# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/polinomial/metode-horner
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/polynomial/horner-method/id.mdx
Pelajari metode Horner untuk pembagian polinomial yang efisien. Pahami alternatif sederhana dari pembagian bersusun dengan contoh dan latihan.
---
## Mengenal Metode Horner
Metode Horner adalah cara yang lebih efisien dan sederhana untuk melakukan pembagian polinomial, terutama ketika polinomial pembaginya berbentuk linier seperti $$(x-c)$$. Metode ini bisa dianggap sebagai penyederhanaan dari pembagian bersusun, karena hanya melibatkan penulisan koefisien dan operasi perkalian serta penjumlahan yang lebih ringkas.
Visible text: Metode Horner adalah cara yang lebih efisien dan sederhana untuk melakukan pembagian polinomial, terutama ketika polinomial pembaginya berbentuk linier seperti . Metode ini bisa dianggap sebagai penyederhanaan dari pembagian bersusun, karena hanya melibatkan penulisan koefisien dan operasi perkalian serta penjumlahan yang lebih ringkas.
### Perbandingan dengan Pembagian Bersusun
Untuk melihat bagaimana Metode Horner menyederhanakan proses, mari bandingkan pembagian $$P(x) = x^3 - 7x + 8$$ (atau $$x^3 + 0x^2 - 7x + 8$$) dengan $$x-2$$ menggunakan kedua cara:
Visible text: Untuk melihat bagaimana Metode Horner menyederhanakan proses, mari bandingkan pembagian (atau ) dengan menggunakan kedua cara:
**Pembagian Bersusun:**
```math
\begin{array}{l}
\qquad\quad\space\space x^2 + 2x - 3 \\
x-2\overline{\big)x^3 + 0x^2 - 7x + 8} \\
\quad\space\space \underline{-(x^3 - 2x^2)} \\
\qquad\qquad 2x^2 - 7x \\
\qquad\quad \underline{-(2x^2 - 4x)} \\
\qquad\qquad\qquad -3x + 8 \\
\qquad\qquad\quad \underline{-(-3x + 6)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2 \\
\end{array}
```
**Metode Horner:**
```math
\begin{array}{c|cccc}
2 & 1 & 0 & -7 & 8 \\
& & 2 & 4 & -6 \\
\hline
& 1 & 2 & -3 & \boxed{2} \\
\end{array}
```
Perhatikan bagaimana Metode Horner hanya fokus pada koefisien $$(1, 0, -7, 8)$$ dan nilai $$c=2$$. Baris bawah pada Metode Horner $$(1, 2, -3)$$ langsung memberikan koefisien hasil bagi $$1x^2 + 2x - 3$$ dan angka terakhir $$\boxed{2}$$ adalah sisanya.
Visible text: Perhatikan bagaimana Metode Horner hanya fokus pada koefisien dan nilai . Baris bawah pada Metode Horner langsung memberikan koefisien hasil bagi dan angka terakhir adalah sisanya.
Ini jauh lebih ringkas daripada menuliskan semua variabel dan pangkat seperti pada pembagian bersusun.
Metode ini hanya bisa langsung digunakan jika pembaginya adalah polinomial linier derajat satu, yaitu berbentuk $$(x-c)$$ atau $$(ax-b)$$ (yang bisa diubah bentuk).
Visible text: Metode ini hanya bisa langsung digunakan jika pembaginya adalah polinomial linier derajat satu, yaitu berbentuk atau (yang bisa diubah bentuk).
## Persiapan Menggunakan Metode Horner
Sebelum melakukan pembagian dengan metode Horner, ada beberapa langkah persiapan:
1. **Identifikasi Koefisien Polinomial yang Dibagi ($$P(x)$$):**
Tuliskan semua koefisien dari polinomial yang akan dibagi secara berurutan, dimulai dari suku dengan pangkat tertinggi hingga konstanta. Pastikan tidak ada pangkat yang terlewat. Jika ada suku dengan pangkat tertentu yang tidak ada, koefisiennya ditulis sebagai $$0$$.
**Contoh:**
Untuk $$P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$$, koefisien suku $$x$$ adalah $$0$$. Maka, koefisien yang kita tulis berurutan adalah: $$2, 5, 0, 6$$.
2. **Identifikasi Nilai $$c$$ dari Pembagi ($$x-c$$):**
Tentukan nilai $$c$$ dari polinomial pembagi. Ingat, jika pembagi adalah $$x-c$$, nilai yang digunakan adalah $$c$$. Jika pembagi adalah $$x+c$$, maka bentuknya sama dengan $$x - (-c)$$, sehingga nilai yang digunakan adalah $$-c$$.
**Contoh:**
Jika pembagi adalah $$x+3$$, maka $$x - (-3)$$, sehingga $$c = -3$$.
3. **Buat Skema Horner:**
Gambarkan skema atau bagan Horner. Letakkan nilai $$c$$ di sebelah kiri dan tuliskan koefisien $$P(x)$$ di baris atas.
Visible text: 1. **Identifikasi Koefisien Polinomial yang Dibagi ():**
Tuliskan semua koefisien dari polinomial yang akan dibagi secara berurutan, dimulai dari suku dengan pangkat tertinggi hingga konstanta. Pastikan tidak ada pangkat yang terlewat. Jika ada suku dengan pangkat tertentu yang tidak ada, koefisiennya ditulis sebagai .
**Contoh:**
Untuk , koefisien suku adalah . Maka, koefisien yang kita tulis berurutan adalah: .
2. **Identifikasi Nilai dari Pembagi ():**
Tentukan nilai dari polinomial pembagi. Ingat, jika pembagi adalah , nilai yang digunakan adalah . Jika pembagi adalah , maka bentuknya sama dengan , sehingga nilai yang digunakan adalah .
**Contoh:**
Jika pembagi adalah , maka , sehingga .
3. **Buat Skema Horner:**
Gambarkan skema atau bagan Horner. Letakkan nilai di sebelah kiri dan tuliskan koefisien di baris atas.
## Proses Pembagian dengan Metode Horner
Berikut adalah langkah-langkah melakukan pembagian menggunakan skema Horner:
1. **Turunkan Koefisien Pertama:** Turunkan koefisien pertama ($$a_n$$) langsung ke baris hasil (baris paling bawah).
2. **Kali dan Letakkan:** Kalikan koefisien yang baru saja diturunkan dengan nilai $$c$$. Letakkan hasilnya di bawah koefisien kedua ($$a_{n-1}$$).
3. **Jumlahkan:** Jumlahkan koefisien kedua ($$a_{n-1}$$) dengan hasil perkalian dari langkah sebelumnya. Tuliskan hasilnya di baris hasil, tepat di bawahnya.
4. **Ulangi:** Ulangi langkah $$2$$ (kali dengan $$c$$) dan langkah $$3$$ (jumlahkan dengan koefisien di atasnya) untuk semua koefisien yang tersisa.
5. **Hasil Akhir:** Angka terakhir di baris hasil adalah **sisa pembagian ($$S$$)**. Angka-angka lainnya di baris hasil, dari kiri ke kanan, adalah **koefisien dari polinomial hasil bagi ($$H(x)$$)**, dimulai dari pangkat $$n-1$$.
Visible text: 1. **Turunkan Koefisien Pertama:** Turunkan koefisien pertama () langsung ke baris hasil (baris paling bawah).
2. **Kali dan Letakkan:** Kalikan koefisien yang baru saja diturunkan dengan nilai . Letakkan hasilnya di bawah koefisien kedua ().
3. **Jumlahkan:** Jumlahkan koefisien kedua () dengan hasil perkalian dari langkah sebelumnya. Tuliskan hasilnya di baris hasil, tepat di bawahnya.
4. **Ulangi:** Ulangi langkah (kali dengan ) dan langkah (jumlahkan dengan koefisien di atasnya) untuk semua koefisien yang tersisa.
5. **Hasil Akhir:** Angka terakhir di baris hasil adalah **sisa pembagian ()**. Angka-angka lainnya di baris hasil, dari kiri ke kanan, adalah **koefisien dari polinomial hasil bagi ()**, dimulai dari pangkat .
## Penggunaan Metode Horner
Mari kita bagi $$P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$$ dengan $$x+3$$ menggunakan kedua metode.
Visible text: Mari kita bagi dengan menggunakan kedua metode.
**Pembagian Bersusun:**
```math
\begin{array}{l}
\qquad\quad\space 2x^2 - x + 3 \\
x+3\overline{\big)2x^3 + 5x^2 + 0x + 6} \\
\quad\space \underline{-(2x^3 + 6x^2)} \\
\qquad\qquad -x^2 + 0x \\
\qquad\quad \underline{-(-x^2 - 3x)} \\
\qquad\qquad\qquad 3x + 6 \\
\qquad\qquad\quad \underline{-(3x + 9)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad -3 \\
\end{array}
```
**Metode Horner:**
1. **Persiapan:**
- Koefisien $$P(x)$$: $$2, 5, 0$$ (untuk $$x^1$$), $$6$$ (konstanta).
- Pembagi adalah $$x+3$$, maka $$x - (-3)$$, jadi $$c = -3$$.
2. **Proses Horner:**
```math
\begin{array}{c|cccc}
-3 & 2 & 5 & 0 & 6 \\
& & -6 & 3 & -9 \\
\hline
& 2 & -1 & 3 & \boxed{-3} \\
\end{array}
```
3. **Penjelasan Skema:**
- Angka $$2$$ (koefisien $$x^3$$) diturunkan.
- $$2 \times (-3) = -6$$. Letakkan $$-6$$ di bawah $$5$$.
- $$5 + (-6) = -1$$. Tulis $$-1$$ di baris hasil.
- $$-1 \times (-3) = 3$$. Letakkan $$3$$ di bawah $$0$$.
- $$0 + 3 = 3$$. Tulis $$3$$ di baris hasil.
- $$3 \times (-3) = -9$$. Letakkan $$-9$$ di bawah $$6$$.
- $$6 + (-9) = -3$$. Tulis $$-3$$ (sisa) di baris hasil paling kanan.
4. **Hasil:**
- Angka terakhir di baris hasil adalah $$\boxed{-3}$$. Ini adalah **Sisa Pembagian ($$S$$)**.
- Angka-angka lainnya adalah $$2, -1, 3$$. Ini adalah koefisien **Hasil Bagi ($$H(x)$$)**. Karena $$P(x)$$ berderajat $$3$$, maka $$H(x)$$ berderajat $$2$$.
- Jadi, $$H(x) = 2x^2 - 1x + 3 = 2x^2 - x + 3$$.
5. **Penulisan Algoritma Pembagian:**
```math
P(x) = (x-c) H(x) + S
```
```math
2x^3 + 5x^2 + 6 = (x+3)(2x^2 - x + 3) - 3
```
Visible text: 1. **Persiapan:**
- Koefisien : (untuk ), (konstanta).
- Pembagi adalah , maka , jadi .
2. **Proses Horner:**
3. **Penjelasan Skema:**
- Angka (koefisien ) diturunkan.
- . Letakkan di bawah .
- . Tulis di baris hasil.
- . Letakkan di bawah .
- . Tulis di baris hasil.
- . Letakkan di bawah .
- . Tulis (sisa) di baris hasil paling kanan.
4. **Hasil:**
- Angka terakhir di baris hasil adalah . Ini adalah **Sisa Pembagian ()**.
- Angka-angka lainnya adalah . Ini adalah koefisien **Hasil Bagi ()**. Karena berderajat , maka berderajat .
- Jadi, .
5. **Penulisan Algoritma Pembagian:**
## Latihan
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian $$x^4 + 4$$ oleh $$x - 1$$ dengan menggunakan metode Horner dan pembagian bersusun.
Visible text: Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian oleh dengan menggunakan metode Horner dan pembagian bersusun.
Nyatakan hasilnya ke dalam bentuk $$P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)$$.
Visible text: Nyatakan hasilnya ke dalam bentuk .
### Kunci Jawaban
- Polinomial yang dibagi: $$P(x) = x^4 + 4 = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4$$.
- Pembagi: $$Q(x) = x - 1$$, maka $$c = 1$$.
Visible text: - Polinomial yang dibagi: .
- Pembagi: , maka .
**Pembagian Bersusun:**
```math
\begin{array}{l}
\qquad\quad\space\space x^3 + x^2 + x + 1 \\
x-1\overline{\big)x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4} \\
\quad\space\space \underline{-(x^4 - x^3)} \\
\qquad\qquad x^3 + 0x^2 \\
\qquad\quad \underline{-(x^3 - x^2)} \\
\qquad\qquad\qquad x^2 + 0x \\
\qquad\qquad\quad \underline{-(x^2 - x)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad x + 4 \\
\qquad\qquad\qquad\quad \underline{-(x - 1)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5 \\
\end{array}
```
**Metode Horner:**
```math
\begin{array}{c|ccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
& & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
& 1 & 1 & 1 & 1 & \boxed{5} \\
\end{array}
```
**Hasil:**
- Hasil Bagi: $$H(x) = x^3 + x^2 + x + 1$$.
- Sisa: $$S = \boxed{5}$$.
Visible text: - Hasil Bagi: .
- Sisa: .
**Penulisan Algoritma Pembagian:**
```math
x^4 + 4 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1) + 5
```