# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/persamaan-dan-fungsi-kuadrat/menentukan-luas-maksimum
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-maximum-area/id.mdx

Cari luas maksimum dengan fungsi kuadrat melalui masalah nyata, solusi bertahap, dan interpretasi grafik. Pelajari cara membaca luas maksimum.

---

## Apa itu Luas Maksimum?

Pernah lihat pagar kebun? Kadang, kita punya pagar yang panjangnya terbatas, tapi kita mau bikin kebun seluas-luasnya. Nah, fungsi kuadrat bisa bantu kita cari tahu ukuran kebun biar luasnya paling besar! Ajaib, kan?

## Jenis Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat itu bentuknya kayak senyum ($$ax^2 + bx + c$$ kalau $$a > 0$$) atau cemberut ($$ax^2 + bx + c$$ kalau $$a < 0$$).

Visible text: Fungsi kuadrat itu bentuknya kayak senyum ( kalau ) atau cemberut ( kalau ).

Kalau kita mau cari nilai _paling besar_ (maksimum), kita pakai yang bentuknya cemberut, jadi nilai $$a$$ nya negatif ($$a < 0$$).

Visible text: Kalau kita mau cari nilai _paling besar_ (maksimum), kita pakai yang bentuknya cemberut, jadi nilai nya negatif ().

Bentuk umumnya:

```math
f(x) = ax^2 + bx + c
```

Di sini, $$a$$, $$b$$, dan $$c$$ itu
angka-angka, dan $$a$$ tidak boleh nol ya (karena kalau nol, bentuknya jadi linear).

Visible text: Di sini, , , dan itu
angka-angka, dan tidak boleh nol ya (karena kalau nol, bentuknya jadi linear).

## Cara Cari Titik Paling Atas (Puncak)

Nilai paling besar itu ada di titik paling atas dari grafik yang cemberut tadi. Titik ini namanya titik puncak atau vertex.

Untuk mencari _posisi_ titik puncak (nilai $$x$$ nya), kita pakai rumus:

Visible text: Untuk mencari _posisi_ titik puncak (nilai nya), kita pakai rumus:

```math
x_p = -\frac{b}{2a}
```

Setelah dapat $$x_p$$, kita masukkan lagi ke fungsi kuadratnya untuk dapat nilai _paling besarnya_ (nilai $$y$$ atau $$f(x)$$ nya):

Visible text: Setelah dapat , kita masukkan lagi ke fungsi kuadratnya untuk dapat nilai _paling besarnya_ (nilai atau nya):

```math
y_p = f(x_p) = a(x_p)^2 + b(x_p) + c
```

Atau bisa juga pakai rumus cepat ini:

```math
y_p = -\frac{D}{4a}
```

dengan $$D = b^2 - 4ac$$ (D itu namanya diskriminan).

Visible text: dengan (D itu namanya diskriminan).

## Contoh Biar Ngerti

Misalnya, Pak Tani punya pagar $$20 \text{ meter}$$. Dia mau buat kandang ayam bentuk persegi panjang. Berapa ukuran kandang biar luasnya paling besar?

Visible text: Misalnya, Pak Tani punya pagar . Dia mau buat kandang ayam bentuk persegi panjang. Berapa ukuran kandang biar luasnya paling besar?

1.  **Bikin Nama:** Misal panjangnya $$p \text{ meter}$$ dan lebarnya $$l \text{ meter}$$.
2.  **Hubungan Panjang Pagar:** Pagar itu kelilingnya.

    
    
    ```math
    2p + 2l = 20
    ```

    Sederhanakan (semua suku dibagi $$2$$):

    
    
    ```math
    p + l = 10
    ```

    Artinya:

    
    
    ```math
    p = 10 - l
    ```

3.  **Rumus Luas:** Luas kandang $$A = p \times l$$. Kita ganti $$p$$:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    A(l) = (10 - l) \times l
    ```

      
    
    ```math
    A(l) = 10l - l^2
    ```

    </MathContainer>

4.  **Bentuk Fungsi Kuadrat:** Urutkan biar rapi:

    
    
    ```math
    A(l) = -l^2 + 10l
    ```

    Ini fungsi kuadrat dengan $$a = -1$$, $$b = 10$$ , dan $$c = 0$$. Karena $$a$$ negatif, grafiknya cemberut, jadi ada nilai maksimum.

5.  **Cari Lebar Maksimum (l):** Pakai rumus $$x_p = -b / (2a)$$ (tapi $$x$$ nya kita ganti $$l$$):

    
    
    ```math
    l_p = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \times (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5
    ```

    Jadi, lebarnya harus $$5 \text{ meter}$$ biar luasnya maksimal.

6.  **Cari Luas Maksimum (A):** Masukkan $$l = 5$$ ke rumus luas $$A(l) = 10l - l^2$$:

    
    
    ```math
    A(5) = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25
    ```

    Luas paling besarnya adalah $$25 \text{ m}^2$$.

7.  **Kesimpulan:** Biar luas kandang maksimal ($$25 \text{ m}^2$$), lebarnya $$l=5 \text{ meter}$$. Panjangnya $$p = 10 - l = 10 - 5 = 5 \text{ meter}$$. Ukurannya harus $$5 \text{ m} \times 5 \text{ m}$$ (ternyata bentuknya persegi!).

Visible text: 1. **Bikin Nama:** Misal panjangnya dan lebarnya .
2. **Hubungan Panjang Pagar:** Pagar itu kelilingnya.

 
 

 Sederhanakan (semua suku dibagi ):

 
 

 Artinya:

 
 

3. **Rumus Luas:** Luas kandang . Kita ganti :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

4. **Bentuk Fungsi Kuadrat:** Urutkan biar rapi:

 
 

 Ini fungsi kuadrat dengan , , dan . Karena negatif, grafiknya cemberut, jadi ada nilai maksimum.

5. **Cari Lebar Maksimum (l):** Pakai rumus (tapi nya kita ganti ):

 
 

 Jadi, lebarnya harus biar luasnya maksimal.

6. **Cari Luas Maksimum (A):** Masukkan ke rumus luas :

 
 

 Luas paling besarnya adalah .

7. **Kesimpulan:** Biar luas kandang maksimal (), lebarnya . Panjangnya . Ukurannya harus (ternyata bentuknya persegi!).

## Dipakai Dimana Aja Sih?

### Bisnis

Mencari keuntungan paling besar.

**Contoh**:

Sebuah toko mainan menjual boneka. Jika menjual $$x$$ boneka, keuntungannya (dalam ribu rupiah) adalah $$K(x) = 100x - 2x^2$$. Berapa boneka harus dijual agar untungnya maksimal?

Visible text: Sebuah toko mainan menjual boneka. Jika menjual boneka, keuntungannya (dalam ribu rupiah) adalah . Berapa boneka harus dijual agar untungnya maksimal?

- Fungsi keuntungan: $$K(x) = -2x^2 + 100x$$ ($$a=-2, b=100$$).
- Jumlah boneka agar untung maks: $$x_p = -b / (2a) = -100 / (2 \times -2) = -100 / -4 = 25$$ boneka.
- Untung maksimalnya: $$K(25) = 100(25) - 2(25^2) = 2500 - 2(625) = 2500 - 1250 = 1250$$ ribu rupiah (atau $$\text{Rp }1.250$$.$$000$$).

Visible text: - Fungsi keuntungan: ().
- Jumlah boneka agar untung maks: boneka.
- Untung maksimalnya: ribu rupiah (atau .).

### Fisika

Menghitung tinggi lompatan paling tinggi suatu benda yang dilempar.

**Contoh**:

Roket mainan terbang! Tingginya setelah $$t \text{ detik}$$ adalah $$h(t) = 40t - 5t^2 \text{ meter}$$. Kapan roket paling tinggi dan berapa tingginya?

Visible text: Roket mainan terbang! Tingginya setelah adalah . Kapan roket paling tinggi dan berapa tingginya?

- Fungsi kuadratnya: $$h(t) = -5t^2 + 40t$$. $$a = -5, b = 40$$.
- Waktu paling tinggi: $$t_p = -b / (2a) = -40 / (2 \times -5) = -40 / -10 = 4 \text{ detik}$$.
- Tinggi paling tinggi: $$h(4) = 40(4) - 5(4^2) = 160 - 5(16) = 160 - 80 = 80 \text{ meter}$$.

Visible text: - Fungsi kuadratnya: . .
- Waktu paling tinggi: .
- Tinggi paling tinggi: .

## Latihan

Sebuah persegi panjang punya keliling $$60 \text{ cm}$$. Tentukan ukuran panjang dan lebarnya agar luasnya maksimum, dan hitung luas maksimumnya!

Visible text: Sebuah persegi panjang punya keliling . Tentukan ukuran panjang dan lebarnya agar luasnya maksimum, dan hitung luas maksimumnya!

### Kunci Jawaban

1.  Misal panjang $$p$$, lebar $$l$$.
2.  Keliling:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    2p + 2l = 60
    ```

      
    
    ```math
    p + l = 30
    ```

      
    
    ```math
    p = 30 - l
    ```

    </MathContainer>

3.  Luas:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    L(l) = p \times l = (30 - l)l
    ```

      
    
    ```math
    L(l) = 30l - l^2
    ```

    </MathContainer>

4.  Fungsi Luas:

    
    
    ```math
    L(l) = -l^2 + 30l
    ```

    ($$a = -1, b = 30$$).

5.  Lebar untuk luas maks ($$l_p$$):

    
    
    ```math
    l_p = -b / (2a) = -30 / (2 \times -1) = -30 / -2 = 15 \text{ cm}
    ```

6.  Panjang saat luas maks ($$p$$):

    
    
    ```math
    p = 30 - l = 30 - 15 = 15 \text{ cm}
    ```

7.  Luas maksimum ($$L_{maks}$$):

    
    
    ```math
    L(15) = 30(15) - (15)^2 = 450 - 225 = 225 \text{ cm}^2
    ```

Visible text: 1. Misal panjang , lebar .
2. Keliling:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. Luas:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

4. Fungsi Luas:

 
 

 ().

5. Lebar untuk luas maks ():

 
 

6. Panjang saat luas maks ():

 
 

7. Luas maksimum ():

Jadi, agar luasnya maksimum ($$L_{maks} = 225 \text{ cm}^2$$), ukurannya harus $$15 \text{ cm}$$ x $$15 \text{ cm}$$ (bentuk persegi lagi!).

Visible text: Jadi, agar luasnya maksimum (), ukurannya harus x (bentuk persegi lagi!).