Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial

Menggabungkan Suku Sejenis

Penjumlahan dan pengurangan polinomial hanya menggabungkan suku-suku yang sejenis, sama seperti pada bentuk aljabar lainnya. Dua suku disebut sejenis ketika variabel yang sama memiliki pangkat yang sama, dan penggabungannya hanya mengubah koefisiennya.

Suku Sejenis

Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat variabel yang sama persis. Koefisien dari suku-suku tersebut bisa berbeda.

Contoh Suku Sejenis:

• $3x, \space -7x, \space -\frac{1}{5}x$ (semua memiliki variabel $x$ pangkat $1$)
• $\frac{1}{2}x^3, \space 4x^3, \space -2x^3$ (semua memiliki variabel $x$ pangkat $3$)
• $2x^2yz^3, \space \frac{3}{4}x^2yz^3, \space -5z^3x^2y$ (semua memiliki variabel $x$ pangkat $2$, $y$ pangkat $1$, dan $z$ pangkat $3$)

Contoh Bukan Suku Sejenis:

• $11x$ dan $4x^2$ (pangkat $x$ berbeda)
• $4x^3$ dan $-2x^4$ (pangkat $x$ berbeda)
• $4x^2$ dan $-x^5$ (pangkat $x$ berbeda)
• $\frac{3}{4}x^2yz^3$ dan $2x^2y$ (tidak memiliki variabel $z^3$)
• $\frac{3}{4}x^2yz^3$ dan $-7xy^2z^3$ (pangkat $x$ dan $y$ berbeda)

Penjumlahan Polinomial

Untuk menjumlahkan dua polinomial, jumlahkan koefisien suku-suku yang sejenis dan pertahankan bagian variabelnya.

Metode Horizontal:

1. Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda tambah.
2. Hilangkan tanda kurung.
3. Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4. Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis (gunakan sifat distributif).

Contoh:

Tentukan hasil dari $(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)$.

Hilangkan tanda kurung:

Kelompokkan suku-suku sejenis:

Gunakan sifat distributif:

Hasilnya adalah:

Pengurangan Polinomial

Untuk mengurangkan dua polinomial, kita mengubah tanda setiap suku pada polinomial pengurang, lalu menjumlahkannya seperti biasa.

Metode Horizontal:

1. Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda kurang.
2. Hilangkan tanda kurung. Ingat: ubah tanda setiap suku dalam kurung kedua (distribusikan tanda negatif).
3. Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4. Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis.

Contoh:

Tentukan hasil dari $(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)$.

Ubah tanda setiap suku lalu hilangkan kurung:

Kelompokkan suku-suku sejenis:

Gunakan sifat distributif:

Hasilnya adalah:

Perhatikan saat mengurangkan, tanda negatif di depan kurung mengubah tanda setiap suku di dalam kurung tersebut.

Metode Vertikal atau Bersusun

Selain metode horizontal, penjumlahan dan pengurangan polinomial juga bisa dilakukan dengan metode vertikal atau bersusun, mirip seperti penjumlahan dan pengurangan bilangan biasa.

Langkah-langkah:

1. Susun kedua polinomial secara vertikal.
2. Pastikan suku-suku yang sejenis berada dalam satu kolom.
3. Jika ada suku yang tidak ada pada salah satu polinomial, berikan ruang kosong atau tulis koefisien $0$.
4. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada setiap kolom.

Contoh Penjumlahan Vertikal:

Contoh Pengurangan Vertikal:

Metode horizontal mengelompokkan suku sejenis di dalam setiap polinomial sebelum menggabungkannya. Metode vertikal menempatkan pangkat yang sama dalam satu kolom. Kedua metode menjumlahkan atau mengurangkan koefisien yang sama, sehingga menghasilkan polinomial yang sama.

Penjumlahan dan Pengurangan Grafik Fungsi Polinomial

Selain melakukan operasi secara aljabar, kita juga bisa memahami penjumlahan dan pengurangan polinomial secara visual melalui grafiknya.

Misalkan kita memiliki tiga grafik fungsi polinomial:

Sketsa Grafik Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Tanpa perlu mengetahui persamaan pasti dari fungsi $f$, $g$, atau $h$, kita bisa mensketsa grafik hasil penjumlahannya (misal $f(x) + g(x)$) atau pengurangannya (misal $f(x) - g(x)$) dengan cara berikut:

1. Pilih beberapa nilai $x$ yang sama pada kedua grafik.
2. Untuk setiap nilai $x$, baca nilai $y$ dari masing-masing grafik. Misalkan $y_f = f(x)$ dan $y_g = g(x)$.
3. Untuk penjumlahan ($f(x) + g(x)$): Hitung nilai $y_{\text{baru}} = y_f + y_g$.
4. Untuk pengurangan ($f(x) - g(x)$): Hitung nilai $y_{\text{baru}} = y_f - y_g$.
5. Plot titik $(x, y_{\text{baru}})$.
6. Ulangi untuk beberapa nilai $x$ lainnya.
7. Hubungkan titik-titik baru tersebut dengan kurva mulus.

Mengapa cara ini tepat?

Karena definisi dari penjumlahan atau pengurangan fungsi adalah menjumlahkan atau mengurangkan nilai output ($y$) mereka untuk setiap nilai input ($x$) yang sama.

Contoh Sketsa Grafik

Berikut adalah contoh sketsa grafik hasil penjumlahan $f(x) + g(x)$ dan pengurangan $f(x) - g(x)$ yang didapat dengan metode penjumlahan/pengurangan nilai $y$ secara vertikal untuk setiap $x$.

Grafik $f(x) + h(x), \space g(x) + h(x), \space f(x) - h(x), \space \text{dan} \space g(x) - h(x)$ mengikuti aturan yang sama. Pada setiap nilai $x$, jumlahkan atau kurangkan nilai $y$ yang bersesuaian dari grafik asal.

Latihan

Diberikan

Tentukan $A(x)+B(x)$ dan $A(x)-B(x)$.

Pembahasan

Untuk penjumlahan, gabungkan koefisien dari suku-suku yang berpangkat sama:

Untuk pengurangan, distribusikan tanda negatif ke setiap suku dalam $B(x)$ sebelum menggabungkan suku sejenis: