# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/polinomial/pembagian-bersusun
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/polynomial/synthetic-division/id.mdx

Pelajari pembagian polinomial bersusun dengan pendekatan sistematis. Pelajari perhitungan hasil bagi dan sisa melalui contoh terarah dan latihan.

---

## Pembagian dengan Cara Bersusun (Long Division)

Pembagian polinomial dengan cara bersusun adalah metode yang paling umum digunakan untuk menemukan hasil bagi dan sisa pembagian dua polinomial. Cara ini mirip dengan pembagian bersusun yang kita lakukan pada bilangan bulat.

## Persiapan Pembagian Bersusun

Sebelum memulai pembagian, ada beberapa hal yang perlu dipersiapkan:

1.  **Urutkan Suku:**

    Tuliskan polinomial yang dibagi ($$P(x)$$) dan polinomial pembagi ($$Q(x)$$) dalam urutan pangkat variabel menurun (dari pangkat tertinggi ke terendah).

2.  **Lengkapi Suku:**

    Jika ada suku dengan pangkat tertentu yang tidak ada (koefisiennya nol), tetap tuliskan suku tersebut dengan koefisien $$0$$ sebagai _placeholder_. Ini sangat penting untuk menjaga kolom tetap lurus saat melakukan pengurangan.

    **Contoh:**

    Jika $$P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$$, suku $$x^2$$ tidak ada.

    Maka kita tulis menjadi $$P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$$.

3.  **Susun Pembagian:**

    Tulis pembagian dalam format bersusun, dengan $$P(x)$$ (yang sudah dilengkapi) di dalam simbol bagi dan $$Q(x)$$ di luar.

Visible text: 1. **Urutkan Suku:**

 Tuliskan polinomial yang dibagi () dan polinomial pembagi () dalam urutan pangkat variabel menurun (dari pangkat tertinggi ke terendah).

2. **Lengkapi Suku:**

 Jika ada suku dengan pangkat tertentu yang tidak ada (koefisiennya nol), tetap tuliskan suku tersebut dengan koefisien sebagai _placeholder_. Ini sangat penting untuk menjaga kolom tetap lurus saat melakukan pengurangan.

 **Contoh:**

 Jika , suku tidak ada.

 Maka kita tulis menjadi .

3. **Susun Pembagian:**

 Tulis pembagian dalam format bersusun, dengan (yang sudah dilengkapi) di dalam simbol bagi dan di luar.

## Langkah-langkah Pembagian Bersusun

Proses pembagian dilakukan langkah demi langkah sebagai berikut:

1.  **Bagi:** Bagi suku pertama $$P(x)$$ dengan suku pertama $$Q(x)$$. Tulis hasilnya sebagai suku pertama dari hasil bagi ($$H(x)$$) di atas garis.
2.  **Kali:** Kalikan suku hasil bagi yang baru saja didapat dengan _seluruh_ suku pembagi $$Q(x)$$.
3.  **Kurang:** Tulis hasil perkalian tersebut di bawah $$P(x)$$, luruskan suku-suku sejenis, lalu kurangkan dari $$P(x)$$ untuk mendapatkan sisa sementara.
4.  **Turunkan:** Turunkan suku berikutnya dari $$P(x)$$ ke samping sisa sementara untuk membentuk polinomial baru.
5.  **Ulangi:** Ulangi langkah $$1\text{-}4$$ dengan polinomial baru ini, sampai derajat sisa sementara lebih kecil dari derajat pembagi $$Q(x)$$.

Visible text: 1. **Bagi:** Bagi suku pertama dengan suku pertama . Tulis hasilnya sebagai suku pertama dari hasil bagi () di atas garis.
2. **Kali:** Kalikan suku hasil bagi yang baru saja didapat dengan _seluruh_ suku pembagi .
3. **Kurang:** Tulis hasil perkalian tersebut di bawah , luruskan suku-suku sejenis, lalu kurangkan dari untuk mendapatkan sisa sementara.
4. **Turunkan:** Turunkan suku berikutnya dari ke samping sisa sementara untuk membentuk polinomial baru.
5. **Ulangi:** Ulangi langkah dengan polinomial baru ini, sampai derajat sisa sementara lebih kecil dari derajat pembagi .

### Contoh Pembagian Bersusun

Bagilah $$P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$$ dengan $$Q(x) = x^2 + 4x - 1$$.

Visible text: Bagilah dengan .

1. **Persiapan:**

   - $$P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$$ (lengkapi suku $$x^2$$)
   - $$Q(x) = x^2 + 4x - 1$$

2. **Proses Pembagian:**

   
   
   ```math
   \begin{array}{l}
    \qquad\qquad\qquad 4x^2 + x \\
    x^2+4x-1\overline{\big)4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1} \\
    \qquad\qquad\underline{-(4x^4 + 16x^3 - 4x^2)} \\
    \qquad\qquad\qquad\qquad x^3 + 4x^2 - 3x \\
    \qquad\qquad\qquad\quad\underline{-(x^3 + 4x^2 - x)} \\
    \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -2x + 1 \\
    \end{array}
   ```

3. **Penjelasan Langkah Demi Langkah:**

   **Iterasi** $$1$$:

   - **Bagi:** Bagi suku pertama $$4x^4$$ dengan suku pertama pembagi $$x^2$$:

     
     
     ```math
     \frac{4x^4}{x^2} = 4x^2
     ```

     Tulis $$4x^2$$ sebagai suku pertama hasil bagi.

