Karakteristik Fungsi Kuadrat

Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola. Bentuk parabola ini bisa terbuka ke atas atau ke bawah, tergantung pada nilai koefisien $a$.

Pengaruh Nilai Koefisien Utama pada Bentuk Grafik

Ketika Koefisien Utama Positif

Jika $a > 0$, maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke atas. Ini berarti grafiknya memiliki titik minimum.

Contoh fungsi dengan $a > 0$:

• $f(x) = x^2$ (fungsi paling sederhana dengan $a = 1$ )
• $f(x) = 2x^2 + 1$ (contoh dengan $a = 2$ )

Ketika Koefisien Utama Negatif

Jika $a < 0$, maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke bawah. Ini berarti grafiknya memiliki titik maksimum.

Contoh fungsi dengan $a < 0$:

• $f(x) = -x^2$ dengan $a = -1$
• $f(x) = -3x^2 - 12x - 15$ dengan $a = -3$

Mengapa Koefisien Utama Tidak Boleh Nol

Ketika $a = 0$, maka bentuk fungsi menjadi $f(x) = bx + c$. Ini bukan lagi fungsi kuadrat, melainkan fungsi linear. Fungsi kuadrat harus memiliki $a \neq 0$ agar pangkat tertinggi dari variabel $x$ adalah $2$.

Karakteristik Penting Fungsi Kuadrat

Titik Puncak (Vertex)

Titik puncak adalah titik tertinggi (jika $a < 0$) atau titik terendah (jika $a > 0$) pada grafik. Koordinat titik puncak dinyatakan sebagai $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$.

Sumbu Simetri

Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaan sumbu simetri adalah $x = -\frac{b}{2a}$.

Titik Potong Vertikal

Titik potong dengan sumbu $y$ diperoleh saat $x = 0$. Nilainya adalah $f(0) = c$.

Titik Potong Horizontal

Titik potong dengan sumbu $x$ diperoleh saat $f(x) = 0$, yaitu saat $ax^2 + bx + c = 0$. Solusinya dapat ditemukan menggunakan rumus:

Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

1. Tentukan apakah parabola terbuka ke atas ($a > 0$) atau ke bawah ($a < 0$).
2. Hitung koordinat titik puncak $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$.
3. Hitung titik potong dengan sumbu $y$: $(0, c)$.
4. Hitung titik potong dengan sumbu $x$ (jika ada).
5. Pilih beberapa nilai $x$ lainnya dan hitung nilai $y$-nya.
6. Plot semua titik dalam sistem koordinat.
7. Hubungkan titik-titik dengan kurva parabola.

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh Parabola Terbuka ke Atas

Mari kita gambar grafik fungsi $f(x) = x^2 - 2x - 3$:

1. Koefisien $a = 1 > 0$, jadi parabola terbuka ke atas.

2. Titik puncak:

   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$

   $$f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$

   Jadi titik puncaknya adalah $(1, -4)$.

3. Titik potong dengan sumbu $y$:

   $$f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3$$

   Jadi titik potong dengan sumbu $y$ adalah $(0, -3)$.

4. Titik potong dengan sumbu $x$: $f(x) = 0$ atau $x^2 - 2x - 3 = 0$

   Menggunakan rumus kuadrat:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

   $$x = \frac{2 + 4}{2} = 3 \text{ atau} x = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

   Jadi titik potong dengan sumbu $x$ adalah $(-1, 0)$ dan $(3, 0)$.

5. Mari kita hitung beberapa titik tambahan:

   $$f(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$$

   $$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$$

Contoh Parabola Terbuka ke Bawah

Mari kita gambar grafik fungsi $f(x) = -x^2$:

1. Koefisien $a = -1 < 0$, jadi parabola terbuka ke bawah.

2. Titik puncak:

   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$$

   $$f(0) = -(0)^2 = 0$$

   Jadi titik puncaknya adalah $(0, 0)$.

3. Titik potong dengan sumbu $y$:

   $$f(0) = 0$$

   Jadi titik potong dengan sumbu $y$ adalah $(0, 0)$.

4. Titik potong dengan sumbu $x$: $f(x) = 0$ atau $-x^2 = 0$

   $$x^2 = 0$$

   $$x = 0$$

   Jadi titik potong dengan sumbu $x$ adalah $(0, 0)$.

5. Mari kita hitung beberapa titik tambahan:

   $$f(-2) = -((-2)^2) = -4$$

   $$f(-1) = -((-1)^2) = -1$$

   $$f(1) = -(1^2) = -1$$

   $$f(2) = -(2^2) = -4$$

Tabel Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat