# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/persamaan-dan-fungsi-kuadrat/karakteristik-fungsi-kuadrat
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-characteristics/id.mdx
Pelajari karakteristik utama fungsi kuadrat, termasuk titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong, dengan penjelasan jelas dan contoh visual.
---
## Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola. Bentuk parabola ini bisa terbuka ke atas atau ke bawah, tergantung pada nilai koefisien $$a$$.
Visible text: Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola. Bentuk parabola ini bisa terbuka ke atas atau ke bawah, tergantung pada nilai koefisien .
## Pengaruh Nilai Koefisien Utama pada Bentuk Grafik
### Ketika Koefisien Utama Positif
Jika $$a > 0$$, maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke atas. Ini berarti grafiknya memiliki titik minimum.
Visible text: Jika , maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke atas. Ini berarti grafiknya memiliki titik minimum.
Contoh fungsi dengan $$a > 0$$:
Visible text: Contoh fungsi dengan :
- $$f(x) = x^2$$ (fungsi paling sederhana dengan $$a = 1$$
)
- $$f(x) = 2x^2 + 1$$ (contoh dengan $$a = 2$$
)
Visible text: - (fungsi paling sederhana dengan
)
- (contoh dengan
)
Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik Fungsi Kuadrat dengan $$a > 0$$
Visible text: Grafik Fungsi Kuadrat dengan
- description: Grafik terbuka ke atas dan memiliki titik minimum.
- cameraPosition: [5, 5, 12]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
const x = i - 3; // x values from -3 to 3
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("INDIGO"),
labels: [
{
text: "f(x) = x²",
at: 5,
offset: [1, -1, 0],
},
],
},
]
### Ketika Koefisien Utama Negatif
Jika $$a < 0$$, maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke bawah. Ini berarti grafiknya memiliki titik maksimum.
Visible text: Jika , maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke bawah. Ini berarti grafiknya memiliki titik maksimum.
Contoh fungsi dengan $$a < 0$$:
Visible text: Contoh fungsi dengan :
- $$f(x) = -x^2$$ dengan $$a = -1$$
- $$f(x) = -3x^2 - 12x - 15$$ dengan $$a = -3$$
Visible text: - dengan
- dengan
Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik Fungsi Kuadrat dengan $$a < 0$$
Visible text: Grafik Fungsi Kuadrat dengan
- description: Grafik terbuka ke bawah dan memiliki titik maksimum.
- cameraPosition: [2, 2, 12]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
const x = i - 3; // x values from -3 to 3
return { x, y: -x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [
{
text: "f(x) = -x²",
at: 4,
offset: [2, 0, 0],
},
],
},
]
### Mengapa Koefisien Utama Tidak Boleh Nol
Ketika $$a = 0$$, maka bentuk fungsi menjadi $$f(x) = bx + c$$. Ini bukan lagi fungsi kuadrat, melainkan fungsi linear. Fungsi kuadrat harus memiliki $$a \neq 0$$ agar pangkat tertinggi dari variabel $$x$$ adalah $$2$$.
Visible text: Ketika , maka bentuk fungsi menjadi . Ini bukan lagi fungsi kuadrat, melainkan fungsi linear. Fungsi kuadrat harus memiliki agar pangkat tertinggi dari variabel adalah .
## Karakteristik Penting Fungsi Kuadrat
### Titik Puncak (Vertex)
Titik puncak adalah titik tertinggi (jika $$a < 0$$) atau titik terendah (jika $$a > 0$$) pada grafik. Koordinat titik puncak dinyatakan sebagai $$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$$.
Visible text: Titik puncak adalah titik tertinggi (jika ) atau titik terendah (jika ) pada grafik. Koordinat titik puncak dinyatakan sebagai .
### Sumbu Simetri
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaan sumbu simetri adalah $$x = -\frac{b}{2a}$$.
Visible text: Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaan sumbu simetri adalah .
### Titik Potong Vertikal
Titik potong dengan sumbu $$y$$ diperoleh saat $$x = 0$$. Nilainya adalah $$f(0) = c$$.
Visible text: Titik potong dengan sumbu diperoleh saat . Nilainya adalah .
### Titik Potong Horizontal
Titik potong dengan sumbu $$x$$ diperoleh saat $$f(x) = 0$$, yaitu saat $$ax^2 + bx + c = 0$$. Solusinya dapat ditemukan menggunakan rumus:
Visible text: Titik potong dengan sumbu diperoleh saat , yaitu saat . Solusinya dapat ditemukan menggunakan rumus:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
## Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
1. Tentukan apakah parabola terbuka ke atas ($$a > 0$$) atau ke bawah ($$a < 0$$).
2. Hitung koordinat titik puncak $$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$$.
3. Hitung titik potong dengan sumbu $$y$$: $$(0, c)$$.
4. Hitung titik potong dengan sumbu $$x$$ (jika ada).
5. Pilih beberapa nilai $$x$$ lainnya dan hitung nilai $$y$$-nya.
6. Plot semua titik dalam sistem koordinat.
7. Hubungkan titik-titik dengan kurva parabola.
Visible text: 1. Tentukan apakah parabola terbuka ke atas () atau ke bawah ().
