Varian dan Simpangan Baku Data Kelompok

Menghitung Sebaran Data Kelompok

Tabel frekuensi kelompok menunjukkan berapa banyak durasi baterai ponsel yang masuk ke interval seperti $6\text{-}10 \text{ jam}$ dan $11\text{-}15 \text{ jam}$ . Dari tabel tersebut, kita ingin mengukur seberapa besar perbedaan durasi baterai antarponsel.

Tabel itu tidak lagi menyimpan setiap pengamatan secara tepat. Dalam kelas $11\text{-}15 \text{ jam}$ , misalnya, kita tidak tahu apakah suatu baterai bertahan $11 \text{ jam}$ , $12 \text{ jam}$ , atau nilai lain dalam interval tersebut.

Untuk memperkirakan sebarannya, setiap pengamatan dalam satu kelas diwakili oleh nilai tengah kelas $x_i$ . Ini merupakan pendekatan pemodelan, sehingga hasilnya memperkirakan varian dan simpangan baku yang akan diperoleh dari data tunggal.

Rumus Varian dan Simpangan Baku Data Kelompok

Setiap nilai tengah $x_i$ diberi bobot sesuai frekuensi kelasnya $f$ . Rumus berikut menganggap tabel sebagai populasi lengkap. Data sampel memerlukan rumus varian sampel yang sesuai.

Varian ( $\sigma^2$ )

Rumus komputasi berikut disesuaikan untuk data kelompok:

$\sigma^2 = \frac{\sum (f \cdot x_i^2)}{\sum f} - \left( \frac{\sum (f \cdot x_i)}{\sum f} \right)^2$

Suku pertama adalah mean kuadrat nilai tengah yang dibobot frekuensi. Suku kedua adalah kuadrat mean yang dibobot frekuensi. Selisih keduanya merupakan perkiraan varian populasi.
Simpangan Baku ( $\sigma$ )

Seperti pada data tunggal, simpangan baku adalah akar kuadrat varian:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Menghitung Varian dan Simpangan Baku Durasi Baterai Ponsel

Misalkan sebuah penelitian mencatat durasi baterai ponsel dalam interval berikut:

Durasi baterai (jam)	Frekuensi ( $f$ )
$6\text{-}10$	$2$
$11\text{-}15$	$10$
$16\text{-}20$	$18$
$21\text{-}25$	$45$
$26\text{-}30$	$5$

Kita akan memperkirakan varian dan simpangan baku populasi dari durasi tersebut.

Buat Tabel Bantu

Untuk setiap kelas, hitung nilai tengah $x_i$ , lalu hitung $f \cdot x_i$ dan $f \cdot x_i^2$ .

Durasi baterai (jam)	Nilai tengah, $x_i$	Frekuensi, $f$	$f \cdot x_i$	$f \cdot x_i^2$
$6\text{-}10$	$\frac{6+10}{2}=8$	$2$	$2 \times 8 = 16$	$2 \times 8^2 = 128$
$11\text{-}15$	$\frac{11+15}{2}=13$	$10$	$10 \times 13 = 130$	$10 \times 13^2 = 1690$
$16\text{-}20$	$\frac{16+20}{2}=18$	$18$	$18 \times 18 = 324$	$18 \times 18^2 = 5832$
$21\text{-}25$	$\frac{21+25}{2}=23$	$45$	$45 \times 23 = 1035$	$45 \times 23^2 = 23805$
$26\text{-}30$	$\frac{26+30}{2}=28$	$5$	$5 \times 28 = 140$	$5 \times 28^2 = 3920$
Jumlah		$\sum f = 80$	$\sum fx_i = 1645$	$\sum fx_i^2 = 35375$

Hitung Varian

Masukkan nilai-nilai total dari tabel ke dalam rumus varian:

\sigma^2 = \frac{\sum (f \cdot x_i^2)}{\sum f} - \left( \frac{\sum (f \cdot x_i)}{\sum f} \right)^2

Perkiraan variannya adalah $19{,}37$ jam kuadrat. Satuan varian dikuadratkan karena setiap jarak dari mean dikuadratkan sebelum dirata-ratakan.

Hitung Simpangan Baku

Ambil akar kuadrat dari varian:

\sigma = \sqrt{19{,}37} \approx 4{,}4

Perkiraan simpangan bakunya adalah $4{,}4 \text{ jam}$ . Nilai tersebut adalah akar rata-rata kuadrat jarak setiap nilai tengah kelas dari perkiraan mean $\frac{1645}{80} \approx 20{,}56 \text{ jam}$ .

Untuk data dengan satuan dan skala yang sebanding, simpangan baku yang lebih kecil menunjukkan bahwa nilainya mengelompok lebih rapat di sekitar mean.