# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/polinomial/pembuat-nol-rasional
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/polynomial/rational-zero/id.mdx
Pelajari Teorema Pembuat Nol Rasional untuk mencari akar polinomial dengan efisien. Pelajari metode bertahap dengan contoh praktis.
---
## Mencari Akar Rasional Polinomial
Setelah mengetahui [Teorema Faktor](/id/materi/matematika/polinomial/teorema-faktor), kita tahu bahwa mencari faktor $$(x-c)$$ sama saja dengan mencari pembuat nol (akar) $$c$$ dari polinomial $$P(x)$$. Namun, bagaimana cara kita menemukan nilai $$c$$ tersebut, terutama jika polinomialnya berderajat tinggi?
Visible text: Setelah mengetahui [Teorema Faktor](/id/materi/matematika/polinomial/teorema-faktor), kita tahu bahwa mencari faktor sama saja dengan mencari pembuat nol (akar) dari polinomial . Namun, bagaimana cara kita menemukan nilai tersebut, terutama jika polinomialnya berderajat tinggi?
Mencoba-coba semua bilangan tentu tidak efisien. Di sinilah **Teorema Pembuat Nol Rasional** (atau Teorema Akar Rasional) berperan. Teorema ini membantu kita mempersempit daftar kemungkinan akar rasional dari suatu polinomial.
## Teorema Pembuat Nol Rasional
Misalkan $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$ adalah polinomial dengan koefisien-koefisien ($$a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$$) yang semuanya merupakan **bilangan bulat**, dengan $$a_n \neq 0$$ dan $$a_0 \neq 0$$.
Visible text: Misalkan adalah polinomial dengan koefisien-koefisien () yang semuanya merupakan **bilangan bulat**, dengan dan .
Jika polinomial $$P(x)$$ tersebut memiliki pembuat nol (akar) rasional berbentuk $$\frac{p}{q}$$ (di mana $$p$$ dan $$q$$ adalah bilangan bulat, $$q \neq 0$$, dan $$\frac{p}{q}$$ adalah pecahan paling sederhana), maka:
Visible text: Jika polinomial tersebut memiliki pembuat nol (akar) rasional berbentuk (di mana dan adalah bilangan bulat, , dan adalah pecahan paling sederhana), maka:
- $$p$$ pasti merupakan faktor dari konstanta $$a_0$$.
- $$q$$ pasti merupakan faktor dari koefisien utama $$a_n$$.
Visible text: - pasti merupakan faktor dari konstanta .
- pasti merupakan faktor dari koefisien utama .
Teorema ini hanya memberikan daftar **kemungkinan** akar rasional. Belum tentu semua nilai $$\frac{p}{q}$$ dari daftar tersebut benar-benar akar dari polinomialnya. Kita masih perlu mengujinya.
Visible text: Teorema ini hanya memberikan daftar **kemungkinan** akar rasional. Belum tentu semua nilai dari daftar tersebut benar-benar akar dari polinomialnya. Kita masih perlu mengujinya.
## Langkah-langkah Teorema Pembuat Nol Rasional
Berikut langkah-langkah untuk menemukan akar rasional menggunakan teorema ini, seringkali dikombinasikan dengan Teorema Faktor:
1. **Identifikasi Koefisien:** Pastikan semua koefisien ($$a_n, \dots, a_0$$) adalah bilangan bulat. Identifikasi konstanta $$a_0$$ dan koefisien utama $$a_n$$.
2. **Daftar Faktor $$p$$:** Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari konstanta $$a_0$$.
3. **Daftar Faktor $$q$$:** Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari koefisien utama $$a_n$$.
4. **Daftar Kemungkinan Akar $$\frac{p}{q}$$:** Buat daftar semua kemungkinan nilai $$\frac{p}{q}$$ dengan membagi setiap faktor $$p$$ dengan setiap faktor $$q$$. Sederhanakan pecahan dan hilangkan duplikat.
5. **Uji Kemungkinan Akar:** Uji setiap nilai $$\frac{p}{q}$$ dari daftar kemungkinan dengan mensubstitusikannya ke $$P(x)$$ (menggunakan Teorema Sisa) atau menggunakan metode Horner. Jika hasilnya $$P(\frac{p}{q}) = 0$$, maka $$\frac{p}{q}$$ adalah akar rasional, dan $$(x - \frac{p}{q})$$ (atau bentuk $$(qx - p)$$) adalah faktornya (Teorema Faktor).
6. **Faktorkan Lebih Lanjut:** Setelah menemukan satu akar rasional $$c$$, gunakan hasil bagi dari metode Horner untuk mencari akar-akar lainnya dari polinomial yang derajatnya sudah lebih rendah.
Visible text: 1. **Identifikasi Koefisien:** Pastikan semua koefisien () adalah bilangan bulat. Identifikasi konstanta dan koefisien utama .
2. **Daftar Faktor :** Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari konstanta .
3. **Daftar Faktor :** Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari koefisien utama .
4. **Daftar Kemungkinan Akar :** Buat daftar semua kemungkinan nilai dengan membagi setiap faktor dengan setiap faktor . Sederhanakan pecahan dan hilangkan duplikat.
5. **Uji Kemungkinan Akar:** Uji setiap nilai dari daftar kemungkinan dengan mensubstitusikannya ke (menggunakan Teorema Sisa) atau menggunakan metode Horner. Jika hasilnya , maka adalah akar rasional, dan (atau bentuk ) adalah faktornya (Teorema Faktor).
6. **Faktorkan Lebih Lanjut:** Setelah menemukan satu akar rasional , gunakan hasil bagi dari metode Horner untuk mencari akar-akar lainnya dari polinomial yang derajatnya sudah lebih rendah.
### Penggunaan Teorema Faktor dan Pembuat Nol Rasional
Faktorkan polinomial $$P(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18$$ secara komplet.
Visible text: Faktorkan polinomial secara komplet.
1. **Identifikasi Koefisien:**
Koefisien adalah bilangan bulat. $$a_0 = -18$$ dan $$a_n = 1$$.
2. **Faktor $$p$$ (dari $$a_0 = -18$$):**
```math
\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18
```
3. **Faktor $$q$$ (dari $$a_n = 1$$):**
```math
\pm 1
```
4. **Kemungkinan Akar $$\frac{p}{q}$$:**
Membagi semua $$p$$ dengan $$q = \pm 1$$ menghasilkan:
```math
\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18
```
5. **Uji Kemungkinan Akar:** Kita coba beberapa nilai dari daftar ini.
- Coba $$x = 1$$:
```math
P(1) = 1 + 2 - 9 - 18 = -24 \neq 0
```
- Coba $$x = -1$$:
```math
P(-1) = -1 + 2 + 9 - 18 = -8 \neq 0
```
- Coba $$x = 2$$:
```math
P(2) = 8 + 8 - 18 - 18 = -20 \neq 0
```
- Coba $$x = -2$$:
```math
P(-2) = -8 + 8 + 18 - 18 = 0
```
Berhasil! Jadi, $$x = -2$$ adalah akar, dan $$(x+2)$$ adalah faktor.
- Atau dicoba $$x = 3$$:
```math
P(3) = (3)^3 + 2(3)^2 - 9(3) - 18 = 27 + 18 - 27 - 18 = 0
```
Berhasil! Jadi, $$x = 3$$ adalah akar, dan $$(x-3)$$ adalah faktor.
6. **Faktorkan Lebih Lanjut (menggunakan akar $$x = 3$$):**
Bagi $$P(x)$$ dengan $$(x-3)$$ menggunakan Horner ($$c = 3$$).
```math
\begin{array}{c|cccc}
3 & 1 & 2 & -9 & -18 \\
& & 3 & 15 & 18 \\
\hline
& 1 & 5 & 6 & \boxed{0} \\
\end{array}
```
Hasil baginya $$H(x) = x^2 + 5x + 6$$.
Maka, $$P(x) = (x-3)(x^2 + 5x + 6)$$.
7. **Faktorkan Hasil Bagi:**
Faktorkan $$x^2 + 5x + 6$$.
```math
x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
```
8. **Faktorisasi Lengkap:**
```math
P(x) = (x-3)(x+2)(x+3)
```
Visible text: 1. **Identifikasi Koefisien:**
Koefisien adalah bilangan bulat. dan .
2. **Faktor (dari ):**
3. **Faktor (dari ):**
4. **Kemungkinan Akar :**
Membagi semua dengan menghasilkan:
5. **Uji Kemungkinan Akar:** Kita coba beberapa nilai dari daftar ini.
- Coba :
- Coba :
- Coba :
- Coba :
Berhasil! Jadi, adalah akar, dan adalah faktor.
- Atau dicoba :
Berhasil! Jadi, adalah akar, dan adalah faktor.
6. **Faktorkan Lebih Lanjut (menggunakan akar ):**
Bagi dengan menggunakan Horner ().
Hasil baginya .
Maka, .
7. **Faktorkan Hasil Bagi:**
Faktorkan .
8. **Faktorisasi Lengkap:**
## Latihan
Faktorkan $$P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 20$$ secara komplet menggunakan Teorema Pembuat Nol Rasional dan Teorema Faktor.
Visible text: Faktorkan secara komplet menggunakan Teorema Pembuat Nol Rasional dan Teorema Faktor.
### Kunci Jawaban
1. **Identifikasi Koefisien:** $$a_0 = 20$$, $$a_n = 2$$.
2. **Faktor $$p$$ (dari $$20$$):** $$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$$.
3. **Faktor $$q$$ (dari $$2$$):** $$\pm 1, \pm 2$$.
4. **Kemungkinan Akar $$\frac{p}{q}$$:** $$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 1/2, \pm 5/2$$.
5. **Uji Akar:**
Coba $$x = 2$$.
```math
P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 20
```
```math
P(2) = 2(8) - 3(4) - 24 + 20
```
```math
P(2) = 16 - 12 - 24 + 20
```
```math
P(2) = 4 - 4 = 0
```
Karena $$P(2)=0$$, maka $$x=2$$ adalah akar dan $$(x-2)$$ adalah faktor.
6. **Bagi dengan Horner ($$c = 2$$):**
```math
\begin{array}{c|cccc}
2 & 2 & -3 & -12 & 20 \\
& & 4 & 2 & -20 \\
\hline
& 2 & 1 & -10 & \boxed{0} \\
\end{array}
```
Hasil bagi $$H(x) = 2x^2 + x - 10$$.
$$P(x) = (x-2)(2x^2 + x - 10)$$.
7. **Faktorkan Hasil Bagi:**
Faktorkan $$2x^2 + x - 10$$.
```math
2x^2 + x - 10 = (2x+5)(x-2)
```
8. **Faktorisasi Lengkap:**
```math
P(x) = (x-2)(2x+5)(x-2)
```
```math
P(x) = (x-2)^2 (2x+5)
```
Visible text: 1. **Identifikasi Koefisien:** , .
2. **Faktor (dari ):** .
3. **Faktor (dari ):** .
4. **Kemungkinan Akar :** .
5. **Uji Akar:**
Coba .
Karena , maka adalah akar dan adalah faktor.
6. **Bagi dengan Horner ():**
Hasil bagi .
.
7. **Faktorkan Hasil Bagi:**
Faktorkan .
8. **Faktorisasi Lengkap:**