2. Hitung koordinat titik puncak .
3. Hitung titik potong dengan sumbu : .
4. Hitung titik potong dengan sumbu (jika ada).
5. Pilih beberapa nilai lainnya dan hitung nilai -nya.
6. Plot semua titik dalam sistem koordinat.
7. Hubungkan titik-titik dengan kurva parabola.
## Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
### Contoh Parabola Terbuka ke Atas
Mari kita gambar grafik fungsi $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$:
Visible text: Mari kita gambar grafik fungsi :
1. Koefisien $$a = 1 > 0$$, jadi parabola terbuka ke atas.
2. Titik puncak:
```math
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1
```
```math
f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
```
Jadi titik puncaknya adalah $$(1, -4)$$.
3. Titik potong dengan sumbu $$y$$:
```math
f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3
```
Jadi titik potong dengan sumbu $$y$$ adalah $$(0, -3)$$.
4. Titik potong dengan sumbu $$x$$: $$f(x) = 0$$ atau $$x^2 - 2x - 3 = 0$$
Menggunakan rumus kuadrat:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
```
```math
x = \frac{2 + 4}{2} = 3 \text{ atau} x = \frac{2 - 4}{2} = -1
```
Jadi titik potong dengan sumbu $$x$$ adalah $$(-1, 0)$$ dan $$(3, 0)$$.
5. Mari kita hitung beberapa titik tambahan:
```math
f(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5
```
```math
f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3
```
Visible text: 1. Koefisien , jadi parabola terbuka ke atas.
2. Titik puncak:
Jadi titik puncaknya adalah .
3. Titik potong dengan sumbu :
Jadi titik potong dengan sumbu adalah .
4. Titik potong dengan sumbu : atau
Menggunakan rumus kuadrat:
Jadi titik potong dengan sumbu adalah dan .
5. Mari kita hitung beberapa titik tambahan:
Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$
Visible text: Grafik
- description: Parabola terbuka ke atas dengan titik puncak{" "}
$$(1, -4)$$ dan titik potong dengan sumbu $$x$${" "}
$$(-1, 0)$$ dan $$(3, 0)$$.
Visible text: Parabola terbuka ke atas dengan titik puncak{" "}
dan titik potong dengan sumbu {" "}
dan .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
const x = i - 2; // x values from -2 to 4
return { x, y: x * x - 2 * x - 3, z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
labels: [
{
text: "f(x) = x² - 2x - 3",
at: 5,
offset: [3, 2, 0],
},
{
text: "Titik Puncak (1, -4)",
at: 3,
offset: [0, -0.5, 0],
},
],
},
]
### Contoh Parabola Terbuka ke Bawah
Mari kita gambar grafik fungsi $$f(x) = -x^2$$:
Visible text: Mari kita gambar grafik fungsi :
1. Koefisien $$a = -1 < 0$$, jadi parabola terbuka ke bawah.
2. Titik puncak:
```math
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0
```
```math
f(0) = -(0)^2 = 0
```
Jadi titik puncaknya adalah $$(0, 0)$$.
3. Titik potong dengan sumbu $$y$$:
```math
f(0) = 0
```
Jadi titik potong dengan sumbu $$y$$ adalah $$(0, 0)$$.
4. Titik potong dengan sumbu $$x$$: $$f(x) = 0$$ atau $$-x^2 = 0$$
```math
x^2 = 0
```
```math
x = 0
```
Jadi titik potong dengan sumbu $$x$$ adalah $$(0, 0)$$.
5. Mari kita hitung beberapa titik tambahan:
```math
f(-2) = -((-2)^2) = -4
```
```math
f(-1) = -((-1)^2) = -1
```
```math
f(1) = -(1^2) = -1
```
```math
f(2) = -(2^2) = -4
```
Visible text: 1. Koefisien , jadi parabola terbuka ke bawah.
2. Titik puncak:
Jadi titik puncaknya adalah .
3. Titik potong dengan sumbu :
Jadi titik potong dengan sumbu adalah .
4. Titik potong dengan sumbu : atau
Jadi titik potong dengan sumbu adalah .
5. Mari kita hitung beberapa titik tambahan:
Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x) = -x^2$$
Visible text: Grafik
- description: Parabola terbuka ke bawah dengan titik puncak{" "}
$$(0, 0)$$.
Visible text: Parabola terbuka ke bawah dengan titik puncak{" "}
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
const x = i - 3; // x values from -3 to 3
return { x, y: -x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
labels: [
{
text: "f(x) = -x²",
at: 4,
offset: [2, 0, 0],
},
{
text: "Titik Puncak (0, 0)",
at: 3,
offset: [0, 0.5, 0],
},
],
},
]
## Tabel Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat
| Fungsi Kuadrat | Bentuk Grafik |
| --------------------------- | -------------------------------------------------- |
| $$a > 0$$ | Parabola terbuka ke atas, memiliki titik minimum |
| $$a < 0$$ | Parabola terbuka ke bawah, memiliki titik maksimum |
Visible text: | Fungsi Kuadrat | Bentuk Grafik |
| --------------------------- | -------------------------------------------------- |
| | Parabola terbuka ke atas, memiliki titik minimum |
| | Parabola terbuka ke bawah, memiliki titik maksimum |