Grafik Fungsi Polinomial

Derajat dan Koefisien Menentukan Bentuk Grafik

Grafik fungsi polinomial menunjukkan nilai fungsi untuk setiap masukan $x$ . Derajat dan koefisien polinomial menentukan letak titik potong, jumlah titik balik yang mungkin, serta arah kedua ujung grafik.

Metode Plotting Titik

Salah satu cara untuk mulai menggambar grafik adalah menghitung beberapa pasangan $(x,y)$ yang memenuhi fungsi. Titik-titik itu memandu sketsa, tetapi tabel kecil saja belum menentukan seluruh ciri grafik. Akar, titik balik, dan perilaku ujung memberi pemeriksaan tambahan.

Langkah-langkah:

Pilih beberapa nilai $x$ yang berbeda.
Hitung nilai $y = P(x)$ untuk setiap nilai $x$ yang dipilih.
Buat tabel pasangan nilai $(x, y)$ .
Plot titik-titik tersebut pada bidang koordinat.
Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang halus dan kontinu.

Fungsi Linear Derajat Satu

Gambarkan grafik fungsi $f(x) = 2x + 5$ .

Kita pilih beberapa nilai $x$ dan hitung $y$ :

$x$	$y = f(x)$	$(x, y)$
$-3$	$-1$	$(-3, -1)$
$-2$	$1$	$(-2, 1)$
$-1$	$3$	$(-1, 3)$
$0$	$5$	$(0, 5)$
$1$	$7$	$(1, 7)$
$2$	$9$	$(2, 9)$
$3$	$11$	$(3, 11)$

Plot titik-titik dan hubungkan:

Grafik

f(x) = 2x + 5

Grafik fungsi linear berderajat

1

Fungsi Kuadrat Derajat Dua

Gambarkan grafik fungsi $g(x) = x^2 - 2x - 3$ .

Tabel nilai:

$x$	$y = g(x)$	$(x, y)$
$-2$	$5$	$(-2, 5)$
$-1$	$0$	$(-1, 0)$
$0$	$-3$	$(0, -3)$
$1$	$-4$	$(1, -4)$
$2$	$-3$	$(2, -3)$
$3$	$0$	$(3, 0)$
$4$	$5$	$(4, 5)$

Plot titik-titik dan hubungkan dengan kurva mulus (parabola):

Grafik

g(x) = x^2 - 2x - 3

Grafik fungsi kuadrat berderajat

2

Fungsi Kubik Derajat Tiga

Gambarkan grafik fungsi $h(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ .

Tabel nilai:

$x$	$y = h(x)$	$(x, y)$
$-4$	$-20$	$(-4, -20)$
$-3$	$-4$	$(-3, -4)$
$-2$	$0$	$(-2, 0)$
$-1$	$-2$	$(-1, -2)$
$0$	$-4$	$(0, -4)$
$1$	$0$	$(1, 0)$
$2$	$16$	$(2, 16)$

Plot titik-titik dan hubungkan dengan kurva mulus:

Grafik

h(x) = x^3 + 3x^2 - 4

Grafik fungsi kubik berderajat

3

Karakteristik Umum Grafik Polinomial

Grafik fungsi polinomial selalu mulus (tidak ada sudut tajam) dan kontinu (tidak ada lompatan atau jeda). Bentuk umumnya sangat dipengaruhi oleh derajat polinomialnya.

Derajat $0$ : $P(x) = c$ . Grafiknya berupa garis horizontal.
Derajat $1$ : $P(x) = ax + b$ . Grafiknya berupa garis lurus (miring).
Derajat $2$ : $P(x) = ax^2 + bx + c$ . Grafiknya berupa parabola.
Derajat $3$ : $P(x) = ax^3 + \dots$ . Kedua ujung grafik mengarah ke arah vertikal yang berlawanan, dan grafik dapat memiliki paling banyak dua titik balik.
Derajat $4$ : Grafiknya bisa memiliki hingga tiga 'puncak' atau 'lembah'.
Derajat $5$ : Grafiknya bisa memiliki hingga empat 'puncak' atau 'lembah'.

Secara umum, grafik fungsi polinomial berderajat $n$ dapat memotong sumbu $x$ maksimal $n \text{ kali}$ dan memiliki maksimal $n-1$ titik balik (puncak atau lembah).

Perilaku Ujung atau End Behavior

Perilaku ujung grafik fungsi polinomial menyatakan arah grafik saat $x$ menuju tak hingga positif ( $x \to \infty$ ) atau tak hingga negatif ( $x \to -\infty$ ).

Perilaku ujung ini ditentukan hanya oleh suku utama $a_n x^n$ :

Derajat $n$ (Genap atau Ganjil)
Koefisien utama $a_n$ (Positif atau Negatif)

Ada $4 \text{ kemungkinan}$ kombinasi:

$n$ Genap, $a_n > 0$ (Positif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to \infty$ (kanan atas $\nearrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to \infty$ (kiri atas $\nwarrow$ )
- Contoh: $y = x^2$ , $y = x^4$
  
  Grafik $y = x^2$ (Genap, Positif)
  Grafik naik ke kiri dan ke kanan.
$n$ Genap, $a_n < 0$ (Negatif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to -\infty$ (kanan bawah $\searrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to -\infty$ (kiri bawah $\swarrow$ )
- Contoh: $y = -x^2$ , $y = -x^6$
  
  Grafik $y = -x^2$ (Genap, Negatif)
  Grafik turun ke kiri dan ke kanan.
$n$ Ganjil, $a_n > 0$ (Positif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to \infty$ (kanan atas $\nearrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to -\infty$ (kiri bawah $\swarrow$ )
- Contoh: $y = x$ , $y = x^3$ , $y = x^5$
  
  Grafik $y = x^3$ (Ganjil, Positif)
  Grafik turun ke kiri dan naik ke kanan.
$n$ Ganjil, $a_n < 0$ (Negatif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to -\infty$ (kanan bawah $\searrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to \infty$ (kiri atas $\nwarrow$ )
- Contoh: $y = -x$ , $y = -x^3$
  
  Grafik $y = -x^3$ (Ganjil, Negatif)
  Grafik naik ke kiri dan turun ke kanan.

Menggunakan Perilaku Ujung

Perilaku ujung menunjukkan bentuk umum grafik polinomial tanpa perlu menggambarnya secara lengkap.

Contoh Aplikasi:

Cocokkan fungsi berikut dengan kemungkinan perilaku ujungnya:

$f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 3$
- Suku utama: $x^4$
- Derajat $n=4$ (Genap)
- Koefisien utama $a_n=1$ (Positif)
- Perilaku ujung: Kiri atas ( $\nwarrow$ ), Kanan atas ( $\nearrow$ )
Grafik $f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 3$
Perilaku Ujung: $\nwarrow$ $\nearrow$
$g(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1$
- Suku utama: $-x^3$
- Derajat $n=3$ (Ganjil)
- Koefisien utama $a_n=-1$ (Negatif)
- Perilaku ujung: Kiri atas ( $\nwarrow$ ), Kanan bawah ( $\searrow$ )
Grafik $g(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1$
Perilaku Ujung: $\nwarrow$ $\searrow$
$h(x) = -x^6 - \frac{11}{4}x^5 + x^4 + 5x^3 + 2$
- Suku utama: $-x^6$
- Derajat $n=6$ (Genap)
- Koefisien utama $a_n=-1$ (Negatif)
- Perilaku ujung: Kiri bawah ( $\swarrow$ ), Kanan bawah ( $\searrow$ )
Grafik $h(x) = -x^6 - \frac{11}{4}x^5 + x^4 + 5x^3 + 2$
Perilaku Ujung: $\swarrow$ $\searrow$
$k(x) = 25x^5 - 20x^4 - 26x^3 + 12x^2 + 9x - 1$
- Suku utama: $25x^5$
- Derajat $n=5$ (Ganjil)
- Koefisien utama $a_n=25$ (Positif)
- Perilaku ujung: Kiri bawah ( $\swarrow$ ), Kanan atas ( $\nearrow$ )
Grafik $k(x) = 25x^5 - 20x^4 - 26x^3 + 12x^2 + 9x - 1$
Perilaku Ujung: $\swarrow$ $\nearrow$

Dengan menganalisis suku utama, kita bisa memperkirakan bentuk umum grafik di ujung-ujungnya.

Latihan

Perhatikan fungsi

p(x)=-(x-2)^2(x+1)

Tentukan derajat, koefisien utama, akar real, perilaku grafik pada setiap akar, dan perilaku ujungnya. Setelah itu, jelaskan ciri-ciri yang wajib terlihat pada sketsa yang benar.

Pembahasan

Hasil kali suku utama adalah $-x^3$ , sehingga polinomial berderajat $3$ dan berkoefisien utama $-1$ .

Bentuk faktor langsung menunjukkan akar-akarnya:

$x=-1$ memiliki multiplisitas $1$ , sehingga grafik memotong sumbu $x$ di titik itu.
$x=2$ memiliki multiplisitas $2$ , sehingga grafik menyentuh sumbu $x$ lalu berbalik arah.

Karena derajatnya ganjil dan koefisien utamanya negatif,

x\to-\infty \implies p(x)\to\infty

Sebagai titik pemeriksaan tambahan, $p(0)=-4$ . Jadi, sketsa yang benar naik di ujung kiri, memotong sumbu di $(-1,0)$ , melalui $(0,-4)$ , menyentuh sumbu di $(2,0)$ , lalu turun di ujung kanan.

Derajat dan Koefisien Menentukan Bentuk Grafik

Metode Plotting Titik

Langkah-langkah:

Pilih beberapa nilai $x$ yang berbeda.
Hitung nilai $y = P(x)$ untuk setiap nilai $x$ yang dipilih.
Buat tabel pasangan nilai $(x, y)$ .
Plot titik-titik tersebut pada bidang koordinat.
Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang halus dan kontinu.

Fungsi Linear Derajat Satu

Gambarkan grafik fungsi $f(x) = 2x + 5$ .

Kita pilih beberapa nilai $x$ dan hitung $y$ :

$x$	$y = f(x)$	$(x, y)$
$-3$	$-1$	$(-3, -1)$
$-2$	$1$	$(-2, 1)$
$-1$	$3$	$(-1, 3)$
$0$	$5$	$(0, 5)$
$1$	$7$	$(1, 7)$
$2$	$9$	$(2, 9)$
$3$	$11$	$(3, 11)$

Plot titik-titik dan hubungkan:

Grafik

f(x) = 2x + 5

Grafik fungsi linear berderajat

1

Fungsi Kuadrat Derajat Dua

Gambarkan grafik fungsi $g(x) = x^2 - 2x - 3$ .

Tabel nilai:

$x$	$y = g(x)$	$(x, y)$
$-2$	$5$	$(-2, 5)$
$-1$	$0$	$(-1, 0)$
$0$	$-3$	$(0, -3)$
$1$	$-4$	$(1, -4)$
$2$	$-3$	$(2, -3)$
$3$	$0$	$(3, 0)$
$4$	$5$	$(4, 5)$

Plot titik-titik dan hubungkan dengan kurva mulus (parabola):

Grafik

g(x) = x^2 - 2x - 3

Grafik fungsi kuadrat berderajat

2

Fungsi Kubik Derajat Tiga

Gambarkan grafik fungsi $h(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ .

Tabel nilai:

$x$	$y = h(x)$	$(x, y)$
$-4$	$-20$	$(-4, -20)$
$-3$	$-4$	$(-3, -4)$
$-2$	$0$	$(-2, 0)$
$-1$	$-2$	$(-1, -2)$
$0$	$-4$	$(0, -4)$
$1$	$0$	$(1, 0)$
$2$	$16$	$(2, 16)$

Plot titik-titik dan hubungkan dengan kurva mulus:

Grafik

h(x) = x^3 + 3x^2 - 4

Grafik fungsi kubik berderajat

3

Karakteristik Umum Grafik Polinomial

Grafik fungsi polinomial selalu mulus (tidak ada sudut tajam) dan kontinu (tidak ada lompatan atau jeda). Bentuk umumnya sangat dipengaruhi oleh derajat polinomialnya.

Derajat $0$ : $P(x) = c$ . Grafiknya berupa garis horizontal.
Derajat $1$ : $P(x) = ax + b$ . Grafiknya berupa garis lurus (miring).
Derajat $2$ : $P(x) = ax^2 + bx + c$ . Grafiknya berupa parabola.
Derajat $3$ : $P(x) = ax^3 + \dots$ . Kedua ujung grafik mengarah ke arah vertikal yang berlawanan, dan grafik dapat memiliki paling banyak dua titik balik.
Derajat $4$ : Grafiknya bisa memiliki hingga tiga 'puncak' atau 'lembah'.
Derajat $5$ : Grafiknya bisa memiliki hingga empat 'puncak' atau 'lembah'.

Secara umum, grafik fungsi polinomial berderajat $n$ dapat memotong sumbu $x$ maksimal $n \text{ kali}$ dan memiliki maksimal $n-1$ titik balik (puncak atau lembah).

Perilaku Ujung atau End Behavior

Perilaku ujung grafik fungsi polinomial menyatakan arah grafik saat $x$ menuju tak hingga positif ( $x \to \infty$ ) atau tak hingga negatif ( $x \to -\infty$ ).

Perilaku ujung ini ditentukan hanya oleh suku utama $a_n x^n$ :

Derajat $n$ (Genap atau Ganjil)
Koefisien utama $a_n$ (Positif atau Negatif)

Ada $4 \text{ kemungkinan}$ kombinasi:

$n$ Genap, $a_n > 0$ (Positif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to \infty$ (kanan atas $\nearrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to \infty$ (kiri atas $\nwarrow$ )
- Contoh: $y = x^2$ , $y = x^4$
  
  Grafik $y = x^2$ (Genap, Positif)
  Grafik naik ke kiri dan ke kanan.
$n$ Genap, $a_n < 0$ (Negatif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to -\infty$ (kanan bawah $\searrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to -\infty$ (kiri bawah $\swarrow$ )
- Contoh: $y = -x^2$ , $y = -x^6$
  
  Grafik $y = -x^2$ (Genap, Negatif)
  Grafik turun ke kiri dan ke kanan.
$n$ Ganjil, $a_n > 0$ (Positif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to \infty$ (kanan atas $\nearrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to -\infty$ (kiri bawah $\swarrow$ )
- Contoh: $y = x$ , $y = x^3$ , $y = x^5$
  
  Grafik $y = x^3$ (Ganjil, Positif)
  Grafik turun ke kiri dan naik ke kanan.
$n$ Ganjil, $a_n < 0$ (Negatif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to -\infty$ (kanan bawah $\searrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to \infty$ (kiri atas $\nwarrow$ )
- Contoh: $y = -x$ , $y = -x^3$
  
  Grafik $y = -x^3$ (Ganjil, Negatif)
  Grafik naik ke kiri dan turun ke kanan.

Menggunakan Perilaku Ujung

Perilaku ujung menunjukkan bentuk umum grafik polinomial tanpa perlu menggambarnya secara lengkap.

Contoh Aplikasi:

Cocokkan fungsi berikut dengan kemungkinan perilaku ujungnya:

$f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 3$
- Suku utama: $x^4$
- Derajat $n=4$ (Genap)
- Koefisien utama $a_n=1$ (Positif)
- Perilaku ujung: Kiri atas ( $\nwarrow$ ), Kanan atas ( $\nearrow$ )
Grafik $f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 3$
Perilaku Ujung: $\nwarrow$ $\nearrow$
$g(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1$
- Suku utama: $-x^3$
- Derajat $n=3$ (Ganjil)
- Koefisien utama $a_n=-1$ (Negatif)
- Perilaku ujung: Kiri atas ( $\nwarrow$ ), Kanan bawah ( $\searrow$ )
Grafik $g(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1$
Perilaku Ujung: $\nwarrow$ $\searrow$
$h(x) = -x^6 - \frac{11}{4}x^5 + x^4 + 5x^3 + 2$
- Suku utama: $-x^6$
- Derajat $n=6$ (Genap)
- Koefisien utama $a_n=-1$ (Negatif)
- Perilaku ujung: Kiri bawah ( $\swarrow$ ), Kanan bawah ( $\searrow$ )
Grafik $h(x) = -x^6 - \frac{11}{4}x^5 + x^4 + 5x^3 + 2$
Perilaku Ujung: $\swarrow$ $\searrow$
$k(x) = 25x^5 - 20x^4 - 26x^3 + 12x^2 + 9x - 1$
- Suku utama: $25x^5$
- Derajat $n=5$ (Ganjil)
- Koefisien utama $a_n=25$ (Positif)
- Perilaku ujung: Kiri bawah ( $\swarrow$ ), Kanan atas ( $\nearrow$ )
Grafik $k(x) = 25x^5 - 20x^4 - 26x^3 + 12x^2 + 9x - 1$
Perilaku Ujung: $\swarrow$ $\nearrow$

Dengan menganalisis suku utama, kita bisa memperkirakan bentuk umum grafik di ujung-ujungnya.

Latihan

Perhatikan fungsi

p(x)=-(x-2)^2(x+1)

Tentukan derajat, koefisien utama, akar real, perilaku grafik pada setiap akar, dan perilaku ujungnya. Setelah itu, jelaskan ciri-ciri yang wajib terlihat pada sketsa yang benar.

Pembahasan

Hasil kali suku utama adalah $-x^3$ , sehingga polinomial berderajat $3$ dan berkoefisien utama $-1$ .

Bentuk faktor langsung menunjukkan akar-akarnya:

$x=-1$ memiliki multiplisitas $1$ , sehingga grafik memotong sumbu $x$ di titik itu.
$x=2$ memiliki multiplisitas $2$ , sehingga grafik menyentuh sumbu $x$ lalu berbalik arah.

Karena derajatnya ganjil dan koefisien utamanya negatif,

x\to-\infty \implies p(x)\to\infty

Sebagai titik pemeriksaan tambahan, $p(0)=-4$ . Jadi, sketsa yang benar naik di ujung kiri, memotong sumbu di $(-1,0)$ , melalui $(0,-4)$ , menyentuh sumbu di $(2,0)$ , lalu turun di ujung kanan.