Berbagai Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Pengertian Akar Persamaan Kuadrat

Dalam persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ , akar adalah setiap nilai $x$ yang kalau kamu masukkan ke persamaan, ruas kiri dan ruas kanannya sama. Contohnya $x = 2$ pada $x^2 - 5x + 6 = 0$ : $4 - 10 + 6 = 0$ , cocok, jadi 2 adalah akar. Kalau kamu hanya melihat bilangan real, persamaan dengan diskriminan negatif tidak punya akar. Tapi di dalam bilangan kompleks, setiap persamaan kuadrat punya dua akar. Kalau kedua akarnya sama seperti pada $x^2 - 6x + 9 = 0$ di bawah, akar kembar itu kita hitung dua kali. Rumus kuadrat menghitung kedua akar itu langsung dari $a$ , $b$ , dan $c$ :

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Ekspresi $b^2 - 4ac$ disebut diskriminan dan dilambangkan dengan $D$ . Kalau $D > 0$ , akarnya dua dan real berbeda. Kalau $D = 0$ , akarnya kembar. Kalau $D < 0$ , akarnya kompleks tidak real. Jadi cukup dengan melihat tanda $D$ , kamu sudah tahu jenis akarnya tanpa menghitung rumus sampai selesai.

Akar Berbeda dan Real

Jika $D > 0$ (atau $b^2 > 4ac$ ), maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda.

\begin{aligned} &x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\ &\text{dan} \\ &x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \end{aligned}

Contoh: $x^2 - 5x + 6 = 0$

$a = 1, b = -5, c = 6$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$
Akar-akarnya: $x_1 = 3$ dan $x_2 = 2$

Akar Kembar dengan Nilai yang Sama

Jika $D = 0$ (atau $b^2 = 4ac$ ), maka persamaan kuadrat memiliki satu akar real yang kembar (dua akar yang sama nilainya).

x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}

Contoh: $x^2 - 6x + 9 = 0$

$a = 1, b = -6, c = 9$
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$
Akar-akarnya: $x_1 = x_2 = 3$

Dua Akar Kompleks Tidak Real

Jika $D < 0$ (atau $b^2 < 4ac$ ), persamaan kuadrat memiliki dua akar kompleks tidak real yang berbeda. Untuk koefisien real, keduanya membentuk pasangan konjugat.

\begin{aligned} &x_1 = \frac{-b + i\sqrt{|D|}}{2a} \\ &\text{dan} \\ &x_2 = \frac{-b - i\sqrt{|D|}}{2a} \end{aligned}

Di sini $i^2=-1$ mendefinisikan satuan imajiner.

Contoh: $x^2 + 2x + 5 = 0$

$a = 1, b = 2, c = 5$
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$
Akar-akarnya: $x_1 = -1 + 2i$ dan $x_2 = -1 - 2i$

Hubungan Akar Persamaan dengan Koefisien

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ , maka:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

Hubungan ini dapat dipakai untuk memeriksa akar yang sudah dihitung atau menentukan rasio koefisien $b/a$ dan $c/a$ . Persamaan tertentu dapat ditetapkan setelah koefisien utama $a$ juga diketahui.

Latihan

Soal ini meminta pengelompokan lebih dahulu lalu penyelesaiannya, jadi hitung diskriminannya sebelum menarik akar. Pemeriksaan lewat jumlah dan hasil kali akar menunjukkan apakah kedua akarnya memang berpasangan.

Kelompokkan jenis akar dan selesaikan persamaan $2x^2-4x+5=0$ . Setelah itu, periksa akar-akarnya melalui jumlah dan hasil kali.

Pembahasan

Koefisiennya adalah $a=2$ , $b=-4$ , dan $c=5$ . Diskriminannya adalah

\begin{aligned} D &=(-4)^2-4\cdot2\cdot5 \\ &=16-40 \\ &=-24 \end{aligned}

Karena $D<0$ , persamaan memiliki dua akar kompleks tidak real. Terapkan rumus kuadrat dan gunakan $\sqrt{-24}=2i\sqrt6$ :

x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{-24}}{2\cdot2}

Jadi,

\begin{aligned} &x_1=1+\frac{i\sqrt6}{2} \\ &\text{dan} \\ &x_2=1-\frac{i\sqrt6}{2} \end{aligned}

Jumlah dan hasil kalinya sesuai dengan rumus Vieta:

x_1+x_2=2=-\frac{b}{a}

Kedua pemeriksaan memakai koefisien dari persamaan semula, sehingga tanda yang hilang atau penyebut yang keliru dalam rumus kuadrat dapat terdeteksi.