Karakteristik Fungsi Kuadrat

Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat

Parabola bersifat simetris, dan titik terendah atau tertingginya terletak pada sumbu simetri. Koefisien utama $a$ menentukan arah buka serta seberapa sempit atau lebar grafiknya. Ketiga koefisien $a$, $b$, dan $c$ bersama-sama menetapkan bentuk itu.

Pengaruh Nilai Koefisien Utama pada Bentuk Grafik

Tanda koefisien utama menentukan apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah. Besar koefisiennya, yaitu nilai mutlak $a$, mengatur seberapa cepat parabola melebar atau menyempit dibandingkan grafik $y = x^2$.

Ketika Koefisien Utama Positif

Jika $a > 0$, maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke atas. Ini berarti grafiknya memiliki titik minimum.

Contoh fungsi dengan $a > 0$:

• $f(x) = x^2$, contoh paling sederhana dengan $a = 1$
• $f(x) = 2x^2 + 1$, contoh dengan $a = 2$

Tanda $a$ menentukan arah buka. Nilai mutlaknya menentukan lebar: dibandingkan dengan $y=x^2$, grafik lebih sempit ketika $|a|>1$ dan lebih lebar ketika $0<|a|<1$.

Ketika Koefisien Utama Negatif

Jika $a < 0$, maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke bawah. Ini berarti grafiknya memiliki titik maksimum.

Contoh fungsi dengan $a < 0$:

• $f(x) = -x^2$ dengan $a = -1$
• $f(x) = -3x^2 - 12x - 15$ dengan $a = -3$

Mengapa Koefisien Utama Tidak Boleh Nol

Ketika $a = 0$, bentuknya menjadi $f(x) = bx + c$ dan derajatnya turun dari $2$ menjadi paling tinggi $1$, sehingga suku kuadratnya hilang. Fungsi kuadrat harus memiliki $a \neq 0$ agar pangkat tertinggi dari variabel $x$ tetap $2$ dan grafiknya tetap berbentuk parabola.

Titik dan Garis Acuan pada Parabola

Empat unsur menentukan bentuk dan letak parabola. Titik puncak dan sumbu simetri menentukan letak kurvanya, sedangkan kedua titik potong menunjukkan tempat kurva itu menyentuh sumbu koordinat. Keempat unsur ini cukup untuk menggambar parabola.

Titik Puncak atau Vertex

Titik puncak adalah titik tertinggi (jika $a < 0$) atau titik terendah (jika $a > 0$) pada grafik. Koordinat titik puncak dinyatakan sebagai $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$. Pada $f(x) = x^2 - 2x - 3$, titik puncaknya berada di $(1, -4)$, dan nilai $-4$ itu menjadi nilai minimum fungsi tersebut.

Sumbu Simetri

Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaan sumbu simetri adalah $x = -\frac{b}{2a}$. Untuk $f(x) = x^2 - 2x - 3$, sumbu simetrinya adalah garis $x = 1$, sehingga titik pada jarak yang sama di kiri dan kanan garis itu memiliki nilai fungsi yang sama.

Titik Potong dengan Sumbu Vertikal

Titik potong dengan sumbu $y$ diperoleh saat $x = 0$. Nilainya adalah $f(0) = c$. Pada $f(x) = 2x^2 - 4x + 5$, titik potongnya adalah $(0, 5)$. Suku konstanta itu langsung menunjukkan ordinat tempat parabola memotong sumbu vertikal, jadi kamu tidak perlu menghitung nilai $f(0)$ lagi.

Titik Potong dengan Sumbu Horizontal

Titik potong dengan sumbu $x$ diperoleh saat $f(x) = 0$, yaitu saat $ax^2 + bx + c = 0$. Solusinya dapat ditemukan menggunakan rumus:

Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah berikut mengubah rumus tadi menjadi grafik. Kerjakan berurutan, karena titik puncak menentukan letak titik lainnya.

1. Tentukan apakah parabola terbuka ke atas ($a > 0$) atau ke bawah ($a < 0$).
2. Hitung koordinat titik puncak $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$.
3. Hitung titik potong dengan sumbu $y$: $(0, c)$.
4. Hitung titik potong dengan sumbu $x$ (jika ada).
5. Pilih beberapa nilai $x$ lainnya dan hitung nilai $y$-nya.
6. Plot semua titik dalam sistem koordinat.
7. Hubungkan titik-titik dengan kurva parabola.

