# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-fungsi/dilatasi-horizontal
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-transformation/horizontal-dilation/id.mdx

Pahami dilatasi horizontal pada fungsi dengan contoh jelas. Pelajari cara meregangkan atau menekan grafik horizontal dan terapkan pada berbagai fungsi.

---

## Konsep Dasar Dilatasi Horizontal

Dilatasi horizontal adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran grafik fungsi secara horizontal, seperti menarik atau menekan karet gelang ke kiri dan ke kanan. Bayangkan memegang foto dengan kedua tangan di sisi kiri dan kanan, lalu meregangkan atau menekannya secara horizontal tanpa mengubah tinggi foto tersebut.

Jika kita memiliki fungsi $$f(x)$$, maka dilatasi horizontal menghasilkan fungsi baru $$g(x) = f(kx)$$ dimana $$k$$ adalah faktor skala yang menentukan seberapa besar perubahan ukuran horizontal.

Visible text: Jika kita memiliki fungsi , maka dilatasi horizontal menghasilkan fungsi baru dimana adalah faktor skala yang menentukan seberapa besar perubahan ukuran horizontal.

### Aturan Dilatasi Horizontal

Untuk setiap fungsi $$f(x)$$, dilatasi horizontal didefinisikan sebagai:

Visible text: Untuk setiap fungsi , dilatasi horizontal didefinisikan sebagai:

```math
g(x) = f(kx)
```

Dimana $$k$$ adalah faktor skala yang mempengaruhi transformasi:

Visible text: Dimana adalah faktor skala yang mempengaruhi transformasi:

- Jika $$k > 1$$, grafik ditekan secara horizontal (diperkecil)
- Jika $$0 < k < 1$$, grafik diregangkan secara horizontal (diperbesar)
- Jika $$k = 1$$, grafik tidak berubah
- Jika $$k < 0$$, grafik mengalami refleksi sekaligus dilatasi

Visible text: - Jika , grafik ditekan secara horizontal (diperkecil)
- Jika , grafik diregangkan secara horizontal (diperbesar)
- Jika , grafik tidak berubah
- Jika , grafik mengalami refleksi sekaligus dilatasi

Perhatikan bahwa efek dilatasi horizontal berlawanan dengan intuisi: faktor skala yang lebih besar justru menekan grafik.

## Visualisasi Dilatasi Horizontal

Mari kita lihat bagaimana dilatasi horizontal bekerja pada fungsi kuadrat $$f(x) = x^2$$ dengan berbagai faktor skala.

Visible text: Mari kita lihat bagaimana dilatasi horizontal bekerja pada fungsi kuadrat dengan berbagai faktor skala.

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Horizontal Fungsi Kuadrat $$f(x) = x^2$$
  Visible text: Dilatasi Horizontal Fungsi Kuadrat
- description: Perhatikan bagaimana grafik ditekan atau diregangkan secara horizontal dengan faktor skala yang berbeda.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
labels: [{ text: "f(x) = x²", offset: [4, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (2 * x) * (2 * x), z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
labels: [{ text: "g(x) = (2x)²", offset: [4, 3, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (0.5 * x) * (0.5 * x), z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "h(x) = (0.5x)²", offset: [4, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Dari visualisasi di atas, kita dapat mengamati:

- Fungsi asli $$f(x) = x^2$$ sebagai referensi
- Fungsi $$g(x) = (2x)^2$$ ditekan horizontal dengan faktor $$2$$
- Fungsi $$h(x) = (0.5x)^2$$ diregangkan horizontal dengan faktor $$0.5$$
- Semua grafik memiliki titik puncak yang sama di $$(0, 0)$$

Visible text: - Fungsi asli sebagai referensi
- Fungsi ditekan horizontal dengan faktor 
- Fungsi diregangkan horizontal dengan faktor 
- Semua grafik memiliki titik puncak yang sama di

## Dilatasi Horizontal pada Fungsi Linear

Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi linear $$f(x) = x + 2$$.

Visible text: Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi linear .

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Horizontal Fungsi Linear $$f(x) = x + 2$$
  Visible text: Dilatasi Horizontal Fungsi Linear
- description: Garis hasil dilatasi memiliki kemiringan yang berubah sesuai faktor skala.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: x + 2, z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
labels: [{ text: "f(x) = x + 2", offset: [2, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: (2 * x) + 2, z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
labels: [{ text: "g(x) = 2x + 2", offset: [1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: (0.5 * x) + 2, z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "h(x) = 0.5x + 2", offset: [3, -0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Perhatikan bahwa:

- Fungsi asli $$f(x) = x + 2$$ memiliki kemiringan $$1$$
- Fungsi $$g(x) = f(2x) = 2x + 2$$ memiliki kemiringan $$2$$ (ditekan horizontal)
- Fungsi $$h(x) = f(0.5x) = 0.5x + 2$$ memiliki kemiringan $$0.5$$ (diregangkan horizontal)
- Semua garis memotong sumbu $$y$$ di titik yang sama $$(0, 2)$$

Visible text: - Fungsi asli memiliki kemiringan 
- Fungsi memiliki kemiringan (ditekan horizontal)
- Fungsi memiliki kemiringan (diregangkan horizontal)
- Semua garis memotong sumbu di titik yang sama

## Sifat Penting Dilatasi Horizontal

### Pengaruh pada Koordinat Titik

Jika titik $$(a, b)$$ berada pada grafik $$f(x)$$, maka titik yang bersesuaian pada grafik $$f(kx)$$ adalah $$(\frac{a}{k}, b)$$.

