# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/matriks/sifat-determinan-matriks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/matrix/properties-determinant-matrix/id.mdx

Pelajari sifat determinan matriks, termasuk |AB| = |A||B| dan |kA| = k^n|A|, melalui contoh bertahap.

---

## Menemukan Sifat Determinan Matriks

Misalkan kita memiliki dua matriks, $$A$$ dan $$B$$, sebagai berikut:

Visible text: Misalkan kita memiliki dua matriks, dan , sebagai berikut:

Component: MathContainer
Children:

```math
A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}
```

```math
B = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
```

### Determinan dari Perkalian Dua Matriks

Kita selidiki hubungan antara determinan dari perkalian dua matriks ($$|AB|$$) dengan perkalian dari masing-masing determinannya ($$|A||B|$$).

Visible text: Kita selidiki hubungan antara determinan dari perkalian dua matriks () dengan perkalian dari masing-masing determinannya ().

**Langkah $$1$$: Hitung Determinan Matriks $$A$$ ($$|A|$$)**

Visible text: **Langkah : Hitung Determinan Matriks ()**

Determinan dari matriks $$A$$ adalah:

Visible text: Determinan dari matriks adalah:

```math
|A| = (-5 \cdot -3) - (2 \cdot 1) = 15 - 2 = 13
```

**Langkah $$2$$: Hitung Determinan Matriks $$B$$ ($$|B|$$)**

Visible text: **Langkah : Hitung Determinan Matriks ()**

Determinan dari matriks $$B$$ adalah:

Visible text: Determinan dari matriks adalah:

```math
|B| = (9 \cdot -1) - (-4 \cdot 1) = -9 - (-4) = -9 + 4 = -5
```

**Langkah $$3$$: Tentukan Hasil Perkalian Matriks $$A$$ dan $$B$$ ($$AB$$)**

Visible text: **Langkah : Tentukan Hasil Perkalian Matriks dan ()**

Matriks $$AB$$ diperoleh dengan mengalikan matriks $$A$$ dan $$B$$:

Visible text: Matriks diperoleh dengan mengalikan matriks dan :

Component: MathContainer
Children:

```math
AB = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
```

```math
AB = \begin{bmatrix} (-5)(9) + (2)(1) & (-5)(-4) + (2)(-1) \\ (1)(9) + (-3)(1) & (1)(-4) + (-3)(-1) \end{bmatrix}
```

```math
AB = \begin{bmatrix} -45 + 2 & 20 - 2 \\ 9 - 3 & -4 + 3 \end{bmatrix}
```

```math
AB = \begin{bmatrix} -43 & 18 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}
```

**Langkah $$4$$: Hitung Determinan Matriks $$AB$$ ($$|AB|$$)**

Visible text: **Langkah : Hitung Determinan Matriks ()**

Sekarang, kita hitung determinan dari matriks hasil perkalian AB:

```math
|AB| = (-43 \cdot -1) - (18 \cdot 6) = 43 - 108 = -65
```

**Langkah $$5$$: Bandingkan $$|AB|$$ dengan $$|A||B|$$**

Visible text: **Langkah : Bandingkan dengan **

Kita telah mendapatkan $$|A| = 13$$, $$|B| = -5$$, dan $$|AB| = -65$$.

Visible text: Kita telah mendapatkan , , dan .

Mari kita hitung $$|A||B|$$:

Visible text: Mari kita hitung :

```math
|A||B| = 13 \cdot (-5) = -65
```

Perhatikan bahwa nilai $$|AB|$$ sama dengan nilai $$|A||B|$$.

Visible text: Perhatikan bahwa nilai sama dengan nilai .

**Rumusan Sifat Determinan Perkalian Matriks**

Jika $$A$$ dan $$B$$ adalah dua matriks persegi berordo sama, maka determinan dari hasil kali matriks $$A$$ dan $$B$$ sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks.

Visible text: Jika dan adalah dua matriks persegi berordo sama, maka determinan dari hasil kali matriks dan sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks.

```math
|AB| = |A||B|
```

### Determinan Matriks dengan Perkalian Skalar

Sekarang, mari kita selidiki apa yang terjadi pada determinan sebuah matriks jika setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan sebuah skalar (konstanta).

Misalkan kita gunakan matriks $$A$$ dari contoh sebelumnya dan sebuah skalar $$k=2$$.

Visible text: Misalkan kita gunakan matriks dari contoh sebelumnya dan sebuah skalar .

```math
A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}
```

Kita sudah tahu bahwa $$|A| = 13$$. Matriks $$A$$ adalah matriks berordo $$2 \times 2$$, sehingga $$n=2$$.

Visible text: Kita sudah tahu bahwa . Matriks adalah matriks berordo , sehingga .

**Langkah $$1$$: Tentukan Matriks $$kA$$**

Visible text: **Langkah : Tentukan Matriks **

Kalikan setiap elemen matriks $$A$$ dengan skalar $$k=2$$:

Visible text: Kalikan setiap elemen matriks dengan skalar :

```math
kA = 2A = 2\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-5) & 2(2) \\ 2(1) & 2(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ 2 & -6 \end{bmatrix}
```

**Langkah $$2$$: Hitung Determinan Matriks $$kA$$ ($$|kA|$$)**

Visible text: **Langkah : Hitung Determinan Matriks ()**

Determinan dari matriks $$kA$$ adalah:

Visible text: Determinan dari matriks adalah:

```math
|kA| = (-10 \cdot -6) - (4 \cdot 2) = 60 - 8 = 52
```

**Langkah $$3$$: Bandingkan $$|kA|$$ dengan $$k^n|A|$$**

Visible text: **Langkah : Bandingkan dengan **

Kita memiliki $$|kA| = 52$$. Skalar $$k=2$$, ordo matriks $$n=2$$, dan $$|A|=13$$.

Visible text: Kita memiliki . Skalar , ordo matriks , dan .

Mari kita hitung $$k^n|A|$$:

Visible text: Mari kita hitung :

```math
k^n|A| = 2^2 \cdot 13 = 4 \cdot 13 = 52
```

Perhatikan bahwa nilai $$|kA|$$ sama dengan nilai $$k^n|A|$$.

Visible text: Perhatikan bahwa nilai sama dengan nilai .

**Rumusan Sifat Determinan Perkalian Skalar**

Jika $$A$$ adalah matriks persegi berordo $$n \times n$$ dan $$k$$ adalah suatu skalar, maka determinan dari matriks $$kA$$ adalah $$k^n$$ dikalikan dengan determinan matriks $$A$$.

Visible text: Jika adalah matriks persegi berordo dan adalah suatu skalar, maka determinan dari matriks adalah dikalikan dengan determinan matriks .

```math
|kA| = k^n |A|
```

Di sini, $$n$$ adalah ordo (jumlah baris atau kolom) dari matriks persegi $$A$$.

Visible text: Di sini, adalah ordo (jumlah baris atau kolom) dari matriks persegi .