Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Pengertian Akar Persamaan Kuadrat

Dalam persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ (dengan $a \neq 0$ ), akar-akar persamaan adalah nilai-nilai $x$ yang membuat persamaan tersebut menjadi benar. Persamaan kuadrat selalu memiliki dua akar yang bisa ditemukan dengan rumus:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Nilai $b^2 - 4ac$ disebut determinan atau diskriminan (dilambangkan dengan $D$ ), yang sangat penting karena menentukan jenis akar persamaan kuadrat.

Akar Berbeda dan Real

Jika $D > 0$ (atau $b^2 > 4ac$ ), maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda.

x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{dan} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}

Contoh: $x^2 - 5x + 6 = 0$

$a = 1, b = -5, c = 6$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$
Akar-akarnya: $x_1 = 3$ dan $x_2 = 2$

Akar Kembar (Sama)

Jika $D = 0$ (atau $b^2 = 4ac$ ), maka persamaan kuadrat memiliki satu akar real yang kembar (dua akar yang sama nilainya).

x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}

Contoh: $x^2 - 6x + 9 = 0$

$a = 1, b = -6, c = 9$
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$
Akar-akarnya: $x_1 = x_2 = 3$

Akar Imajiner (Tidak Real)

Jika $D < 0$ (atau $b^2 < 4ac$ ), maka persamaan kuadrat memiliki dua akar kompleks (imajiner) yang berbeda.

x_1 = \frac{-b + i\sqrt{|D|}}{2a} \quad \text{dan} \quad x_2 = \frac{-b - i\sqrt{|D|}}{2a}

Dimana $i = \sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner.

Contoh: $x^2 + 2x + 5 = 0$

$a = 1, b = 2, c = 5$
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$
Akar-akarnya: $x_1 = -1 + 2i$ dan $x_2 = -1 - 2i$

Hubungan Akar-Akar dengan Koefisien

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ , maka:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

Ini adalah hubungan penting yang bisa digunakan untuk mencari koefisien persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui.