# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/persamaan-dan-fungsi-kuadrat/faktorisasi-persamaan-kuadrat
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-factorization/id.mdx
Pelajari faktorisasi persamaan kuadrat ke bentuk (x-p)(x-q). Pelajari langkah sistematis, metode pengelompokan, dan kasus khusus dengan contoh terarah dan latihan soal.
---
## Apa itu Faktorisasi Persamaan Kuadrat?
Component: Youtube
Props:
- videoId: CVuDCWTxqBA
Faktorisasi persamaan kuadrat adalah proses mengubah bentuk persamaan dari $$ax^2 + bx + c = 0$$ menjadi bentuk $$a(x - p)(x - q) = 0$$, dimana $$p$$ dan $$q$$ adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Visible text: Faktorisasi persamaan kuadrat adalah proses mengubah bentuk persamaan dari menjadi bentuk , dimana dan adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Perhatikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai $$x$$ yang membuat persamaan tersebut bernilai nol. Ketika kita mengubah persamaan ke bentuk faktor, maka kita dapat dengan mudah menemukan akar-akarnya.
Visible text: Perhatikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai yang membuat persamaan tersebut bernilai nol. Ketika kita mengubah persamaan ke bentuk faktor, maka kita dapat dengan mudah menemukan akar-akarnya.
## Prinsip Dasar Faktorisasi
Persamaan kuadrat dalam bentuk standar ditulis sebagai:
```math
ax^2 + bx + c = 0
```
dimana $$a$$, $$b$$, dan $$c$$ adalah konstanta dan $$a \neq 0$$.
Visible text: dimana , , dan adalah konstanta dan .
Faktorisasi berdasarkan pada sifat berikut: Jika suatu perkalian bernilai nol, maka salah satu atau kedua faktornya harus bernilai nol.
Ini berarti jika $$(x - p)(x - q) = 0$$, maka:
Visible text: Ini berarti jika , maka:
- $$x - p = 0$$ atau $$x - q = 0$$
- Sehingga $$x = p$$ atau $$x = q$$
Visible text: - atau
- Sehingga atau
## Langkah-Langkah Faktorisasi Persamaan Kuadrat
Berikut adalah langkah-langkah umum untuk memfaktorkan persamaan kuadrat $$ax^2 + bx + c = 0$$:
Visible text: Berikut adalah langkah-langkah umum untuk memfaktorkan persamaan kuadrat :
1. Pastikan persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol
2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $$ac$$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $$b$$
3. Tulis persamaan dalam bentuk faktor-faktor
4. Tentukan akar-akar persamaan dari faktor-faktor tersebut
Visible text: 1. Pastikan persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol
2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan dan jika dijumlahkan menghasilkan
3. Tulis persamaan dalam bentuk faktor-faktor
4. Tentukan akar-akar persamaan dari faktor-faktor tersebut
### Contoh memfaktorkan persamaan kuadrat
1. Memfaktorkan persamaan:
```math
x^2 + 5x + 6 = 0
```
Pada persamaan ini, $$a = 1$$, $$b = 5$$, dan $$c = 6$$.
**Langkah** $$1$$: Persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol.
**Langkah** $$2$$: Kita perlu mencari dua bilangan yang:
- Jika dikalikan menghasilkan $$ac = 1 \times 6 = 6$$
- Jika dijumlahkan menghasilkan $$b = 5$$
Faktor-faktor dari $$6$$ adalah $$1$$, $$2$$, $$3$$, dan $$6$$.
Pasangan faktor yang mungkin adalah $$(1, 6)$$ dan $$(2, 3)$$.
Pasangan $$(2, 3)$$ memberikan jumlah $$5$$, sesuai dengan nilai $$b$$.
**Langkah** $$3$$: Kita dapat menulis persamaan sebagai:
```math
x^2 + 2x + 3x + 6 = 0
```
```math
x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
```
```math
(x + 3)(x + 2) = 0
```
**Langkah** $$4$$: Dari bentuk faktor di atas, kita mendapatkan:
- $$x + 3 = 0$$ → $$x = -3$$
- $$x + 2 = 0$$ → $$x = -2$$
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x = -3$$ dan $$x = -2$$.
2. Memfaktorkan persamaan:
```math
3x^2 + 13x - 10 = 0
```
Pada persamaan ini, $$a = 3$$, $$b = 13$$, dan $$c = -10$$.
**Langkah** $$1$$: Persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol.
**Langkah** $$2$$: Kita perlu mencari dua bilangan yang:
- Jika dikalikan menghasilkan $$ac = 3 \times (-10) = -30$$
- Jika dijumlahkan menghasilkan $$b = 13$$
Faktor-faktor dari $$-30$$ adalah pasangan bilangan yang berlawanan tanda:
$$(1, -30), (-1, 30), (2, -15), (-2, 15), (3, -10), (-3, 10), (5, -6), (-5, 6)$$
Pasangan $$(15, -2)$$ memberikan jumlah $$13$$, sesuai dengan nilai $$b$$.
