Varian dan Simpangan Baku Data Tunggal

Mengukur Sebaran dengan Varian dan Simpangan Baku

Dua ukuran sebaran yang umum digunakan adalah varian (atau ragam) dan simpangan baku (atau deviasi standar).

Varian merata-ratakan kuadrat jarak setiap data dari mean. Simpangan baku mengambil akar kuadrat dari hasil tersebut, sehingga satuannya kembali sama dengan satuan data.

• Varian atau simpangan baku yang kecil berarti data mengelompok dekat dengan mean.
• Nilai yang besar berarti data tersebar lebih jauh dari mean.

Rumus Varian dan Simpangan Baku

1. Varian ($\sigma^2$)

   Kurangi setiap data dengan mean, kuadratkan setiap selisihnya, lalu hitung rata-rata dari kuadrat selisih tersebut.

   Rumusnya:

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$$

   dengan:

   • $\sigma^2$ = varian populasi
   • $x_i$ = nilai pengamatan
   • $\bar{x}$ = mean aritmetika
   • $n$ = banyaknya pengamatan
   • $\sum$ = jumlah seluruh suku yang ditunjukkan

2. Simpangan Baku ($\sigma$)

   Simpangan baku adalah akar kuadrat varian. Berbeda dari varian, satuannya sama dengan satuan data asli.

   Rumusnya:

   $$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$$

Rumus ini menggunakan simbol populasi dan membagi dengan banyaknya data secara penuh. Untuk sampel, gunakan rumus varian sampel yang sesuai.

Membandingkan Varian Umur Dua Kelompok

Perhatikan dua kelompok data umur berikut. Keduanya memiliki mean ($\bar{x}$) yang sama, yaitu $16$, tetapi sebarannya sangat berbeda.

• Kelompok Pertama ($n=12$): $13$, $14$, $15$, $15$, $16$, $16$, $17$, $17$, $17$, $17$, $17$, $18$
• Kelompok Kedua ($n=12$): $1$, $3$, $4$, $5$, $7$, $8$, $12$, $27$, $28$, $29$, $32$, $36$

Kita akan menghitung varian dan simpangan baku populasi setiap kelompok.

Perhitungan Kelompok Satu

Hitung $(x_i - \bar{x})^2$ untuk setiap data di Kelompok 1, dengan $\bar{x}=16$:

• $(13-16)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(14-16)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(15-16)^2 = (-1)^2 = 1$ (ada $2 \text{ data}$)
• $(16-16)^2 = (0)^2 = 0$ (ada $2 \text{ data}$)
• $(17-16)^2 = (1)^2 = 1$ (ada $5 \text{ data}$)
• $(18-16)^2 = (2)^2 = 4$

Jumlahkan kuadrat selisih $\sum(x_i - \bar{x})^2$:

Hitung variannya:

Hitung simpangan bakunya:

Perhitungan Kelompok Dua

Ulangi perhitungan $(x_i - \bar{x})^2$ untuk Kelompok 2, masih dengan $\bar{x}=16$:

• $(1-16)^2 = (-15)^2 = 225$
• $(3-16)^2 = (-13)^2 = 169$
• $(4-16)^2 = (-12)^2 = 144$
• $(5-16)^2 = (-11)^2 = 121$
• $(7-16)^2 = (-9)^2 = 81$
• $(8-16)^2 = (-8)^2 = 64$
• $(12-16)^2 = (-4)^2 = 16$
• $(27-16)^2 = (11)^2 = 121$
• $(28-16)^2 = (12)^2 = 144$
• $(29-16)^2 = (13)^2 = 169$
• $(32-16)^2 = (16)^2 = 256$
• $(36-16)^2 = (20)^2 = 400$

Jumlahkan kuadrat selisih $\sum(x_i - \bar{x})^2$:

Hitung variannya:

Hitung simpangan bakunya:

Arti Hasil

• Varian Kelompok 1 ($\sigma^2 = 2$) jauh lebih kecil daripada varian Kelompok 2 ($\sigma^2 \approx 159{,}17$).
• Simpangan baku Kelompok 1 ($\sigma \approx 1{,}41$) juga jauh lebih kecil daripada simpangan baku Kelompok 2 ($\sigma \approx 12{,}62$).

Data pada Kelompok 1 mengelompok rapat di sekitar mean $16$. Data pada Kelompok 2 tersebar jauh lebih lebar di sekitar mean yang sama, yaitu $16$.

Rumus Alternatif untuk Varian

Rumus setara berikut memakai dua jumlah, yaitu $\sum x_i$ dan $\sum x_i^2$, yang dapat langsung dikumpulkan oleh kalkulator atau program:

Pertama, rata-ratakan kuadrat data $\sum x_i^2$ dengan membagi jumlahnya oleh $n$. Setelah itu, kurangi dengan kuadrat mean $(\bar{x})^2 = (\frac{\sum x_i}{n})^2$.

Gunakan rumus ini untuk menghitung ulang varian Kelompok 1:

1. Hitung $\sum x_i^2$ untuk Kelompok 1:

   $$13^2 + 14^2 + 15^2 + 15^2 + 16^2 + 16^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 18^2$$

   $$\begin{aligned} &= 169 + 196 + 225 + 225 + 256 + 256 + 289 + 289 + 289 + 289 + 289 + 324 \\ &= 3096\end{aligned}$$

2. Hitung $\sum x_i$ untuk Kelompok 1:

   $$13 + 14 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 18$$

   $$= 192$$

   Kita juga tahu $n=12$.

3. Masukkan ke rumus alternatif:

   $$\sigma^2 = \frac{3096}{12} - \left( \frac{192}{12} \right)^2$$

   $$\sigma^2 = 258 - (16)^2$$

   $$\sigma^2 = 258 - 256 = 2$$

Hasilnya sama persis dengan cara pertama: $\sigma^2 = 2$.