Visible text: Jika titik berada pada grafik , maka titik yang bersesuaian pada grafik adalah .

### Domain dan Range

- **Domain**: Berubah sesuai dengan faktor skala $$k$$
- **Range**: Tidak berubah setelah dilatasi horizontal

Visible text: - **Domain**: Berubah sesuai dengan faktor skala 
- **Range**: Tidak berubah setelah dilatasi horizontal

Jika domain fungsi asli adalah $$[c, d]$$, maka domain setelah dilatasi horizontal dengan faktor $$k > 0$$ menjadi $$[\frac{c}{k}, \frac{d}{k}]$$.

Visible text: Jika domain fungsi asli adalah , maka domain setelah dilatasi horizontal dengan faktor menjadi .

### Titik Potong Sumbu

- **Titik potong sumbu $$x$$**: Berubah sesuai faktor skala
- **Titik potong sumbu $$y$$**: Tidak berubah

Visible text: - **Titik potong sumbu **: Berubah sesuai faktor skala
- **Titik potong sumbu **: Tidak berubah

## Contoh Penerapan

### Fungsi Eksponensial

Mari kita lihat dilatasi horizontal pada fungsi eksponensial $$f(x) = 2^x$$.

Visible text: Mari kita lihat dilatasi horizontal pada fungsi eksponensial .

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Horizontal Fungsi Eksponensial $$f(x) = 2^x$$
  Visible text: Dilatasi Horizontal Fungsi Eksponensial
- description: Kurva eksponensial mengalami perubahan lebar sesuai faktor skala.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [8, 6, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: getColor("INDIGO"),
labels: [{ text: "f(x) = 2^x", offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, 2 * x), z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels: [{ text: "g(x) = 2^(2x)", offset: [1, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Pada fungsi eksponensial:

- Asimtot horizontal tetap di $$y = 0$$ untuk kedua fungsi
- Titik potong dengan sumbu $$y$$ tetap sama di $$(0, 1)$$
- Laju pertumbuhan fungsi berubah sesuai faktor skala

Visible text: - Asimtot horizontal tetap di untuk kedua fungsi
- Titik potong dengan sumbu tetap sama di 
- Laju pertumbuhan fungsi berubah sesuai faktor skala

## Dilatasi Horizontal dengan Faktor Negatif

Mari kita lihat apa yang terjadi ketika faktor skala bernilai negatif.

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Horizontal dengan Faktor Negatif $$f(x) = x^2 + 1$$
  Visible text: Dilatasi Horizontal dengan Faktor Negatif
- description: Faktor skala negatif menyebabkan refleksi sekaligus dilatasi.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x + 1, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
labels: [{ text: "f(x) = x² + 1", offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (-2 * x) * (-2 * x) + 1, z: 0 };
}),
color: getColor("PINK"),
labels: [{ text: "g(x) = (-2x)² + 1", offset: [3, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Ketika faktor skala negatif:

- Grafik mengalami refleksi terhadap sumbu $$y$$
- Sekaligus mengalami dilatasi sesuai nilai absolut faktor skala
- Bentuk grafik tetap sama karena fungsi kuadrat simetris

Visible text: - Grafik mengalami refleksi terhadap sumbu 
- Sekaligus mengalami dilatasi sesuai nilai absolut faktor skala
- Bentuk grafik tetap sama karena fungsi kuadrat simetris

## Latihan

1. Diberikan fungsi $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$. Tentukan persamaan fungsi hasil dilatasi horizontal dengan faktor skala $$3$$.

2. Jika grafik fungsi $$g(x) = \sqrt{x}$$ mengalami dilatasi horizontal dengan faktor $$\frac{1}{2}$$, tentukan:
   - Persamaan fungsi hasil dilatasi
   - Domain fungsi setelah dilatasi

3. Fungsi $$h(x) = |x - 2|$$ mengalami dilatasi horizontal dengan faktor $$-1$$. Tentukan titik puncak dari fungsi hasil dilatasi.

Visible text: 1. Diberikan fungsi . Tentukan persamaan fungsi hasil dilatasi horizontal dengan faktor skala .

