# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/polinomial/teorema-sisa
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/polynomial/remainder-theorem/id.mdx

Temukan cara cepat menghitung sisa pembagian polinomial tanpa pembagian panjang. Pelajari Teorema Sisa dengan contoh dan pembuktian yang jelas.

---

## Memahami Teorema Sisa

Pernahkah kamu berpikir, adakah cara cepat untuk mengetahui sisa pembagian suatu polinomial tanpa perlu melakukan pembagian bersusun atau metode Horner yang panjang? Jawabannya ada pada **Teorema Sisa**!

Teorema Sisa memberikan hubungan menarik antara sisa pembagian polinomial dengan nilai polinomial itu sendiri.

### Pernyataan Teorema Sisa

Jika suatu polinomial $$P(x)$$ dibagi oleh $$(x - c)$$, maka sisa pembagiannya adalah $$S = P(c)$$.

Visible text: Jika suatu polinomial dibagi oleh , maka sisa pembagiannya adalah .

Artinya, untuk mencari sisa pembagian $$P(x)$$ oleh $$(x - c)$$, kita cukup menghitung nilai $$P(x)$$ ketika $$x = c$$.

Visible text: Artinya, untuk mencari sisa pembagian oleh , kita cukup menghitung nilai ketika .

### Mengapa Teorema Sisa Berlaku?

Teorema ini berasal langsung dari algoritma pembagian polinomial yang sudah kita kenal:

```math
P(x) = (x - c) \cdot H(x) + S
```

Di mana:

- $$P(x)$$ adalah polinomial yang dibagi.
- $$(x - c)$$ adalah polinomial pembagi (berderajat $$1$$).
- $$H(x)$$ adalah hasil bagi.
- $$S$$ adalah sisa pembagian (berupa konstanta, karena pembagi berderajat $$1$$).

Visible text: - adalah polinomial yang dibagi.
- adalah polinomial pembagi (berderajat ).
- adalah hasil bagi.
- adalah sisa pembagian (berupa konstanta, karena pembagi berderajat ).

Sekarang, coba kita substitusikan $$x = c$$ ke dalam persamaan algoritma pembagian tersebut:

Visible text: Sekarang, coba kita substitusikan ke dalam persamaan algoritma pembagian tersebut:

Component: MathContainer
Children:

```math
P(c) = (c - c) \cdot H(c) + S
```

```math
P(c) = (0) \cdot H(c) + S
```

```math
P(c) = 0 + S
```

```math
P(c) = S
```

Terbukti bahwa nilai polinomial $$P(x)$$ saat $$x = c$$ sama dengan sisa $$S$$ ketika $$P(x)$$ dibagi oleh $$(x - c)$$.

Visible text: Terbukti bahwa nilai polinomial saat sama dengan sisa ketika dibagi oleh .

## Menghitung Teorema Sisa

Teorema Sisa sangat berguna untuk menentukan sisa pembagian secara cepat atau untuk menghitung nilai suatu polinomial pada titik tertentu.

Tentukan sisa pembagian jika $$P(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 9x^2 - 10$$ dibagi oleh $$x + 4$$.

Visible text: Tentukan sisa pembagian jika dibagi oleh .

### Menggunakan Metode Horner

Pembagi adalah $$x + 4$$, atau $$x - (-4)$$, jadi $$c = -4$$.

Visible text: Pembagi adalah , atau , jadi .

Koefisien $$P(x)$$ (lengkapi suku $$x$$): $$2, 5, -10, 9, 0, -10$$.

Visible text: Koefisien (lengkapi suku ): .

```math
\begin{array}{c|cccccc}
-4 & 2 & 5 & -10 & 9 & 0 & -10 \\
&   & -8 & 12 & -8 & -4 & 16 \\
\hline
& 2 & -3 & 2 & 1 & -4 & \boxed{6} \\
\end{array}
```

Dari metode Horner, kita dapatkan:

- Hasil Bagi: $$H(x) = 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 4$$
- Sisa: $$S = \boxed{6}$$

Visible text: - Hasil Bagi: 
- Sisa:

### Menggunakan Teorema Sisa

Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian $$P(x)$$ oleh $$x - (-4)$$ adalah $$P(-4)$$.

Visible text: Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian oleh adalah .

Mari kita hitung $$P(-4)$$:

Visible text: Mari kita hitung :

Component: MathContainer
Children:

```math
P(-4) = 2(-4)^5 + 5(-4)^4 - 10(-4)^3 + 9(-4)^2 - 10
```

```math
P(-4) = 2(-1024) + 5(256) - 10(-64) + 9(16) - 10
```

```math
P(-4) = -2048 + 1280 + 640 + 144 - 10
```

```math
P(-4) = -2048 + 1920 + 144 - 10
```

```math
P(-4) = -128 + 144 - 10
```

```math
P(-4) = 16 - 10
```

```math
P(-4) = 6
```

Hasilnya sama! Dengan Teorema Sisa, kita menemukan bahwa sisanya adalah $$6$$, sama seperti hasil dari metode Horner, tetapi tanpa perlu melakukan proses pembagian lengkap.

Visible text: Hasilnya sama! Dengan Teorema Sisa, kita menemukan bahwa sisanya adalah , sama seperti hasil dari metode Horner, tetapi tanpa perlu melakukan proses pembagian lengkap.

Ini menunjukkan bahwa menghitung $$P(c)$$ adalah cara lain untuk menemukan sisa pembagian oleh $$(x-c)$$.

Visible text: Ini menunjukkan bahwa menghitung adalah cara lain untuk menemukan sisa pembagian oleh .

## Latihan

Jika $$P(x) = 3x^5 - 20x^4 - 6x^3 - 48x - 8$$ dibagi dengan $$x - 7$$, tentukan sisanya menggunakan Teorema Sisa.

Visible text: Jika dibagi dengan , tentukan sisanya menggunakan Teorema Sisa.

### Kunci Jawaban

Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian $$P(x)$$ oleh $$x - 7$$ adalah $$P(7)$$.

Visible text: Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian oleh adalah .

Component: MathContainer
Children:

```math
P(7) = 3(7)^5 - 20(7)^4 - 6(7)^3 - 48(7) - 8
```

```math
P(7) = 3(16807) - 20(2401) - 6(343) - 336 - 8
```

```math
P(7) = 50421 - 48020 - 2058 - 336 - 8
```

```math
P(7) = 2401 - 2058 - 336 - 8
```

```math
P(7) = 343 - 336 - 8
```

```math
P(7) = 7 - 8
```

```math
P(7) = -1
```

Jadi, sisa pembagiannya adalah $$-1$$.

Visible text: Jadi, sisa pembagiannya adalah .