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh di bawah menggambar satu parabola yang terbuka ke atas dan satu yang terbuka ke bawah. Setiap langkah ditulis lengkap agar bentuk grafiknya bisa dibandingkan dengan rumus.

Contoh Parabola Terbuka ke Atas

Gambar grafik fungsi $f(x) = x^2 - 2x - 3$:

1. Koefisien $a = 1 > 0$, jadi parabola terbuka ke atas.

2. Titik puncak:

   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$

   $$\begin{aligned} f(1) &= 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 \\ &= 1 - 2 - 3 \\ &= -4 \end{aligned}$$

   Jadi titik puncaknya adalah $(1, -4)$.

3. Titik potong dengan sumbu $y$:

   $$f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3$$

   Jadi titik potong dengan sumbu $y$ adalah $(0, -3)$.

4. Titik potong dengan sumbu $x$: $f(x) = 0$ atau $x^2 - 2x - 3 = 0$

   Menggunakan rumus kuadrat:

   $$\begin{aligned} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{2 \pm 4}{2} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &x = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\ &\text{atau} \\ &x = \frac{2 - 4}{2} = -1 \end{aligned}$$

   Jadi titik potong dengan sumbu $x$ adalah $(-1, 0)$ dan $(3, 0)$.

5. Hitung beberapa titik tambahan:

   $$\begin{aligned} f(-2) &= (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 \\ &= 4 + 4 - 3 \\ &= 5 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} f(2) &= 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 \\ &= 4 - 4 - 3 \\ &= -3 \end{aligned}$$

Contoh Parabola Terbuka ke Bawah

Gambar grafik fungsi $f(x) = -x^2$:

1. Koefisien $a = -1 < 0$, jadi parabola terbuka ke bawah.

2. Titik puncak:

   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$$

   $$f(0) = -(0)^2 = 0$$

   Jadi titik puncaknya adalah $(0, 0)$.

3. Titik potong dengan sumbu $y$:

   $$f(0) = 0$$

   Jadi titik potong dengan sumbu $y$ adalah $(0, 0)$.

4. Titik potong dengan sumbu $x$: $f(x) = 0$ atau $-x^2 = 0$

   $$x^2 = 0$$

   $$x = 0$$

   Jadi titik potong dengan sumbu $x$ adalah $(0, 0)$.

5. Hitung beberapa titik tambahan:

   $$f(-2) = -((-2)^2) = -4$$

   $$f(-1) = -((-1)^2) = -1$$

   $$f(1) = -(1^2) = -1$$

   $$f(2) = -(2^2) = -4$$

Hubungan Arah Buka dengan Titik Puncak dan Daerah Hasil

Tuliskan titik puncak sebagai $(x_v,y_v)$, dengan $y_v=f(x_v)$.

Latihan

Latihan ini memakai satu fungsi untuk memeriksa seluruh daftar unsur secara berurutan, sehingga jawabannya harus menyebut setiap ciri.

Analisis grafik $g(x)=-2(x+1)^2+8$. Tentukan arah buka, titik puncak, sumbu simetri, titik potong, dan daerah hasilnya.

Pembahasan Lengkap

Fungsi sudah berbentuk puncak $a(x-h)^2+k$. Di sini $a=-2$, $h=-1$, dan $k=8$.

• Karena $a<0$, parabola terbuka ke bawah.
• Titik puncaknya adalah $(-1,8)$, sehingga nilai maksimumnya $8$.
• Sumbu simetrinya adalah $x=-1$.

Untuk mencari titik potong dengan sumbu $y$, substitusikan $x=0$:

Jadi, grafik memotong sumbu $y$ di $(0,6)$. Untuk mencari titik potong dengan sumbu $x$, selesaikan $g(x)=0$:

Titik potongnya adalah $(-3,0)$ dan $(1,0)$. Karena parabola terbuka ke bawah dari nilai maksimum $8$, daerah hasilnya adalah $(-\infty,8]$.