# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/persamaan-dan-fungsi-kuadrat/mengonstruksi-fungsi-kuadrat
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-construction/id.mdx

Pelajari cara mengonstruksi fungsi kuadrat dengan tiga titik, bentuk vertex, akar-akar, dan simetri. Pelajari berbagai metode dengan contoh dan pembahasan.

---

## Cara Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

Mengonstruksi fungsi kuadrat berarti menentukan bentuk persamaan $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ berdasarkan informasi yang diberikan. Ada beberapa cara berbeda untuk mengonstruksi fungsi kuadrat, tergantung pada informasi yang tersedia.

Visible text: Mengonstruksi fungsi kuadrat berarti menentukan bentuk persamaan berdasarkan informasi yang diberikan. Ada beberapa cara berbeda untuk mengonstruksi fungsi kuadrat, tergantung pada informasi yang tersedia.

## Bentuk-Bentuk Penulisan Fungsi Kuadrat

Sebelum kita mulai mengonstruksi fungsi kuadrat, mari kita pahami tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat:

1. **Bentuk Standar**: $$f(x) = ax^2 + bx + c$$
2. **Bentuk Faktor**: $$f(x) = a(x - p)(x - q)$$ dimana $$p$$ dan $$q$$ adalah akar-akar persamaan
3. **Bentuk Vertex**: $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ dimana $$(h, k)$$ adalah titik puncak

Visible text: 1. **Bentuk Standar**: 
2. **Bentuk Faktor**: dimana dan adalah akar-akar persamaan
3. **Bentuk Vertex**: dimana adalah titik puncak

Ketiga bentuk ini saling berhubungan dan dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

## Metode Mengonstruksi Fungsi Kuadrat

### Tiga Titik

Cara paling umum untuk mengonstruksi fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan tiga titik yang diketahui berada pada kurva.

Jika kita memiliki tiga titik $$(x_1, y_1)$$, $$(x_2, y_2)$$, dan $$(x_3, y_3)$$, kita dapat memasukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan standar untuk mendapatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel $$a$$, $$b$$, dan $$c$$.

Visible text: Jika kita memiliki tiga titik , , dan , kita dapat memasukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan standar untuk mendapatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel , , dan .

Component: MathContainer
Children:

```math
y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c
```

```math
y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c
```

```math
y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c
```

**Contoh**:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $$K(-1, 0)$$, $$L(0, -3)$$, dan $$M(1, -4)$$.

Visible text: Carilah persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik , , dan .

Masukkan nilai koordinat ke dalam persamaan standar.

Component: MathContainer
Children:

```math
K(-1, 0): 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c
```

```math
L(0, -3): -3 = a(0)^2 + b(0) + c
```

```math
M(1, -4): -4 = a(1)^2 + b(1) + c
```

Sederhanakan persamaan-persamaan tersebut.

Component: MathContainer
Children:

```math
0 = a - b + c
```

```math
-3 = c
```

```math
-4 = a + b + c
```

Substitusi $$c = -3$$ ke persamaan pertama dan ketiga.

Visible text: Substitusi ke persamaan pertama dan ketiga.

Component: MathContainer
Children:

```math
0 = a - b - 3
```

```math
-4 = a + b - 3
```

Sederhanakan dan jumlahkan kedua persamaan untuk menemukan nilai $$a$$.

Visible text: Sederhanakan dan jumlahkan kedua persamaan untuk menemukan nilai .

Component: MathContainer
Children:

```math
a - b = 3
```

```math
a + b = -1
```

```math
2a = 2
```

```math
a = 1
```

Substitusi nilai $$a$$ ke persamaan $$a - b = 3$$ untuk menemukan nilai $$b$$.

Visible text: Substitusi nilai ke persamaan untuk menemukan nilai .

Component: MathContainer
Children:

```math
1 - b = 3
```

```math
b = -2
```

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

```math
f(x) = x^2 - 2x - 3
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$
  Visible text: Grafik
- description: Parabola yang melalui titik $$K(-1, 0)$$,{" "}
$$L(0, -3)$$, dan $$M(1, -4)$$.
  Visible text: Parabola yang melalui titik ,{" "}
, dan .
- cameraPosition: [2, 3, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
const x = i - 3; // x values from -3 to 3
return { x, y: x * x - 2 * x - 3, z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
labels: [
{
text: "f(x) = x² - 2x - 3",
at: 5,
offset: [2, 0.3, 0],
},
{
text: "L(0, -3)",
at: 3,
offset: [-1, 0, 0],
},
{
text: "M(1, -4)",
at: 4,
offset: [0, -0.5, 0],
},
{
text: "K(-1, 0)",
at: 2,
offset: [-1, 0.3, 0],
},
],
},
]

### Titik Puncak

Jika kita mengetahui koordinat titik puncak $$(h, k)$$ dan satu titik lain $$(p, q)$$ pada grafik, kita dapat menggunakan bentuk vertex $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ untuk menemukan nilai $$a$$.

Visible text: Jika kita mengetahui koordinat titik puncak dan satu titik lain pada grafik, kita dapat menggunakan bentuk vertex untuk menemukan nilai .

**Contoh**:

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $$(2, 0)$$ dan melalui titik $$(4, 4)$$.

Visible text: Temukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak dan melalui titik .

Gunakan bentuk vertex $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ dengan $$h = 2$$ dan $$k = 0$$.

Visible text: Gunakan bentuk vertex dengan dan .

```math
f(x) = a(x - 2)^2 + 0 = a(x - 2)^2
```

Substitusi titik $$(4, 4)$$ untuk menemukan nilai $$a$$.

Visible text: Substitusi titik untuk menemukan nilai .

Component: MathContainer
Children:

```math
4 = a(4 - 2)^2
```

```math
4 = 4a
```

```math
a = 1
```

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

```math
f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x) = (x - 2)^2$$
  Visible text: Grafik
- description: Parabola dengan titik puncak $$(2, 0)$$ dan melalui
titik $$(4, 4)$$
  Visible text: Parabola dengan titik puncak dan melalui
titik
- cameraPosition: [6, 6, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 9 }, (_, i) => {
const x = i - 1; // x values from -1 to 7
return { x, y: Math.pow(x - 2, 2), z: 0 };
}),
color: getColor("INDIGO"),
labels: [
{
text: "f(x) = (x - 2)²",
at: 7,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: "(2, 0)",
at: 3,
offset: [0, 0.3, 0],
},
{
text: "(4, 4)",
at: 5,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
],
},
]

### Akar-Akar Persamaan

Jika kita mengetahui akar-akar (titik potong dengan sumbu $$x$$) $$p$$ dan $$q$$ dari fungsi kuadrat, dan satu titik tambahan $$(r, s)$$ pada kurva, kita dapat menggunakan bentuk faktor $$f(x) = a(x - p)(x - q)$$.

Visible text: Jika kita mengetahui akar-akar (titik potong dengan sumbu ) dan dari fungsi kuadrat, dan satu titik tambahan pada kurva, kita dapat menggunakan bentuk faktor .

**Contoh**:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $$x = -2$$ dan $$x = 3$$, dan melalui titik $$(1, -6)$$.

Visible text: Carilah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar dan , dan melalui titik .

Gunakan bentuk faktor $$f(x) = a(x - p)(x - q)$$ dengan $$p = -2$$ dan $$q = 3$$.

Visible text: Gunakan bentuk faktor dengan dan .

```math
f(x) = a(x - (-2))(x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
```

Substitusi titik $$(1, -6)$$ untuk menemukan nilai $$a$$.

Visible text: Substitusi titik untuk menemukan nilai .

Component: MathContainer
Children:

```math
-6 = a(1 + 2)(1 - 3)
```

```math
-6 = a(3)(-2)
```

```math
-6 = -6a
```

```math
a = 1
```

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

```math
f(x) = (x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x) = (x + 2)(x - 3)$$
  Visible text: Grafik
- description: Parabola dengan akar-akar $$x = -2$$ dan{" "}
$$x = 3$$, melalui titik $$(1, -6)$$
  Visible text: Parabola dengan akar-akar dan{" "}
, melalui titik
- cameraPosition: [4, 5, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = i - 4; // x values from -4 to 6
return { x, y: (x + 2) * (x - 3), z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
labels: [
{
text: "f(x) = (x + 2)(x - 3)",
at: 6,
offset: [3, 0.3, 0],
},
{
text: "(-2, 0)",
at: 2,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: "(3, 0)",
at: 7,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: "(1, -6)",
at: 5,
offset: [0.3, -0.3, 0],
},
],
},
]

### Sumbu Simetri dan Diskriminan

Kita juga dapat mengonstruksi fungsi kuadrat dengan mengetahui sumbu simetri (atau koordinat $$x$$ dari titik puncak) dan nilai diskriminan.

Visible text: Kita juga dapat mengonstruksi fungsi kuadrat dengan mengetahui sumbu simetri (atau koordinat dari titik puncak) dan nilai diskriminan.

**Contoh**:

Temukan persamaan fungsi kuadrat dengan sumbu simetri $$x = 1$$ dan diskriminan $$D = 16$$.

Visible text: Temukan persamaan fungsi kuadrat dengan sumbu simetri dan diskriminan .

Dari sumbu simetri $$x = 1$$, kita tahu bahwa $$-\frac{b}{2a} = 1$$, sehingga $$b = -2a$$.

Visible text: Dari sumbu simetri , kita tahu bahwa , sehingga .

Dari diskriminan $$D = 16$$, kita tahu bahwa $$b^2 - 4ac = 16$$.

Visible text: Dari diskriminan , kita tahu bahwa .

Substitusi $$b = -2a$$ ke persamaan diskriminan.

Visible text: Substitusi ke persamaan diskriminan.

Component: MathContainer
Children:

```math
(-2a)^2 - 4ac = 16
```

```math
4a^2 - 4ac = 16
```

```math
4a(a - c) = 16
```

```math
a(a - c) = 4
```

Ada banyak nilai $$a$$ dan $$c$$ yang memenuhi persamaan ini. Mari kita ambil kasus sederhana dengan $$a = 1$$.

Visible text: Ada banyak nilai dan yang memenuhi persamaan ini. Mari kita ambil kasus sederhana dengan .

Component: MathContainer
Children:

```math
1(1 - c) = 4
```

```math
1 - c = 4
```

```math
c = -3
```

Dengan $$a = 1$$, $$b = -2$$, dan $$c = -3$$, fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

Visible text: Dengan , , dan , fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

```math
f(x) = x^2 - 2x - 3
```

### Koordinat Simetris

Kita dapat mengonstruksi fungsi kuadrat dengan memanfaatkan sifat simetri dari parabola.

**Contoh**:

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik $$(0, 0)$$, $$(4, 1)$$, dan $$(-4, 1)$$.

Visible text: Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik , , dan .

Karena titik $$(4, 1)$$ dan $$(-4, 1)$$ memiliki nilai $$y$$ yang sama dan berada pada jarak yang sama dari sumbu $$y$$, maka kurva simetris terhadap sumbu $$y$$. Ini berarti sumbu simetrinya adalah $$x = 0$$, dan puncaknya terletak di $$(0, 0)$$.

Visible text: Karena titik dan memiliki nilai yang sama dan berada pada jarak yang sama dari sumbu , maka kurva simetris terhadap sumbu . Ini berarti sumbu simetrinya adalah , dan puncaknya terletak di .

Gunakan bentuk vertex $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ dengan $$h = 0$$ dan $$k = 0$$.

Visible text: Gunakan bentuk vertex dengan dan .

```math
f(x) = ax^2
```

Substitusi titik $$(4, 1)$$ untuk menemukan nilai $$a$$.

Visible text: Substitusi titik untuk menemukan nilai .

Component: MathContainer
Children:

```math
1 = a(4)^2
```

```math
1 = 16a
```

```math
a = \frac{1}{16}
```

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

```math
f(x) = \frac{1}{16}x^2
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x) = \frac{1}{16}x^2$$
  Visible text: Grafik
- description: Parabola melalui titik $$(0, 0)$$,{" "}
$$(4, 1)$$, dan $$(-4, 1)$$
  Visible text: Parabola melalui titik ,{" "}
, dan
- cameraPosition: [0, 0.5, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 13 }, (_, i) => {
const x = i - 6; // x values from -6 to 6
return { x, y: (1 / 16) * x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
labels: [
{
text: "f(x) = (1/16)x²",
at: 11,
offset: [-2, 0.3, 0],
},
{
text: "(0, 0)",
at: 6,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: "(4, 1)",
at: 10,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: "(-4, 1)",
at: 2,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
],
},
]

## Transformasi Antar Bentuk Fungsi Kuadrat

### Bentuk Standar ke Bentuk Vertex

Untuk mengubah $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ menjadi bentuk vertex $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$:

Visible text: Untuk mengubah menjadi bentuk vertex :

1. Tentukan koordinat $$x$$ dari titik puncak: $$h = -\frac{b}{2a}$$
2. Hitung nilai fungsi di titik puncak: $$k = f(h) = f(-\frac{b}{2a})$$
3. Atau gunakan rumus: $$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

Visible text: 1. Tentukan koordinat dari titik puncak: 
2. Hitung nilai fungsi di titik puncak: 
3. Atau gunakan rumus:

### Bentuk Standar ke Bentuk Faktor

Untuk mengubah $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ menjadi bentuk faktor $$f(x) = a(x - p)(x - q)$$:

Visible text: Untuk mengubah menjadi bentuk faktor :

1. Tentukan akar-akar persamaan $$ax^2 + bx + c = 0$$ menggunakan rumus:

   
   
   ```math
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   ```

2. Jika akar-akarnya adalah $$p$$ dan $$q$$, maka:

   
   
   ```math
   f(x) = a(x - p)(x - q)
   ```

Visible text: 1. Tentukan akar-akar persamaan menggunakan rumus:

 
 

2. Jika akar-akarnya adalah dan , maka:

### Bentuk Faktor ke Bentuk Standar

Untuk mengubah $$f(x) = a(x - p)(x - q)$$ menjadi bentuk standar $$f(x) = ax^2 + bx + c$$:

Visible text: Untuk mengubah menjadi bentuk standar :

Component: MathContainer
Children:

```math
f(x) = a(x - p)(x - q)
```

```math
f(x) = a(x^2 - qx - px + pq)
```

```math
f(x) = a(x^2 - (p+q)x + pq)
```

```math
f(x) = ax^2 - a(p+q)x + apq
```

Dengan membandingkan dengan bentuk standar, kita mendapatkan:

- $$b = -a(p+q)$$
- $$c = apq$$

Visible text: - 
-

## Latihan dan Penyelesaian

### Latihan Pertama

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik $$(-2, 4)$$, $$(1, -5)$$, dan $$(3, 7)$$.

Visible text: Temukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik , , dan .

**Jawaban**:

Masukkan titik-titik ke persamaan standar:

Component: MathContainer
Children:

```math
4 = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c
```

```math
-5 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c
```

```math
7 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
```

Dari persamaan kedua, $$c = -5 - a - b$$.
Substitusi ke persamaan pertama, lalu selesaikan:

Visible text: Dari persamaan kedua, .
Substitusi ke persamaan pertama, lalu selesaikan:

Component: MathContainer
Children:

```math
4 = 4a - 2b + (-5 - a - b)
```

```math
9 = 3a - 3b
```

```math
3 = a - b
```

```math
a = 3 + b
```

Substitusi ke persamaan ketiga:

Component: MathContainer
Children:

```math
7 = 9(3 + b) + 3b + (-5 - (3 + b) - b)
```

```math
7 = 19 + 10b
```

```math
b = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}
```

Kemudian:

Component: MathContainer
Children:

```math
a = 3 + (-\frac{6}{5}) = \frac{9}{5}
```

```math
c = -5 - \frac{9}{5} - (-\frac{6}{5}) = -\frac{28}{5}
```

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

```math
f(x) = \frac{9}{5}x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{28}{5}
```

### Latihan Kedua

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $$(-1, 4)$$ dan melalui titik $$(2, -5)$$.

Visible text: Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak dan melalui titik .

**Jawaban**:

Gunakan bentuk vertex dengan $$h = -1$$ dan $$k = 4$$:

Visible text: Gunakan bentuk vertex dengan dan :

```math
f(x) = a(x - (-1))^2 + 4 = a(x + 1)^2 + 4
```

Substitusi titik $$(2, -5)$$:

Visible text: Substitusi titik :

Component: MathContainer
Children:

```math
-5 = a(2 + 1)^2 + 4
```

```math
-5 = 9a + 4
```

```math
-9 = 9a
```

```math
a = -1
```

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

```math
f(x) = -(x + 1)^2 + 4 = -x^2 - 2x + 3
```

### Latihan Ketiga

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $$x = -3$$ dan $$x = 2$$, dan memiliki nilai maksimum $$4$$.

Visible text: Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar dan , dan memiliki nilai maksimum .

**Jawaban**:

Gunakan bentuk faktor dengan $$p = -3$$ dan $$q = 2$$:

Visible text: Gunakan bentuk faktor dengan dan :

```math
f(x) = a(x - (-3))(x - 2) = a(x + 3)(x - 2)
```

Karena fungsi memiliki nilai maksimum, maka $$a < 0$$.

Visible text: Karena fungsi memiliki nilai maksimum, maka .

Titik puncak berada di $$x = \frac{p + q}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$$.

Visible text: Titik puncak berada di .

Substitusi $$x = -\frac{1}{2}$$ ke bentuk faktor dan gunakan bahwa nilai maksimum adalah $$4$$:

Visible text: Substitusi ke bentuk faktor dan gunakan bahwa nilai maksimum adalah :

Component: MathContainer
Children:

```math
f(-\frac{1}{2}) = a(-\frac{1}{2} + 3)(-\frac{1}{2} - 2) = -a\frac{25}{4} = 4
```

```math
a = -\frac{16}{25}
```

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

```math
f(x) = -\frac{16}{25}(x + 3)(x - 2) = -\frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x + \frac{96}{25}
```