nilai $$k$$ dari $$1$$ sampai $$n$$.
Visible text: Dalam rumus di atas, kita menjumlahkan hasil perkalian untuk semua nilai dari sampai .
## Langkah-Langkah Mengalikan Matriks
Mari kita lihat contoh sederhana untuk memahami prosesnya.
Misalkan kita punya matriks $$P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}$$ dan $$Q = \begin{bmatrix} q_{11} & q_{12} \\ q_{21} & q_{22} \end{bmatrix}$$.
Visible text: Misalkan kita punya matriks dan .
Matriks $$P$$ berordo $$2 \times 2$$ dan matriks $$Q$$ juga berordo $$2 \times 2$$. Jumlah kolom $$P$$ (yaitu $$2$$) sama dengan jumlah baris $$Q$$ (yaitu $$2$$), jadi kita bisa mengalikannya. Hasilnya, $$R = PQ$$, akan berordo $$2 \times 2$$.
Visible text: Matriks berordo dan matriks juga berordo . Jumlah kolom (yaitu ) sama dengan jumlah baris (yaitu ), jadi kita bisa mengalikannya. Hasilnya, , akan berordo .
```math
R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{bmatrix}
```
Elemen-elemen matriks $$R$$ dihitung sebagai berikut:
Visible text: Elemen-elemen matriks dihitung sebagai berikut:
Component: MathContainer
Children:
```math
r_{11} = (\text{baris 1 dari } P) \cdot (\text{kolom 1 dari } Q) = p_{11}q_{11} + p_{12}q_{21}
```
```math
r_{12} = (\text{baris 1 dari } P) \cdot (\text{kolom 2 dari } Q) = p_{11}q_{12} + p_{12}q_{22}
```
```math
r_{21} = (\text{baris 2 dari } P) \cdot (\text{kolom 1 dari } Q) = p_{21}q_{11} + p_{22}q_{21}
```
```math
r_{22} = (\text{baris 2 dari } P) \cdot (\text{kolom 2 dari } Q) = p_{21}q_{12} + p_{22}q_{22}
```
## Contoh Perkalian Dua Matriks
Diberikan dua matriks:
Component: MathContainer
Children:
```math
A = \begin{bmatrix} -7 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}
```
```math
B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}
```
Matriks $$A$$ berordo $$3 \times 3$$ dan matriks $$B$$ berordo $$3 \times 2$$.
Visible text: Matriks berordo dan matriks berordo .
Jumlah kolom matriks $$A$$ (yaitu $$3$$) sama dengan jumlah baris matriks $$B$$ (yaitu $$3$$).
Visible text: Jumlah kolom matriks (yaitu ) sama dengan jumlah baris matriks (yaitu ).
Jadi, $$AB$$ dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks berordo $$3 \times 2$$.
Visible text: Jadi, dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks berordo .
Mari kita hitung $$C = AB$$:
Visible text: Mari kita hitung :
Component: MathContainer
Children:
```math
C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix}
```
```math
c_{11} = (-7)(1) + (2)(-1) + (-2)(2) = -7 - 2 - 4 = -13
```
```math
c_{12} = (-7)(2) + (2)(3) + (-2)(0) = -14 + 6 + 0 = -8
```
```math
c_{21} = (1)(1) + (0)(-1) + (-1)(2) = 1 + 0 - 2 = -1
```
```math
c_{22} = (1)(2) + (0)(3) + (-1)(0) = 2 + 0 + 0 = 2
```
```math
c_{31} = (2)(1) + (3)(-1) + (-1)(2) = 2 - 3 - 2 = -3
```
```math
c_{32} = (2)(2) + (3)(3) + (-1)(0) = 4 + 9 + 0 = 13
```
Jadi, hasil perkalian matriks $$AB$$ adalah:
Visible text: Jadi, hasil perkalian matriks adalah:
```math
AB = \begin{bmatrix} -13 & -8 \\ -1 & 2 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}
```
Sekarang, bagaimana dengan $$BA$$?
Visible text: Sekarang, bagaimana dengan ?
Matriks $$B$$ berordo $$3 \times 2$$ dan matriks $$A$$ berordo $$3 \times 3$$.