**Langkah** $$3$$: Kita dapat menulis persamaan sebagai:
```math
3x^2 + 15x - 2x - 10 = 0
```
Kita dapat mengelompokkannya:
```math
3x^2 + 15x - 2x - 10 = 0
```
```math
3x(x + 5) - 2(x + 5) = 0
```
```math
(3x - 2)(x + 5) = 0
```
**Langkah** $$4$$: Dari bentuk faktor di atas, kita mendapatkan:
- $$3x - 2 = 0$$ → $$x = \frac{2}{3}$$
- $$x + 5 = 0$$ → $$x = -5$$
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x = \frac{2}{3}$$ dan $$x = -5$$.
3. Faktorisasi Ketika Koefisien $$a \neq 1$$
Ketika koefisien $$a$$ tidak sama dengan $$1$$, kita perlu sedikit modifikasi dalam langkah-langkah faktorisasi. Ada beberapa pendekatan:
**Metode Faktor dari $$ac$$**
1. Tentukan nilai $$ac$$
2. Cari pasangan faktor dari $$ac$$ yang jika dijumlahkan menghasilkan $$b$$
3. Gunakan pasangan faktor untuk memisahkan suku $$bx$$ menjadi dua suku
4. Faktorkan dengan pengelompokan
**Contoh Faktorisasi**:
```math
2x^2 + 5x - 3 = 0
```
Pada persamaan ini, $$a = 2$$, $$b = 5$$, dan $$c = -3$$.
**Langkah** $$1$$: Hitung $$ac = 2 \times (-3) = -6$$
**Langkah** $$2$$: Cari pasangan faktor dari $$-6$$ yang jika dijumlahkan menghasilkan $$5$$:
Faktor-faktor dari $$-6$$: $$(1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3)$$
Pasangan $$(6, -1)$$ memberikan jumlah $$5$$, sesuai dengan nilai $$b$$.
**Langkah** $$3$$: Pisahkan suku $$5x$$ menjadi $$6x - x$$:
```math
2x^2 + 6x - x - 3 = 0
```
**Langkah** $$4$$: Faktorkan dengan pengelompokan:
```math
2x^2 + 6x - x - 3 = 0
```
```math
2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0
```
```math
(2x - 1)(x + 3) = 0
```
**Langkah** $$5$$: Tentukan akar-akar persamaan:
- $$2x - 1 = 0$$ → $$x = \frac{1}{2}$$
- $$x + 3 = 0$$ → $$x = -3$$
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x = \frac{1}{2}$$ dan $$x = -3$$.
Visible text: 1. Memfaktorkan persamaan:
Pada persamaan ini, , , dan .
**Langkah** : Persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol.
**Langkah** : Kita perlu mencari dua bilangan yang:
- Jika dikalikan menghasilkan
- Jika dijumlahkan menghasilkan
Faktor-faktor dari adalah , , , dan .
Pasangan faktor yang mungkin adalah dan .
Pasangan memberikan jumlah , sesuai dengan nilai .
**Langkah** : Kita dapat menulis persamaan sebagai:
**Langkah** : Dari bentuk faktor di atas, kita mendapatkan:
- →
- →
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
2. Memfaktorkan persamaan:
Pada persamaan ini, , , dan .
**Langkah** : Persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol.
**Langkah** : Kita perlu mencari dua bilangan yang:
- Jika dikalikan menghasilkan
- Jika dijumlahkan menghasilkan
Faktor-faktor dari adalah pasangan bilangan yang berlawanan tanda:
Pasangan memberikan jumlah , sesuai dengan nilai .
**Langkah** : Kita dapat menulis persamaan sebagai:
Kita dapat mengelompokkannya:
**Langkah** : Dari bentuk faktor di atas, kita mendapatkan:
- →
- →
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
3. Faktorisasi Ketika Koefisien
Ketika koefisien tidak sama dengan , kita perlu sedikit modifikasi dalam langkah-langkah faktorisasi. Ada beberapa pendekatan:
**Metode Faktor dari **
1. Tentukan nilai
2. Cari pasangan faktor dari yang jika dijumlahkan menghasilkan
3. Gunakan pasangan faktor untuk memisahkan suku menjadi dua suku
4. Faktorkan dengan pengelompokan
**Contoh Faktorisasi**:
Pada persamaan ini, , , dan .
**Langkah** : Hitung
**Langkah** : Cari pasangan faktor dari yang jika dijumlahkan menghasilkan :
Faktor-faktor dari :
Pasangan memberikan jumlah , sesuai dengan nilai .
**Langkah** : Pisahkan suku menjadi :
**Langkah** : Faktorkan dengan pengelompokan:
**Langkah** : Tentukan akar-akar persamaan:
- →
- →
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
## Metode Cepat: Ketika Kita Mengetahui Salah Satu Akar
Jika kita mengetahui salah satu akar dari persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan informasi ini untuk menemukan faktorisasi lengkap.
**Contoh:** Salah satu akar dari persamaan $$2x^2 - bx - 6 = 0$$ adalah $$6$$
Visible text: **Contoh:** Salah satu akar dari persamaan adalah
Jika $$x = 6$$ adalah akar persamaan, maka $$(x - 6)$$ adalah salah satu faktornya.
Visible text: Jika adalah akar persamaan, maka adalah salah satu faktornya.
Kita dapat mensubstitusikan $$x = 6$$ ke persamaan asli:
Visible text: Kita dapat mensubstitusikan ke persamaan asli:
Component: MathContainer
Children:
```math
2(6)^2 - b(6) - 6 = 0
```
```math
2 \times 36 - 6b - 6 = 0
```
```math
72 - 6b - 6 = 0
```
```math
66 = 6b
```
```math
b = 11
```
Sekarang kita dapat menulis persamaan sebagai $$2x^2 - 11x - 6 = 0$$.
Visible text: Sekarang kita dapat menulis persamaan sebagai .
Menggunakan metode faktorisasi, kita memfaktorkannya sebagai:
Component: MathContainer
Children:
```math
2x^2 - 11x - 6 = 0
```
```math
2x^2 - 12x + x - 6 = 0
```
```math
2x(x - 6) + 1(x - 6) = 0
```
```math
(2x + 1)(x - 6) = 0
```
Akar-akar persamaan adalah $$x = -\frac{1}{2}$$ dan $$x = 6$$.
Visible text: Akar-akar persamaan adalah dan .
## Kasus Khusus Faktorisasi
1. Bentuk $$ax^2 + bx = 0$$
Untuk persamaan tanpa konstanta, kita dapat memfaktorkan $$x$$ langsung:
```math
ax^2 + bx = 0
```
```math
x(ax + b) = 0
```
Akar-akarnya adalah $$x = 0$$ dan $$x = -\frac{b}{a}$$.
**Contoh:** $$2x^2 - 18x = 0$$
```math
2x^2 - 18x = 0
```
```math
2x(x - 9) = 0
```
Akar-akarnya adalah $$x = 0$$ dan $$x = 9$$.
2. Bentuk $$ax^2 - c = 0$$
Untuk persamaan tanpa suku $$x$$, kita dapat menggunakan pola selisih kuadrat:
```math
ax^2 - c = 0
```
```math
ax^2 = c
```
```math
x^2 = \frac{c}{a}
```
```math
x = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}
```
**Contoh:** $$2x^2 - 18 = 0$$
```math
2x^2 - 18 = 0
```
```math
2x^2 = 18
```
```math
x^2 = 9
```
```math
x = \pm 3
```
Akar-akarnya adalah $$x = 3$$ dan $$x = -3$$.
Visible text: 1. Bentuk
Untuk persamaan tanpa konstanta, kita dapat memfaktorkan langsung:
Akar-akarnya adalah dan .
**Contoh:**
Akar-akarnya adalah dan .
2. Bentuk
Untuk persamaan tanpa suku , kita dapat menggunakan pola selisih kuadrat:
**Contoh:**
Akar-akarnya adalah dan .
## Persamaan Kuadrat yang Tidak Dapat Difaktorkan
Tidak semua persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan mudah menggunakan bilangan-bilangan rasional. Dalam kasus tersebut, kita dapat menggunakan rumus kuadrat:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
Suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan bilangan rasional jika diskriminan $$b^2 - 4ac$$ merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Visible text: Suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan bilangan rasional jika diskriminan merupakan bilangan kuadrat sempurna.
## Latihan Soal
Faktorkan persamaan-persamaan kuadrat berikut:
1. $$x^2 + 6x + 5 = 0$$
2. $$2x^2 + 5x + 2 = 0$$
3. $$3x^2 - x - 2 = 0$$
4. $$2x^2 - 8x + 6 = 0$$
5. $$x^2 - 9 = 0$$
Visible text: 1.
2.
3.
4.
5.
### Kunci Jawaban
1. $$x^2 + 6x + 5 = 0$$
**Langkah** $$1$$: Identifikasi koefisien
```math
a = 1, b = 6, c = 5
```
**Langkah** $$2$$: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $$ac = 5$$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $$b = 6$$
```math
\text{Faktor dari } 5: 1 \times 5 = 5 \text{ dan} 1 + 5 = 6
```
**Langkah** $$3$$: Faktorisasi
```math
x^2 + 6x + 5 = 0
```
```math
x^2 + x + 5x + 5 = 0
```
```math
x(x + 1) + 5(x + 1) = 0
```
```math
(x + 5)(x + 1) = 0
```
**Langkah** $$4$$: Tentukan akar-akar persamaan
```math
x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5
```
```math
x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x = -5$$ dan $$x = -1$$.
2. $$2x^2 + 5x + 2 = 0$$
**Langkah** $$1$$: Identifikasi koefisien
```math
a = 2, b = 5, c = 2
```
**Langkah** $$2$$: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $$ac = 2 \times 2 = 4$$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $$b = 5$$
```math
\text{Faktor dari } 4: 1 \times 4 = 4 \text{ dan} 1 + 4 = 5
```
**Langkah** $$3$$: Faktorisasi
```math
2x^2 + 5x + 2 = 0
```
```math
2x^2 + x + 4x + 2 = 0
```
```math
x(2x + 1) + 2(2x + 1) = 0
```
```math
(2x + 1)(x + 2) = 0
```
**Langkah** $$4$$: Tentukan akar-akar persamaan
```math
2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}
```
```math
x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x = -\frac{1}{2}$$ dan $$x = -2$$.
3. $$3x^2 - x - 2 = 0$$
**Langkah** $$1$$: Identifikasi koefisien
```math
a = 3, b = -1, c = -2
```
**Langkah** $$2$$: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $$ac = 3 \times (-2) = -6$$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $$b = -1$$
```math
\text{Faktor dari } -6: (-3) \times 2 = -6 \text{ dan} (-3) + 2 = -1
```
**Langkah** $$3$$: Faktorisasi
```math
3x^2 - x - 2 = 0
```
```math
3x^2 - 3x + 2x - 2 = 0
```
```math
3x(x - 1) + 2(x - 1) = 0
```
```math
(3x + 2)(x - 1) = 0
```
**Langkah** $$4$$: Tentukan akar-akar persamaan
```math
3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}
```
```math
x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x = -\frac{2}{3}$$ dan $$x = 1$$.
4. $$2x^2 - 8x + 6 = 0$$
**Langkah** $$1$$: Identifikasi koefisien
```math
a = 2, b = -8, c = 6
```
**Langkah** $$2$$: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $$ac = 2 \times 6 = 12$$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $$b = -8$$
```math
\text{Faktor dari } 12: (-6) \times (-2) = 12 \text{ dan} (-6) + (-2) = -8
```
**Langkah** $$3$$: Faktorisasi
```math
2x^2 - 8x + 6 = 0
```
```math
2x^2 - 6x - 2x + 6 = 0
```
```math
2x(x - 3) - 2(x - 3) = 0
```
```math
(2x - 2)(x - 3) = 0
```
```math
2(x - 1)(x - 3) = 0
```
**Langkah** $$4$$: Tentukan akar-akar persamaan
```math
x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
```
```math
x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x = 1$$ dan $$x = 3$$.
5. $$x^2 - 9 = 0$$
**Langkah** $$1$$: Identifikasi sebagai bentuk selisih kuadrat
```math
x^2 - 9 = x^2 - 3^2
```
**Langkah** $$2$$: Gunakan rumus selisih kuadrat $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$
```math
x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3) = 0
```
**Langkah** $$3$$: Tentukan akar-akar persamaan
```math
x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
```
```math
x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x = -3$$ dan $$x = 3$$.
Visible text: 1.
**Langkah** : Identifikasi koefisien
**Langkah** : Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan dan jika dijumlahkan menghasilkan
**Langkah** : Faktorisasi
**Langkah** : Tentukan akar-akar persamaan
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
2.
**Langkah** : Identifikasi koefisien
**Langkah** : Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan dan jika dijumlahkan menghasilkan
**Langkah** : Faktorisasi
**Langkah** : Tentukan akar-akar persamaan
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
3.
**Langkah** : Identifikasi koefisien
**Langkah** : Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan dan jika dijumlahkan menghasilkan
**Langkah** : Faktorisasi
**Langkah** : Tentukan akar-akar persamaan
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
4.
**Langkah** : Identifikasi koefisien
**Langkah** : Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan dan jika dijumlahkan menghasilkan
**Langkah** : Faktorisasi
**Langkah** : Tentukan akar-akar persamaan
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
5.
**Langkah** : Identifikasi sebagai bentuk selisih kuadrat
**Langkah** : Gunakan rumus selisih kuadrat
**Langkah** : Tentukan akar-akar persamaan
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .