# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/polinomial/penjumlahan-dan-pengurangan-polinomial
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/polynomial/addition-subtraction-polynomial/id.mdx

Pelajari penjumlahan dan pengurangan polinomial dengan contoh bertahap. Pahami suku sejenis, metode horizontal dan vertikal, serta visualisasi grafik.

---

## Konsep Dasar

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada polinomial pada dasarnya sama seperti pada bentuk aljabar lainnya: kita hanya bisa menjumlahkan atau mengurangkan **suku-suku yang sejenis**.

### Apa Itu Suku Sejenis?

**Suku-suku sejenis** adalah suku-suku yang memiliki **variabel dan pangkat variabel yang sama persis**. Koefisien dari suku-suku tersebut bisa berbeda.

**Contoh Suku Sejenis:**

- $$3x, \space -7x, \space -\frac{1}{5}x$$ (semua memiliki variabel $$x$$ pangkat
  $$1$$)
- $$\frac{1}{2}x^3, \space 4x^3, \space -2x^3$$ (semua memiliki
  variabel $$x$$ pangkat $$3$$)
- $$2x^2yz^3, \space \frac{3}{4}x^2yz^3, \space -5z^3x^2y$$ (semua
  memiliki variabel $$x$$ pangkat $$2$$, $$y$$ pangkat
  $$1$$, dan $$z$$ pangkat $$3$$)

Visible text: - (semua memiliki variabel pangkat
 )
- (semua memiliki
 variabel pangkat )
- (semua
 memiliki variabel pangkat , pangkat
 , dan pangkat )

**Contoh Bukan Suku Sejenis:**

- $$11x$$ dan $$4x^2$$ (pangkat $$x$$ berbeda)
- $$4x^3$$ dan $$-2x^4$$ (pangkat $$x$$ berbeda)
- $$4x^2$$ dan $$-x^5$$ (pangkat $$x$$ berbeda)
- $$\frac{3}{4}x^2yz^3$$ dan $$2x^2y$$ (tidak
  memiliki variabel $$z^3$$)
- $$\frac{3}{4}x^2yz^3$$ dan $$-7xy^2z^3$$ (pangkat $$x$$ dan $$y$$ berbeda)

Visible text: - dan (pangkat berbeda)
- dan (pangkat berbeda)
- dan (pangkat berbeda)
- dan (tidak
 memiliki variabel )
- dan (pangkat dan berbeda)

## Penjumlahan Polinomial

Untuk menjumlahkan dua polinomial, kita cukup **menjumlahkan koefisien dari suku-suku yang sejenis**.

**Metode Horizontal:**

1.  Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda tambah.
2.  Hilangkan tanda kurung.
3.  Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4.  Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis (gunakan sifat distributif).

Visible text: 1. Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda tambah.
2. Hilangkan tanda kurung.
3. Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4. Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis (gunakan sifat distributif).

**Contoh:**

Tentukan hasil dari $$(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)$$.

Visible text: Tentukan hasil dari .

Component: MathContainer
Children:

```math
(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)
```

```math
= 2x^3 + 7x^2 + 3x + 5 + 6x^3 + 2x^2 + 4x + 1 \quad \text{(Hilangkan kurung)}
```

```math
= (2x^3 + 6x^3) + (7x^2 + 2x^2) + (3x + 4x) + (5 + 1) \quad \text{(Kelompokkan suku sejenis)}
```

```math
= (2 + 6)x^3 + (7 + 2)x^2 + (3 + 4)x + (5 + 1) \quad \text{(Sifat distributif)}
```

```math
= 8x^3 + 9x^2 + 7x + 6 \quad \text{(Hasil akhir)}
```

## Pengurangan Polinomial

Untuk mengurangkan dua polinomial, kita **mengubah tanda setiap suku pada polinomial pengurang**, lalu menjumlahkannya seperti biasa.

**Metode Horizontal:**

1.  Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda kurang.
2.  Hilangkan tanda kurung. **Ingat:** ubah tanda setiap suku dalam kurung kedua (distribusikan tanda negatif).
3.  Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4.  Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis.

Visible text: 1. Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda kurang.
2. Hilangkan tanda kurung. **Ingat:** ubah tanda setiap suku dalam kurung kedua (distribusikan tanda negatif).
3. Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4. Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis.

**Contoh:**

Tentukan hasil dari $$(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)$$.

Visible text: Tentukan hasil dari .

Component: MathContainer
Children:

```math
(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)
```

```math
= 9x^3 + 4x^2 + 6x + 5 - 2x^3 - 3x^2 - 3x - 4 \quad \text{(Ubah tanda \& hilangkan kurung)}
```

```math
= (9x^3 - 2x^3) + (4x^2 - 3x^2) + (6x - 3x) + (5 - 4) \quad \text{(Kelompokkan suku sejenis)}
```

```math
= (9 - 2)x^3 + (4 - 3)x^2 + (6 - 3)x + (5 - 4) \quad \text{(Sifat distributif)}
```

```math
= 7x^3 + 1x^2 + 3x + 1 \quad \text{(Hasil akhir)}
```

```math
= 7x^3 + x^2 + 3x + 1
```

Perhatikan saat mengurangkan, tanda negatif di depan kurung mengubah tanda _setiap_ suku di dalam kurung tersebut.

## Metode Vertikal (Bersusun)

Selain metode horizontal, penjumlahan dan pengurangan polinomial juga bisa dilakukan dengan metode vertikal atau bersusun, mirip seperti penjumlahan dan pengurangan bilangan biasa.

**Langkah-langkah:**

1.  Susun kedua polinomial secara vertikal.
2.  Pastikan suku-suku yang sejenis berada dalam satu kolom.
3.  Jika ada suku yang tidak ada pada salah satu polinomial, berikan ruang kosong atau tulis koefisien $$0$$.
4.  Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada setiap kolom.

Visible text: 1. Susun kedua polinomial secara vertikal.
2. Pastikan suku-suku yang sejenis berada dalam satu kolom.
3. Jika ada suku yang tidak ada pada salah satu polinomial, berikan ruang kosong atau tulis koefisien .
4. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada setiap kolom.

**Contoh Penjumlahan Vertikal:**

```math
\begin{array}{rrrrr}
& 2x^3 & +7x^2 & +3x & +5 \\
+ & 6x^3 & +2x^2 & +4x & +1 \\
\hline
& 8x^3 & +9x^2 & +7x & +6
\end{array}
```

**Contoh Pengurangan Vertikal:**

```math
\begin{array}{rrrrr}
& 9x^3 & +4x^2 & +6x & +5 \\
- & 2x^3 & +3x^2 & +3x & +4 \\
\hline
& 7x^3 & +1x^2 & +3x & +1
\end{array}
```

Kedua metode (horizontal dan vertikal) akan menghasilkan jawaban yang sama. Pilihlah metode yang paling nyaman dan mudah dipahami.

## Penjumlahan dan Pengurangan Grafik Fungsi Polinomial

Selain melakukan operasi secara aljabar, kita juga bisa memahami penjumlahan dan pengurangan polinomial secara visual melalui grafiknya.

Misalkan kita memiliki tiga grafik fungsi polinomial:

Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x) = x + 1$$
  Visible text: Grafik
- description: Fungsi linear derajat $$1$$
  Visible text: Fungsi linear derajat
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: x + 1, z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
showPoints: false,
},
]

Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$g(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1$$
  Visible text: Grafik
- description: Fungsi derajat $$4$$
  Visible text: Fungsi derajat
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: 0.5 * x ** 4 - 2 * x ** 2 + 1, z: 0 };
}),
color: getColor("LIME"),
showPoints: false,
},
]

Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$h(x) = -0.5x^3 + 1.5x$$
  Visible text: Grafik
- description: Fungsi derajat $$3$$
  Visible text: Fungsi derajat
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: -0.5 * x ** 3 + 1.5 * x, z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
},
]

### Sketsa Grafik Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Tanpa perlu mengetahui persamaan pasti dari fungsi $$f$$, $$g$$, atau $$h$$, kita bisa mensketsa grafik hasil penjumlahannya (misal $$f(x) + g(x)$$) atau pengurangannya (misal $$f(x) - g(x)$$) dengan cara berikut:

Visible text: Tanpa perlu mengetahui persamaan pasti dari fungsi , , atau , kita bisa mensketsa grafik hasil penjumlahannya (misal ) atau pengurangannya (misal ) dengan cara berikut:

1.  Pilih beberapa nilai $$x$$ yang sama pada kedua grafik.
2.  Untuk setiap nilai $$x$$, baca nilai $$y$$ dari masing-masing grafik. Misalkan $$y_f = f(x)$$ dan $$y_g = g(x)$$.
3.  **Untuk penjumlahan ($$f(x) + g(x)$$):** Hitung nilai $$y_{\text{baru}} = y_f + y_g$$.
4.  **Untuk pengurangan ($$f(x) - g(x)$$):** Hitung nilai $$y_{\text{baru}} = y_f - y_g$$.
5.  Plot titik $$(x, y_{\text{baru}})$$.
6.  Ulangi untuk beberapa nilai $$x$$ lainnya.
7.  Hubungkan titik-titik baru tersebut dengan kurva mulus.

Visible text: 1. Pilih beberapa nilai yang sama pada kedua grafik.
2. Untuk setiap nilai , baca nilai dari masing-masing grafik. Misalkan dan .
3. **Untuk penjumlahan ():** Hitung nilai .
4. **Untuk pengurangan ():** Hitung nilai .
5. Plot titik .
6. Ulangi untuk beberapa nilai lainnya.
7. Hubungkan titik-titik baru tersebut dengan kurva mulus.

**Mengapa cara ini tepat?**

Karena definisi dari penjumlahan atau pengurangan fungsi adalah menjumlahkan atau mengurangkan nilai output ($$y$$) mereka untuk setiap nilai input ($$x$$) yang sama.

Visible text: Karena definisi dari penjumlahan atau pengurangan fungsi adalah menjumlahkan atau mengurangkan nilai output () mereka untuk setiap nilai input () yang sama.

### Contoh Sketsa Grafik

Berikut adalah contoh sketsa grafik hasil penjumlahan $$f(x) + g(x)$$ dan pengurangan $$f(x) - g(x)$$ yang didapat dengan metode penjumlahan/pengurangan nilai $$y$$ secara vertikal untuk setiap $$x$$.

Visible text: Berikut adalah contoh sketsa grafik hasil penjumlahan dan pengurangan yang didapat dengan metode penjumlahan/pengurangan nilai secara vertikal untuk setiap .

Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x) + g(x)$$,{" "}
$$f(x) = x + 1$$, dan{" "}
$$g(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1$$
  Visible text: Grafik ,{" "}
, dan{" "}
- description: Hasil dari penjumlahan $$f(x) + g(x)$$ adalah{" "}
$$x + 1 + 0.5x^4 - 2x^2 + 1$$
  Visible text: Hasil dari penjumlahan adalah{" "}
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: x + 1 + (0.5 * x ** 4 - 2 * x ** 2 + 1), z: 0 };
}),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
},
]

Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x) - g(x)$$,{" "}
$$f(x) = x + 1$$, dan{" "}
$$g(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1$$
  Visible text: Grafik ,{" "}
, dan{" "}
- description: Hasil dari pengurangan $$f(x) - g(x)$$ adalah{" "}
$$x + 1 - (0.5x^4 - 2x^2 + 1)$$
  Visible text: Hasil dari pengurangan adalah{" "}
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: x + 1 - (0.5 * x ** 4 - 2 * x ** 2 + 1), z: 0 };
}),
color: getColor("PINK"),
showPoints: false,
},
]

Dengan cara yang sama, kamu bisa mensketsa grafik $$f(x) + h(x), \space g(x) + h(x), \space f(x) - h(x), \space \text{dan} \space g(x) - h(x)$$. Intinya adalah menjumlahkan atau mengurangkan ketinggian (nilai $$y$$) dari grafik-grafik asli pada setiap nilai $$x$$ yang bersesuaian.

Visible text: Dengan cara yang sama, kamu bisa mensketsa grafik . Intinya adalah menjumlahkan atau mengurangkan ketinggian (nilai ) dari grafik-grafik asli pada setiap nilai yang bersesuaian.