   - **Kali:** Kalikan $$4x^2$$ dengan pembagi $$x^2 + 4x - 1$$:

     
     
     ```math
     4x^2(x^2 + 4x - 1) = 4x^4 + 16x^3 - 4x^2
     ```

   - **Kurang:** Kurangkan hasil perkalian dari polinomial awal:

     
     
     ```math
     (4x^4 + 17x^3 + 0x^2) - (4x^4 + 16x^3 - 4x^2) = x^3 + 4x^2
     ```

   - **Turunkan:** Turunkan suku berikutnya ($$-3x$$) untuk mendapatkan polinomial baru:

     $$x^3 + 4x^2 - 3x$$

   **Iterasi** $$2$$:

   - **Bagi:** Bagi suku pertama polinomial baru $$x^3$$ dengan suku pertama pembagi $$x^2$$:

     
     
     ```math
     \frac{x^3}{x^2} = x
     ```

     Tulis $$+x$$ sebagai suku berikutnya hasil bagi.

   - **Kali:** Kalikan $$x$$ dengan pembagi $$x^2 + 4x - 1$$:

     
     
     ```math
     x(x^2 + 4x - 1) = x^3 + 4x^2 - x
     ```

   - **Kurang:** Kurangkan hasil perkalian dari polinomial saat ini:

     
     
     ```math
     (x^3 + 4x^2 - 3x) - (x^3 + 4x^2 - x) = -2x
     ```

   - **Turunkan:** Turunkan suku berikutnya ($$+1$$) untuk mendapatkan sisa sementara:

     
     
     ```math
     -2x + 1
     ```

   **Berhenti:** Derajat sisa ($$-2x+1$$, derajat $$1$$) lebih kecil dari derajat pembagi ($$x^2+4x-1$$, derajat $$2$$), maka pembagian berhenti.

4. **Hasil:**

     - Hasil Bagi ($$H(x)$$) adalah $$4x^2 + x$$.
     - Sisa ($$S(x)$$) adalah $$-2x + 1$$.

5. **Penulisan dalam Algoritma Pembagian:**

     Berdasarkan algoritma pembagian, kita dapat menuliskan hasilnya sebagai:

     - Bentuk Pecahan:

       
       
       ```math
       \frac{4x^4 + 17x^3 - 3x + 1}{x^2 + 4x - 1} = 4x^2 + x + \frac{-2x + 1}{x^2 + 4x - 1}
       ```

     - Bentuk Perkalian:

       
       
       ```math
       4x^4 + 17x^3 - 3x + 1 = (x^2 + 4x - 1)(4x^2 + x) + (-2x + 1)
       ```

Visible text: 1. **Persiapan:**

 - (lengkapi suku )
 - 

2. **Proses Pembagian:**

 
 

3. **Penjelasan Langkah Demi Langkah:**

 **Iterasi** :

 - **Bagi:** Bagi suku pertama dengan suku pertama pembagi :

 
 

 Tulis sebagai suku pertama hasil bagi.

 - **Kali:** Kalikan dengan pembagi :

 
 

 - **Kurang:** Kurangkan hasil perkalian dari polinomial awal:

 
 

 - **Turunkan:** Turunkan suku berikutnya () untuk mendapatkan polinomial baru:

 

 **Iterasi** :

 - **Bagi:** Bagi suku pertama polinomial baru dengan suku pertama pembagi :

 
 

 Tulis sebagai suku berikutnya hasil bagi.

 - **Kali:** Kalikan dengan pembagi :

 
 

 - **Kurang:** Kurangkan hasil perkalian dari polinomial saat ini:

 
 

 - **Turunkan:** Turunkan suku berikutnya () untuk mendapatkan sisa sementara:

 
 

 **Berhenti:** Derajat sisa (, derajat ) lebih kecil dari derajat pembagi (, derajat ), maka pembagian berhenti.

4. **Hasil:**

 - Hasil Bagi () adalah .
 - Sisa () adalah .

5. **Penulisan dalam Algoritma Pembagian:**

 Berdasarkan algoritma pembagian, kita dapat menuliskan hasilnya sebagai:

 - Bentuk Pecahan:

 
 

 - Bentuk Perkalian:

Metode pembagian bersusun ini mungkin terlihat panjang, tetapi sangat sistematis dan dapat diandalkan untuk semua jenis pembagian polinomial.

## Latihan

Carilah polinomial hasil bagi $$H(x)$$ dan polinomial sisa $$S(x)$$ setelah $$P(x) = x^3 - x + 9$$ dibagi dengan $$Q(x) = x^2 - 2x + 3$$.

Visible text: Carilah polinomial hasil bagi dan polinomial sisa setelah dibagi dengan .

Nyatakan hasilnya ke dalam bentuk $$P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)$$.

Visible text: Nyatakan hasilnya ke dalam bentuk .

### Kunci Jawaban

Lengkapi $$P(x)$$ menjadi $$x^3 + 0x^2 - x + 9$$.

Visible text: Lengkapi menjadi .

```math
\begin{array}{l}
\qquad\qquad\qquad x + 2 \\
x^2-2x+3\overline{\big)x^3 + 0x^2 - x + 9} \\
\qquad\qquad\underline{-(x^3 - 2x^2 + 3x)} \\
\qquad\qquad\qquad\quad 2x^2 - 4x + 9 \\
\qquad\qquad\qquad\underline{-(2x^2 - 4x + 6)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 3 \\
\end{array}
```

- Hasil Bagi: $$H(x) = x + 2$$
- Sisa: $$S(x) = 3$$
- Bentuk Algoritma Pembagian:

  
  
  ```math
  x^3 - x + 9 = (x^2 - 2x + 3)(x + 2) + 3
  ```

Visible text: - Hasil Bagi: 
- Sisa: 
- Bentuk Algoritma Pembagian: