# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/persamaan-dan-fungsi-kuadrat/akar-tidak-nyata-atau-imajiner
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-imaginary-root/id.mdx

Pelajari kapan persamaan kuadrat memiliki akar imajiner, cara mengidentifikasi dengan diskriminan, dan menyelesaikan bilangan kompleks bertahap.

---

## Apa itu Akar Tidak Nyata?

Persamaan kuadrat $$ax^2 + bx + c = 0$$ kadang-kadang punya jawaban yang tidak bisa kita temukan di bilangan biasa. Jawaban seperti ini disebut "akar tidak nyata" atau "akar imajiner".

Visible text: Persamaan kuadrat kadang-kadang punya jawaban yang tidak bisa kita temukan di bilangan biasa. Jawaban seperti ini disebut "akar tidak nyata" atau "akar imajiner".

Bayangkan kita sedang mencari angka yang kalau dikali dengan dirinya sendiri hasilnya negatif. Apa ada angka seperti itu? Tidak ada! Karena bilangan apapun kalau dikali dengan dirinya sendiri pasti hasilnya positif atau nol. Inilah yang menjadi awal mula kita mengenal bilangan imajiner.

## Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mengandung $$i$$, di mana $$i = \sqrt{-1}$$. Ini berarti $$i^2 = -1$$.

Visible text: Bilangan imajiner adalah bilangan yang mengandung , di mana . Ini berarti .

Contoh bilangan imajiner:

- $$3i$$ (dibaca: "tiga i")
- $$2 + 5i$$ (dibaca: "dua plus lima i")
- $$-4i$$ (dibaca: "negatif empat i")

Visible text: - (dibaca: "tiga i")
- (dibaca: "dua plus lima i")
- (dibaca: "negatif empat i")

Bilangan seperti $$2 + 5i$$ disebut bilangan kompleks, karena merupakan gabungan dari bilangan real $$2$$ dan bilangan imajiner $$5i$$.

Visible text: Bilangan seperti disebut bilangan kompleks, karena merupakan gabungan dari bilangan real dan bilangan imajiner .

## Kapan Persamaan Kuadrat Punya Akar Imajiner?

Persamaan kuadrat punya akar imajiner ketika nilai diskriminannya negatif. Diskriminan adalah $$D = b^2 - 4ac$$.

Visible text: Persamaan kuadrat punya akar imajiner ketika nilai diskriminannya negatif. Diskriminan adalah .

Jika $$D < 0$$, maka persamaan kuadrat akan memiliki dua akar imajiner yang berbeda.

Visible text: Jika , maka persamaan kuadrat akan memiliki dua akar imajiner yang berbeda.

## Cara Mencari Akar Imajiner

Untuk mencari akar imajiner, kita tetap menggunakan rumus:

```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```

Karena $$b^2 - 4ac$$ bernilai negatif, kita bisa tulis ulang sebagai:

Visible text: Karena bernilai negatif, kita bisa tulis ulang sebagai:

Component: MathContainer
Children:

```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{-(4ac - b^2)}}{2a}
```

```math
x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}
```

### Contoh Soal Pertama

Mari kita cari akar-akar dari persamaan $$x^2 + 4x + 5 = 0$$.

Visible text: Mari kita cari akar-akar dari persamaan .

**Langkah** $$1$$: Identifikasi nilai $$a$$, $$b$$, dan $$c$$.

Visible text: **Langkah** : Identifikasi nilai , , dan .

- $$a = 1$$
- $$b = 4$$
- $$c = 5$$

Visible text: - 
- 
-

**Langkah** $$2$$: Hitung diskriminan.

Visible text: **Langkah** : Hitung diskriminan.

```math
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4
```

Karena $$D = -4 < 0$$, persamaan ini memiliki akar-akar imajiner.

Visible text: Karena , persamaan ini memiliki akar-akar imajiner.

**Langkah** $$3$$: Gunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat.

Visible text: **Langkah** : Gunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat.

Component: MathContainer
Children:

```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1}
```

```math
x = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i
```

Jadi, akar-akar dari persamaan $$x^2 + 4x + 5 = 0$$ adalah $$x_1 = -2 + i$$ dan $$x_2 = -2 - i$$.

Visible text: Jadi, akar-akar dari persamaan adalah dan .

### Contoh Soal Kedua

Tentukan jenis akar-akar dari persamaan $$2x^2 + x + 3 = 0$$.

Visible text: Tentukan jenis akar-akar dari persamaan .

**Langkah** $$1$$: Identifikasi nilai $$a$$, $$b$$, dan $$c$$.

Visible text: **Langkah** : Identifikasi nilai , , dan .

- $$a = 2$$
- $$b = 1$$
- $$c = 3$$

Visible text: - 
- 
-

**Langkah** $$2$$: Hitung diskriminan.

Visible text: **Langkah** : Hitung diskriminan.

```math
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23
```

Karena $$D = -23 < 0$$, persamaan ini memiliki akar-akar imajiner.

Visible text: Karena , persamaan ini memiliki akar-akar imajiner.

**Langkah** $$3$$: Cari akar-akar persamaan.

Visible text: **Langkah** : Cari akar-akar persamaan.

Component: MathContainer
Children:

```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-23}}{2 \cdot 2}
```

```math
x = \frac{-1 \pm i\sqrt{23}}{4}
```

Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{23}}{4}$$ dan $$x_2 = \frac{-1 - i\sqrt{23}}{4}$$.

Visible text: Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .

## Mengapa Akar Imajiner Selalu Berpasangan?

Akar-akar imajiner selalu muncul berpasangan dalam bentuk $$a + bi$$ dan $$a - bi$$. Pasangan ini disebut "konjugat kompleks".

Visible text: Akar-akar imajiner selalu muncul berpasangan dalam bentuk dan . Pasangan ini disebut "konjugat kompleks".

Ini terjadi karena rumus persamaan kuadrat melibatkan $$\pm\sqrt{D}$$. Ketika $$D < 0$$, kita mendapatkan $$\pm i\sqrt{|D|}$$, yang memberikan pasangan konjugat kompleks.

Visible text: Ini terjadi karena rumus persamaan kuadrat melibatkan . Ketika , kita mendapatkan , yang memberikan pasangan konjugat kompleks.