# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/persamaan-dan-fungsi-kuadrat/rumus-persamaan-kuadrat
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-formula/id.mdx
Pelajari rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ax²+bx+c=0. Pelajari penurunan bertahap, pahami diskriminan, dan terapkan pada masalah nyata.
---
## Bagaimana Bentuk Rumus Persamaan Kuadrat?
Persamaan kuadrat adalah persamaan dalam bentuk $$ax^2 + bx + c = 0$$ dengan $$a \neq 0$$, dimana:
Visible text: Persamaan kuadrat adalah persamaan dalam bentuk dengan , dimana:
- $$a$$ adalah koefisien dari $$x^2$$
- $$b$$ adalah koefisien dari $$x$$
- $$c$$ adalah konstanta
Visible text: - adalah koefisien dari
- adalah koefisien dari
- adalah konstanta
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat $$ax^2 + bx + c = 0$$, kita bisa menggunakan rumus:
Visible text: Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat , kita bisa menggunakan rumus:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
Rumus ini akan memberikan dua nilai $$x$$ yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat:
Visible text: Rumus ini akan memberikan dua nilai yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat:
- $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ (menggunakan tanda
plus)
- $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ (menggunakan tanda
minus)
Visible text: - (menggunakan tanda
plus)
- (menggunakan tanda
minus)
Bagian $$b^2 - 4ac$$ disebut diskriminan dan menentukan jenis akar-akar persamaan:
Visible text: Bagian disebut diskriminan dan menentukan jenis akar-akar persamaan:
- Jika $$b^2 - 4ac > 0$$: Dua akar real berbeda
- Jika $$b^2 - 4ac = 0$$: Satu akar real (akar kembar)
- Jika $$b^2 - 4ac < 0$$: Tidak memiliki akar real
Visible text: - Jika : Dua akar real berbeda
- Jika : Satu akar real (akar kembar)
- Jika : Tidak memiliki akar real
## Menurunkan Rumus Persamaan Kuadrat
Rumus persamaan kuadrat dapat diturunkan dari metode melengkapi kuadrat sempurna. Mari kita lihat bagaimana caranya:
Dimulai dari persamaan kuadrat standar:
```math
ax^2 + bx + c = 0
```
**Langkah** $$1$$: Kita bagi semua suku dengan $$a$$ (koefisien $$x^2$$):
Visible text: **Langkah** : Kita bagi semua suku dengan (koefisien ):
```math
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
```
**Langkah** $$2$$: Pindahkan konstanta ke ruas kanan:
Visible text: **Langkah** : Pindahkan konstanta ke ruas kanan:
```math
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
```
**Langkah** $$3$$: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $$x$$ ke kedua ruas:
Visible text: **Langkah** : Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien ke kedua ruas:
```math
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
```
**Langkah** $$4$$: Ruas kiri sekarang membentuk kuadrat sempurna:
Visible text: **Langkah** : Ruas kiri sekarang membentuk kuadrat sempurna:
```math
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}
```
**Langkah** $$5$$: Sederhanakan ruas kanan:
Visible text: **Langkah** : Sederhanakan ruas kanan:
```math
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
```
**Langkah** $$6$$: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:
Visible text: **Langkah** : Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:
```math
x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
**Langkah** $$7$$: Selesaikan untuk mendapatkan nilai $$x$$:
Visible text: **Langkah** : Selesaikan untuk mendapatkan nilai :
```math
x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
Sehingga kita mendapatkan rumus persamaan kuadrat:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
### Menggunakan Rumus Persamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus, ikuti langkah-langkah berikut:
1. Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk standar $$ax^2 + bx + c = 0$$
2. Identifikasi nilai $$a$$, $$b$$, dan $$c$$
3. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
4. Hitung nilai $$x$$ untuk mendapatkan akar-akar persamaan
Visible text: 1. Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk standar
2. Identifikasi nilai , , dan
3. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus
4. Hitung nilai untuk mendapatkan akar-akar persamaan
### Contoh Penerapan
**Contoh** $$1$$: Selesaikan persamaan $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
Visible text: **Contoh** : Selesaikan persamaan
Identifikasi nilai $$a = 1$$, $$b = 5$$, dan $$c = 6$$
Visible text: Identifikasi nilai , , dan
Substitusikan ke dalam rumus:
```math
x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2}
```
Untuk $$x_1$$, ambil tanda positif:
Visible text: Untuk , ambil tanda positif:
```math
x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2
```
Untuk $$x_2$$, ambil tanda negatif:
Visible text: Untuk , ambil tanda negatif:
```math
x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x_1 = -2$$ dan $$x_2 = -3$$
Visible text: Jadi, akar-akar persamaan adalah dan
**Contoh** $$2$$: Selesaikan persamaan $$2x^2 - 7x + 3 = 0$$
Visible text: **Contoh** : Selesaikan persamaan
Identifikasi nilai $$a = 2$$, $$b = -7$$, dan $$c = 3$$
Visible text: Identifikasi nilai , , dan
Substitusikan ke dalam rumus:
```math
x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}
```
Untuk $$x_1$$, ambil tanda positif:
Visible text: Untuk , ambil tanda positif:
```math
x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3
```
Untuk $$x_2$$, ambil tanda negatif:
Visible text: Untuk , ambil tanda negatif:
```math
x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x_1 = 3$$ dan $$x_2 = \frac{1}{2}$$
Visible text: Jadi, akar-akar persamaan adalah dan
## Diskriminan Persamaan Kuadrat
Bagian $$b^2 - 4ac$$ pada rumus persamaan kuadrat disebut diskriminan, biasanya dilambangkan dengan $$D$$ atau $$\Delta$$.
Visible text: Bagian pada rumus persamaan kuadrat disebut diskriminan, biasanya dilambangkan dengan atau .
Diskriminan memberikan informasi tentang jenis akar-akar persamaan kuadrat:
- Jika $$D > 0$$: Persamaan memiliki dua akar real berbeda
- Jika $$D = 0$$: Persamaan memiliki satu akar real (akar kembar)
- Jika $$D < 0$$: Persamaan tidak memiliki akar real (akar-akarnya bilangan kompleks)
Visible text: - Jika : Persamaan memiliki dua akar real berbeda
- Jika : Persamaan memiliki satu akar real (akar kembar)
- Jika : Persamaan tidak memiliki akar real (akar-akarnya bilangan kompleks)
## Hubungan Antara Akar dan Koefisien
Misalkan $$x_1$$ dan $$x_2$$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $$ax^2 + bx + c = 0$$, maka:
Visible text: Misalkan dan adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka:
1. Jumlah kedua akar: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
2. Hasil kali kedua akar: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
Visible text: 1. Jumlah kedua akar:
2. Hasil kali kedua akar:
### Membuktikan Hubungan
Dari rumus persamaan kuadrat, kita tahu bahwa:
```math
x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{dan} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
Jumlahkan kedua akar:
```math
x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}
```
Kalikan kedua akar:
```math
x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{b^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}
```
## Membuat Persamaan Kuadrat Baru dari Akar yang Diketahui
Jika kita mengetahui akar-akar sebuah persamaan kuadrat, kita dapat membuat persamaan kuadrat baru. Misalkan $$p$$ dan $$q$$ adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah:
Visible text: Jika kita mengetahui akar-akar sebuah persamaan kuadrat, kita dapat membuat persamaan kuadrat baru. Misalkan dan adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah:
```math
(x - p)(x - q) = 0
```
Atau dalam bentuk standar:
```math
x^2 - (p+q)x + pq = 0
```
### Contoh Aplikasi
1. Persamaan kuadrat $$x^2 + 4x + 3 = 0$$ memiliki akar-akar $$p$$ dan $$q$$.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar $$2p$$ dan $$2q$$.
**Langkah** $$1$$: Temukan nilai $$p + q$$ dan $$p \cdot q$$
```math
p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4
```
```math
p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3
```
**Langkah** $$2$$: Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru
```math
2p + 2q = 2(p + q) = 2(-4) = -8
```
```math
2p \cdot 2q = 4(p \cdot q) = 4 \cdot 3 = 12
```
**Langkah** $$3$$: Buat persamaan kuadrat baru
```math
x^2 - (-8)x + 12 = 0
```
```math
x^2 + 8x + 12 = 0
```
2. Persamaan kuadrat $$x^2 + 4x - 21 = 0$$ memiliki akar-akar $$p$$ dan $$q$$.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar $$\frac{1}{2p}$$ dan $$\frac{1}{2q}$$.
**Langkah** $$1$$: Temukan nilai $$p + q$$ dan $$p \cdot q$$
```math
p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4
```
```math
p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{-21}{1} = -21
```
**Langkah** $$2$$: Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru
```math
\frac{1}{2p} + \frac{1}{2q} = \frac{1}{2} \left(\frac{q + p}{pq}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-4}{-21} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{21} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}
```
```math
\frac{1}{2p} \cdot \frac{1}{2q} = \frac{1}{4pq} = \frac{1}{4 \cdot (-21)} = \frac{1}{-84} = -\frac{1}{84}
```
**Langkah** $$3$$: Buat persamaan kuadrat baru
```math
x^2 - \frac{4}{21}x - \frac{1}{84} = 0
```
Visible text: 1. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar dan .
Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar dan .
**Langkah** : Temukan nilai dan
**Langkah** : Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru
**Langkah** : Buat persamaan kuadrat baru
2. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar dan .
Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar dan .
**Langkah** : Temukan nilai dan
**Langkah** : Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru
**Langkah** : Buat persamaan kuadrat baru
## Latihan
Selesaikan persamaan-persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat:
1. $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
2. $$2x^2 + 6x + 3 = 0$$
3. $$6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$$
4. $$\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$$
5. $$\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$$
Visible text: 1.
2.
3.
4.
5.
### Kunci Jawaban
1. Solusi persamaan kuadrat $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
Identifikasi: $$a = 1$$, $$b = 5$$, $$c = 6$$
```math
x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}
```
```math
= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}
```
```math
= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}
```
```math
= \frac{-5 \pm 1}{2}
```
Untuk $$x_1$$:
```math
x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2
```
Untuk $$x_2$$:
```math
x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x_1 = -2$$ dan $$x_2 = -3$$.
2. Solusi persamaan kuadrat $$2x^2 + 6x + 3 = 0$$
Identifikasi: $$a = 2$$, $$b = 6$$, $$c = 3$$
```math
x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}
```
```math
= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4}
```
```math
= \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4}
```
```math
= \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4}
```
```math
= \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}
```
Untuk $$x_1$$:
```math
x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}
```
Untuk $$x_2$$:
```math
x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$$ dan $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$$.
3. Solusi persamaan kuadrat $$6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$$
Identifikasi: $$a = 6$$, $$b = 2$$, $$c = \frac{1}{6}$$
```math
x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}}}{2 \cdot 6}
```
```math
= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{12}
```
```math
= \frac{-2 \pm 0}{12}
```
```math
= \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}
```
Karena diskriminan $$b^2 - 4ac = 0$$, persamaan memiliki satu akar (akar ganda).
Jadi, akar persamaan adalah $$x_1 = x_2 = -\frac{1}{6}$$.
4. Solusi persamaan kuadrat $$\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$$
Identifikasi: $$a = \frac{1}{2}$$, $$b = 4$$, $$c = 6$$
```math
x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6}}{2 \cdot \frac{1}{2}}
```
```math
= \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{1}
```
```math
= \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{1}
```
```math
= -4 \pm 2
```
Untuk $$x_1$$:
```math
x_1 = -4 + 2 = -2
```
Untuk $$x_2$$:
```math
x_2 = -4 - 2 = -6
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x_1 = -2$$ dan $$x_2 = -6$$.
5. Solusi persamaan kuadrat $$\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$$
Identifikasi: $$a = \frac{2}{3}$$, $$b = 2$$, $$c = -12$$
```math
x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-12)}}{2 \cdot \frac{2}{3}}
```
```math
= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{4/3}
```
```math
= \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{4/3}
```
```math
= \frac{-2 \pm 6}{4/3}
```
```math
= \frac{3(-2 \pm 6)}{4}
```
Untuk $$x_1$$:
```math
x_1 = \frac{3(-2 + 6)}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3
```
Untuk $$x_2$$:
```math
x_2 = \frac{3(-2 - 6)}{4} = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6
```
Jadi, akar-akar persamaan adalah $$x_1 = 3$$ dan $$x_2 = -6$$.
Visible text: 1. Solusi persamaan kuadrat
Identifikasi: , ,
Untuk :
Untuk :
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
2. Solusi persamaan kuadrat
Identifikasi: , ,
Untuk :
Untuk :
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
3. Solusi persamaan kuadrat
Identifikasi: , ,
Karena diskriminan , persamaan memiliki satu akar (akar ganda).
Jadi, akar persamaan adalah .
4. Solusi persamaan kuadrat
Identifikasi: , ,
Untuk :
Untuk :
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .
5. Solusi persamaan kuadrat
Identifikasi: , ,
Untuk :
Untuk :
Jadi, akar-akar persamaan adalah dan .