# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/persamaan-dan-fungsi-kuadrat/menentukan-luas-minimum
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-minimum-area/id.mdx
Menggunakan fungsi kuadrat untuk mencari luas dan biaya minimum lewat model sederhana dan interpretasi titik puncak.
---
## Apa itu Luas Minimum?
Selain mencari yang paling besar, fungsi kuadrat juga bisa dipakai buat mencari nilai _paling kecil_ (minimum). Kapan ya kita butuh cari luas minimum? Misalnya, kita punya bahan terbatas tapi harus membuat sesuatu dengan luas tertentu, dan kita mau pakai bahan sesedikit mungkin.
## Kenalan Lagi Sama Fungsi Kuadrat
Ingat kan, fungsi kuadrat itu bisa senyum ($$ax^2 + bx + c$$ kalau $$a > 0$$) atau cemberut ($$ax^2 + bx + c$$ kalau $$a < 0$$).
Visible text: Ingat kan, fungsi kuadrat itu bisa senyum ( kalau ) atau cemberut ( kalau ).
Nah, kalau kita mau cari nilai _paling kecil_ (minimum), kita pakai yang bentuknya senyum, jadi nilai $$a$$ nya positif ($$a > 0$$).
Visible text: Nah, kalau kita mau cari nilai _paling kecil_ (minimum), kita pakai yang bentuknya senyum, jadi nilai nya positif ().
Bentuk umumnya tetap sama:
```math
f(x) = ax^2 + bx + c
```
($$a$$, $$b$$, $$c$$ itu angka, $$a \neq 0$$).
Visible text: (, , itu angka, ).
## Cara Cari Titik Paling Bawah (Lembah)
Nilai paling kecil itu ada di titik paling bawah dari grafik yang senyum tadi. Titik ini juga namanya titik puncak atau vertex (tapi posisinya di bawah).
Rumus mencarinya sama persis dengan mencari titik paling atas!
Untuk mencari _posisi_ titik lembah (nilai $$x$$ nya):
Visible text: Untuk mencari _posisi_ titik lembah (nilai nya):
```math
x_p = -\frac{b}{2a}
```
Untuk mencari _nilai paling kecilnya_ (nilai $$y$$ atau $$f(x)$$ nya):
Visible text: Untuk mencari _nilai paling kecilnya_ (nilai atau nya):
```math
y_p = f(x_p) = a(x_p)^2 + b(x_p) + c
```
Atau pakai rumus cepat diskriminan:
```math
y_p = -\frac{D}{4a}
```
dengan $$D = b^2 - 4ac$$.
Visible text: dengan .
## Contoh Biar Ngerti
Misalnya, kita punya seutas kawat panjangnya $$40 \text{ cm}$$. Kawat ini mau dipotong jadi dua bagian. Bagian pertama dibentuk jadi persegi, bagian kedua juga dibentuk jadi persegi. Berapa ukuran potongan agar _jumlah luas_ kedua persegi itu paling kecil (minimum)?
Visible text: Misalnya, kita punya seutas kawat panjangnya . Kawat ini mau dipotong jadi dua bagian. Bagian pertama dibentuk jadi persegi, bagian kedua juga dibentuk jadi persegi. Berapa ukuran potongan agar _jumlah luas_ kedua persegi itu paling kecil (minimum)?
1. **Bikin Nama:** Misal sisi persegi pertama $$x \text{ cm}$$, sisi persegi kedua $$y \text{ cm}$$.
2. **Hubungan Panjang Kawat:**
- Kawat untuk persegi pertama: Kelilingnya $$4x \text{ cm}$$.
- Kawat untuk persegi kedua: Kelilingnya $$4y \text{ cm}$$.
- Total panjang kawat:
```math
4x + 4y = 40
```
Sederhanakan (bagi $$4$$):
```math
x + y = 10
```
Artinya:
```math
y = 10 - x
```
3. **Rumus Jumlah Luas:** Jumlah luas kedua persegi adalah $$A = \text{Luas}_1 + \text{Luas}_2$$.
```math
A(x) = x^2 + y^2
```
Ganti $$y$$ dengan $$10 - x$$:
```math
A(x) = x^2 + (10 - x)^2
```
```math
A(x) = x^2 + (100 - 20x + x^2)
```
```math
A(x) = 2x^2 - 20x + 100
```
4. **Bentuk Fungsi Kuadrat:** Kita sudah dapat $$A(x) = 2x^2 - 20x + 100$$.
Ini fungsi kuadrat dengan $$a = 2$$, $$b = -20$$, $$c = 100$$. Karena $$a$$ positif, grafiknya senyum, jadi ada nilai minimum.
5. **Cari Sisi x untuk Luas Minimum:** Pakai rumus $$x_p = -b / (2a)$$:
```math
x_p = -\frac{-20}{2 \times 2} = \frac{20}{4} = 5
```
Jadi, sisi persegi pertama harus $$5 \text{ cm}$$ agar jumlah luasnya minimal.
6. **Cari Sisi y dan Luas Minimum:**
- Sisi persegi kedua: $$y = 10 - x = 10 - 5 = 5 \text{ cm}$$.
- Jumlah Luas Minimum: Masukkan $$x = 5$$ ke $$A(x)$$:
```math
A(5) = 2(5)^2 - 20(5) + 100 = 2(25) - 100 + 100 = 50
```
Jumlah luas minimumnya adalah $$50 \text{ cm}^2$$.
7. **Kesimpulan:** Agar jumlah luas kedua persegi minimal ($$50 \text{ cm}^2$$), kawat harus dipotong sehingga kedua persegi memiliki sisi yang sama, yaitu $$5 \text{ cm}$$. (Artinya kawat dipotong jadi dua bagian sama panjang, $$20 \text{ cm}$$ dan $$20 \text{ cm}$$).
Visible text: 1. **Bikin Nama:** Misal sisi persegi pertama , sisi persegi kedua .
2. **Hubungan Panjang Kawat:**
- Kawat untuk persegi pertama: Kelilingnya .
- Kawat untuk persegi kedua: Kelilingnya .
- Total panjang kawat:
Sederhanakan (bagi ):
Artinya:
3. **Rumus Jumlah Luas:** Jumlah luas kedua persegi adalah .
Ganti dengan :
4. **Bentuk Fungsi Kuadrat:** Kita sudah dapat .
Ini fungsi kuadrat dengan , , . Karena positif, grafiknya senyum, jadi ada nilai minimum.
5. **Cari Sisi x untuk Luas Minimum:** Pakai rumus :
Jadi, sisi persegi pertama harus agar jumlah luasnya minimal.
6. **Cari Sisi y dan Luas Minimum:**
- Sisi persegi kedua: .
- Jumlah Luas Minimum: Masukkan ke :
Jumlah luas minimumnya adalah .
7. **Kesimpulan:** Agar jumlah luas kedua persegi minimal (), kawat harus dipotong sehingga kedua persegi memiliki sisi yang sama, yaitu . (Artinya kawat dipotong jadi dua bagian sama panjang, dan ).
## Dipakai Dimana Aja Sih?
### Bisnis & Ekonomi
**Contoh:**
Biaya produksi $$x \text{ unit}$$ barang (dalam ribu rupiah) adalah $$C(x) = 3x^2 - 60x + 500$$. Berapa unit harus diproduksi agar biaya minimum?
Visible text: Biaya produksi barang (dalam ribu rupiah) adalah . Berapa unit harus diproduksi agar biaya minimum?
- Fungsi biaya: $$C(x) = 3x^2 - 60x + 500$$ ($$a=3, b=-60$$). $$a>0$$, jadi ada minimum.
- Jumlah unit untuk biaya min: $$x_p = -b / (2a) = -(-60) / (2 \times 3) = 60 / 6 = 10 \text{ unit}$$.
- Biaya minimum: $$C(10) = 3(10)^2 - 60(10) + 500 = 3(100) - 600 + 500 = 300 - 600 + 500 = 200$$ ribu rupiah (atau $$\text{Rp }200.000$$).
Visible text: - Fungsi biaya: (). , jadi ada minimum.
- Jumlah unit untuk biaya min: .
- Biaya minimum: ribu rupiah (atau ).
## Latihan
Jumlah dua bilangan positif adalah $$16$$. Tentukan kedua bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum, dan hitung jumlah kuadrat minimumnya!
Visible text: Jumlah dua bilangan positif adalah . Tentukan kedua bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum, dan hitung jumlah kuadrat minimumnya!
### Kunci Jawaban
1. Misal bilangan pertama $$x$$, bilangan kedua $$y$$. ($$x > 0, y > 0$$).
2. Hubungan: $$x + y = 16$$. Maka $$y = 16 - x$$.
3. Jumlah Kuadrat: $$J = x^2 + y^2$$.
```math
J(x) = x^2 + (16 - x)^2
```
```math
J(x) = x^2 + (256 - 32x + x^2)
```
```math
J(x) = 2x^2 - 32x + 256
```
4. Fungsi Jumlah Kuadrat: $$J(x) = 2x^2 - 32x + 256$$.
($$a = 2, b = -32$$). Karena $$a > 0$$, ada nilai minimum.
5. Nilai $$x$$ untuk jumlah kuadrat min:
```math
x_p = -b / (2a) = -(-32) / (2 \times 2) = 32 / 4 = 8
```
6. Nilai $$y$$:
```math
y = 16 - x = 16 - 8 = 8
```
7. Jumlah Kuadrat Minimum:
```math
J(8) = 2(8)^2 - 32(8) + 256 = 2(64) - 256 + 256 = 128
```
Visible text: 1. Misal bilangan pertama , bilangan kedua . ().
2. Hubungan: . Maka .
3. Jumlah Kuadrat: .
4. Fungsi Jumlah Kuadrat: .
(). Karena , ada nilai minimum.
5. Nilai untuk jumlah kuadrat min:
6. Nilai :
7. Jumlah Kuadrat Minimum:
Jadi, kedua bilangan tersebut adalah $$8$$ dan $$8$$ agar jumlah kuadratnya minimum (yaitu $$128$$).
Visible text: Jadi, kedua bilangan tersebut adalah dan agar jumlah kuadratnya minimum (yaitu ).