Visible text: Matriks berordo dan matriks berordo .
Jumlah kolom matriks $$B$$ (yaitu $$2$$) **tidak sama** dengan jumlah baris matriks $$A$$ (yaitu $$3$$).
Visible text: Jumlah kolom matriks (yaitu ) **tidak sama** dengan jumlah baris matriks (yaitu ).
Oleh karena itu, perkalian $$BA$$ **tidak terdefinisi**. Ini menunjukkan salah satu sifat penting perkalian matriks.
Visible text: Oleh karena itu, perkalian **tidak terdefinisi**. Ini menunjukkan salah satu sifat penting perkalian matriks.
## Sifat-Sifat Perkalian Matriks
Perkalian matriks memiliki beberapa sifat penting:
1. **Umumnya Tidak Komutatif**:
Artinya, $$AB \neq BA$$. Kita sudah melihat contoh di atas di mana $$AB$$ terdefinisi tetapi $$BA$$ tidak. Bahkan jika keduanya terdefinisi, hasilnya belum tentu sama.
2. **Asosiatif**:
Jika perkalian matriks $$A, B,$$ dan $$C$$ terdefinisi, maka berlaku $$(AB)C = A(BC)$$. Artinya, urutan pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil akhir.
3. **Distributif**:
Perkalian matriks bersifat distributif terhadap penjumlahan atau pengurangan matriks:
```math
A(B + C) = AB + AC
```
```math
(A + B)C = AC + BC
```
Ini berlaku jika semua operasi penjumlahan dan perkalian yang terlibat terdefinisi.
4. **Perkalian dengan Matriks Identitas ($$I$$)**:
Jika $$A$$ adalah matriks persegi berordo $$n \times n$$ dan $$I$$ adalah matriks identitas berordo $$n \times n$$, maka berlaku:
```math
AI = IA = A
```
Matriks identitas berperan seperti angka $$1$$ dalam perkalian bilangan biasa.
5. **Perkalian dengan Skalar ($$k$$)**:
Jika $$k$$ adalah sebuah skalar (bilangan riil), maka:
```math
k(AB) = (kA)B = A(kB)
```
Visible text: 1. **Umumnya Tidak Komutatif**:
Artinya, . Kita sudah melihat contoh di atas di mana terdefinisi tetapi tidak. Bahkan jika keduanya terdefinisi, hasilnya belum tentu sama.
2. **Asosiatif**:
Jika perkalian matriks dan terdefinisi, maka berlaku . Artinya, urutan pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil akhir.
3. **Distributif**:
Perkalian matriks bersifat distributif terhadap penjumlahan atau pengurangan matriks:
Ini berlaku jika semua operasi penjumlahan dan perkalian yang terlibat terdefinisi.
4. **Perkalian dengan Matriks Identitas ()**:
Jika adalah matriks persegi berordo dan adalah matriks identitas berordo , maka berlaku:
Matriks identitas berperan seperti angka dalam perkalian bilangan biasa.
5. **Perkalian dengan Skalar ()**:
Jika adalah sebuah skalar (bilangan riil), maka:
## Menghitung Pendapatan
Perkalian matriks sangat berguna dalam berbagai bidang, salah satunya untuk mengelola data dan menghitung nilai agregat.
Bayangkan sebuah industri rumahan memproduksi tiga jenis makanan: keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.
Makanan tersebut dipasarkan ke tiga tempat: Tempat A, Tempat B, dan Tempat C.
Banyaknya keripik (dalam toples) yang terjual di setiap tempat disajikan dalam matriks $$P$$. Kolom-kolom pada matriks $$P$$ berturut-turut menunjukkan Tempat A, Tempat B, dan Tempat C, sedangkan baris-barisnya berturut-turut menunjukkan keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.
Visible text: Banyaknya keripik (dalam toples) yang terjual di setiap tempat disajikan dalam matriks . Kolom-kolom pada matriks berturut-turut menunjukkan Tempat A, Tempat B, dan Tempat C, sedangkan baris-barisnya berturut-turut menunjukkan keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.
```math
P = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Keripik Tempe} \\ \text{Keripik Pisang} \\ \text{Keripik Kentang} \end{matrix}
```
Baris pertama ($$\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \end{bmatrix}$$) berarti $$15$$ toples keripik tempe terjual di Tempat A, $$12$$ di Tempat B, dan $$20$$ di Tempat C.
Visible text: Baris pertama () berarti toples keripik tempe terjual di Tempat A, di Tempat B, dan di Tempat C.
Harga untuk setiap toples keripik (dalam rupiah) dinyatakan dalam matriks kolom $$Q$$ berikut:
Visible text: Harga untuk setiap toples keripik (dalam rupiah) dinyatakan dalam matriks kolom berikut:
```math
Q = \begin{bmatrix} 20.000 \\ 15.000 \\ 30.000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Harga Keripik Tempe} \\ \text{Harga Keripik Pisang} \\ \text{Harga Keripik Kentang} \end{matrix}
```
Untuk menentukan total pendapatan dari setiap jenis keripik di semua tempat, kita bisa mengalikan matriks $$P$$ dengan matriks $$Q$$.
Visible text: Untuk menentukan total pendapatan dari setiap jenis keripik di semua tempat, kita bisa mengalikan matriks dengan matriks .
Namun, perhatikan ordo matriks. Matriks $$P$$ berordo $$3 \times 3$$ dan matriks $$Q$$ berordo $$3 \times 1$$. Jumlah kolom $$P$$ ($$3$$) sama dengan jumlah baris $$Q$$ ($$3$$), sehingga $$PQ$$ dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks $$R$$ berordo $$3 \times 1$$.
Visible text: Namun, perhatikan ordo matriks. Matriks berordo dan matriks berordo . Jumlah kolom () sama dengan jumlah baris (), sehingga dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks berordo .
Matriks $$R = PQ$$ akan menunjukkan total pendapatan untuk setiap jenis keripik.
Visible text: Matriks akan menunjukkan total pendapatan untuk setiap jenis keripik.
Component: MathContainer
Children:
```math
R = PQ = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 20.000 \\ 15.000 \\ 30.000 \end{bmatrix}
```
```math
R = \begin{bmatrix} (15)(20.000) + (12)(15.000) + (20)(30.000) \\ (25)(20.000) + (10)(15.000) + (15)(30.000) \\ (15)(20.000) + (15)(15.000) + (20)(30.000) \end{bmatrix}
```
```math
R = \begin{bmatrix} 300.000 + 180.000 + 600.000 \\ 500.000 + 150.000 + 450.000 \\ 300.000 + 225.000 + 600.000 \end{bmatrix}
```
```math
R = \begin{bmatrix} 1.080.000 \\ 1.100.000 \\ 1.125.000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Total Pendapatan Keripik Tempe} \\ \text{Total Pendapatan Keripik Pisang} \\ \text{Total Pendapatan Keripik Kentang} \end{matrix}
```
Dari matriks $$R$$, kita bisa melihat bahwa total pendapatan dari penjualan keripik tempe adalah $$\text{Rp}1.080.000$$, keripik pisang $$\text{Rp}1.100.000$$, dan keripik kentang $$\text{Rp}1.125.000$$.
Visible text: Dari matriks , kita bisa melihat bahwa total pendapatan dari penjualan keripik tempe adalah , keripik pisang , dan keripik kentang .
Jika pertanyaannya adalah "tentukan matriks pendapatan untuk setiap tempat", maka kita perlu mengatur matriks harga $$Q$$ secara berbeda atau melakukan perkalian dengan transpos dari $$P$$.
Visible text: Jika pertanyaannya adalah "tentukan matriks pendapatan untuk setiap tempat", maka kita perlu mengatur matriks harga secara berbeda atau melakukan perkalian dengan transpos dari .
Misalkan kita ingin mencari total pendapatan di Tempat A, Tempat B, dan Tempat C. Kita bisa menggunakan matriks harga sebagai matriks baris $$Q^T = \begin{bmatrix} 20.000 & 15.000 & 30.000 \end{bmatrix}$$ dan mengalikannya dengan matriks $$P$$: $$S = Q^T P$$.
Visible text: Misalkan kita ingin mencari total pendapatan di Tempat A, Tempat B, dan Tempat C. Kita bisa menggunakan matriks harga sebagai matriks baris dan mengalikannya dengan matriks : .
Matriks $$Q^T$$ berordo $$1 \times 3$$ dan $$P$$ berordo $$3 \times 3$$. Hasilnya $$S$$ akan berordo $$1 \times 3$$.
Visible text: Matriks berordo dan berordo . Hasilnya akan berordo .
Component: MathContainer
Children:
```math
S = \begin{bmatrix} 20.000 & 15.000 & 30.000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix}
```
```math
s_{11} = (20.000)(15) + (15.000)(25) + (30.000)(15) = 300.000 + 375.000 + 450.000 = 1.125.000
```
```math
s_{12} = (20.000)(12) + (15.000)(10) + (30.000)(15) = 240.000 + 150.000 + 450.000 = 840.000
```
```math
s_{13} = (20.000)(20) + (15.000)(15) + (30.000)(20) = 400.000 + 225.000 + 600.000 = 1.225.000
```
Maka, $$S = \begin{bmatrix} 1.125.000 & 840.000 & 1.225.000 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Maka, .
Ini berarti total pendapatan dari Tempat A adalah $$\text{Rp}1.125.000$$, dari Tempat B adalah $$\text{Rp}840.000$$, dan dari Tempat C adalah $$\text{Rp}1.225.000$$.
Visible text: Ini berarti total pendapatan dari Tempat A adalah , dari Tempat B adalah , dan dari Tempat C adalah .
Interpretasi elemen matriks hasil perkalian sangat bergantung pada bagaimana matriks awal didefinisikan dan bagaimana perkalian dilakukan.
## Latihan
Diberikan matriks-matriks berikut:
Component: MathContainer
Children:
```math
C = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
```
```math
D = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}
```
Tentukan matriks $$CD$$ dan matriks $$DC$$.
Visible text: Tentukan matriks dan matriks .
Apakah $$CD = DC$$?
Visible text: Apakah ?
### Kunci Jawaban
1. Menghitung $$CD$$:
Matriks $$C$$ berordo $$2 \times 2$$ dan $$D$$ berordo $$2 \times 2$$. Hasilnya akan berordo $$2 \times 2$$.
```math
CD = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}
```
```math
CD = \begin{bmatrix} (1)(1) + (-3)(8) & (1)(-4) + (-3)(2) \\ (1)(1) + (2)(8) & (1)(-4) + (2)(2) \end{bmatrix}
```
```math
CD = \begin{bmatrix} 1 - 24 & -4 - 6 \\ 1 + 16 & -4 + 4 \end{bmatrix}
```
```math
CD = \begin{bmatrix} -23 & -10 \\ 17 & 0 \end{bmatrix}
```
2. Menghitung $$DC$$:
Matriks $$D$$ berordo $$2 \times 2$$ dan $$C$$ berordo $$2 \times 2$$. Hasilnya akan berordo $$2 \times 2$$.
```math
DC = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
```
```math
DC = \begin{bmatrix} (1)(1) + (-4)(1) & (1)(-3) + (-4)(2) \\ (8)(1) + (2)(1) & (8)(-3) + (2)(2) \end{bmatrix}
```
```math
DC = \begin{bmatrix} 1 - 4 & -3 - 8 \\ 8 + 2 & -24 + 4 \end{bmatrix}
```
```math
DC = \begin{bmatrix} -3 & -11 \\ 10 & -20 \end{bmatrix}
```
Visible text: 1. Menghitung :
Matriks berordo dan berordo . Hasilnya akan berordo .
2. Menghitung :
Matriks berordo dan berordo . Hasilnya akan berordo .
Dari hasil di atas, terlihat bahwa $$CD = \begin{bmatrix} -23 & -10 \\ 17 & 0 \end{bmatrix}$$ dan $$DC = \begin{bmatrix} -3 & -11 \\ 10 & -20 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Dari hasil di atas, terlihat bahwa dan .
Jadi, $$CD \neq DC$$. Ini adalah contoh lain yang menunjukkan bahwa perkalian matriks umumnya tidak bersifat komutatif.
Visible text: Jadi, . Ini adalah contoh lain yang menunjukkan bahwa perkalian matriks umumnya tidak bersifat komutatif.