2. Jika grafik fungsi mengalami dilatasi horizontal dengan faktor , tentukan:
 - Persamaan fungsi hasil dilatasi
 - Domain fungsi setelah dilatasi

3. Fungsi mengalami dilatasi horizontal dengan faktor . Tentukan titik puncak dari fungsi hasil dilatasi.

### Kunci Jawaban

1. Dilatasi horizontal dengan faktor $$3$$: <InlineMath math="f'(x) = f(3x) = (3x)^2 - 2(3x) + 1 = 9x^2 - 6x + 1" />

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$ dan Hasil Dilatasinya</>}
     description={
       <>
         Parabola asli ditekan horizontal dengan faktor $$3$${" "}
         menghasilkan parabola yang lebih sempit.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[12, 8, 12]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x - 2 * x + 1, z: 0 };
         }),
         color: getColor("PURPLE"),
         labels: [{ text: "f(x) = x² - 2x + 1", offset: [4, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: 9 * x * x - 6 * x + 1, z: 0 };
         }),
         color: getColor("ORANGE"),
         labels: [{ text: "f'(x) = 9x² - 6x + 1", offset: [3, 2, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

2. Persamaan fungsi hasil dilatasi:

   - Dilatasi horizontal: <InlineMath math="g'(x) = g(\frac{1}{2}x) = \sqrt{\frac{1}{2}x} = \sqrt{\frac{x}{2}}" />
   - Domain setelah dilatasi: $$[0, \infty)$$ menjadi $$[0, \infty)$$ (tidak berubah karena faktor skala positif)

   Visualisasi:

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$g(x) = \sqrt{x}$$ dan Hasil Dilatasinya</>}
     description={
       <>
         Kurva akar kuadrat diregangkan horizontal dengan faktor{" "}
         $$0{,}5$$ menghasilkan kurva yang lebih lebar.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
         }),
         color: getColor("VIOLET"),
         labels: [{ text: "g(x) = √x", offset: [2, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(0.5 * x), z: 0 };
         }),
         color: getColor("TEAL"),
         labels: [{ text: "g'(x) = √(x/2)", offset: [3, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

3. Fungsi asli $$h(x) = |x - 2|$$ memiliki titik puncak di $$(2, 0)$$.
   Setelah dilatasi horizontal dengan faktor $$-1$$: <InlineMath math="h'(x) = |-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|" />, titik puncak menjadi $$(-2, 0)$$.

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$h(x) = |x - 2|$$ dan Hasil Dilatasinya</>}
     description={<>Fungsi nilai mutlak mengalami refleksi dan dilatasi dengan faktor $$-1$$.</>}
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[10, 6, 10]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: Math.abs(x - 2), z: 0 };
         }),
         color: getColor("INDIGO"),
         labels: [{ text: "h(x) = |x - 2|", offset: [2.5, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: Math.abs(-x - 2), z: 0 };
         }),
         color: getColor("EMERALD"),
         labels: [{ text: "h'(x) = |-x - 2|", offset: [2.5, 2, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

Visible text: 1. Dilatasi horizontal dengan faktor : <InlineMath math="f'(x) = f(3x) = (3x)^2 - 2(3x) + 1 = 9x^2 - 6x + 1" />

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Dilatasinya</>}
 description={
 <>
 Parabola asli ditekan horizontal dengan faktor {" "}
 menghasilkan parabola yang lebih sempit.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[12, 8, 12]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x - 2 * x + 1, z: 0 };
 }),
 color: getColor("PURPLE"),
 labels: [{ text: "f(x) = x² - 2x + 1", offset: [4, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: 9 * x * x - 6 * x + 1, z: 0 };
 }),
 color: getColor("ORANGE"),
 labels: [{ text: "f'(x) = 9x² - 6x + 1", offset: [3, 2, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

2. Persamaan fungsi hasil dilatasi:

 - Dilatasi horizontal: <InlineMath math="g'(x) = g(\frac{1}{2}x) = \sqrt{\frac{1}{2}x} = \sqrt{\frac{x}{2}}" />
 - Domain setelah dilatasi: menjadi (tidak berubah karena faktor skala positif)

 Visualisasi:

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Dilatasinya</>}
 description={
 <>
 Kurva akar kuadrat diregangkan horizontal dengan faktor{" "}
 menghasilkan kurva yang lebih lebar.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
 }),
 color: getColor("VIOLET"),
 labels: [{ text: "g(x) = √x", offset: [2, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(0.5 * x), z: 0 };
 }),
 color: getColor("TEAL"),
 labels: [{ text: "g'(x) = √(x/2)", offset: [3, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

3. Fungsi asli memiliki titik puncak di .
 Setelah dilatasi horizontal dengan faktor : <InlineMath math="h'(x) = |-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|" />, titik puncak menjadi .

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Dilatasinya</>}
 description={<>Fungsi nilai mutlak mengalami refleksi dan dilatasi dengan faktor .</>}
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[10, 6, 10]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: Math.abs(x - 2), z: 0 };
 }),
 color: getColor("INDIGO"),
 labels: [{ text: "h(x) = |x - 2|", offset: [2.5, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: Math.abs(-x - 2), z: 0 };
 }),
 color: getColor("EMERALD"),
 labels: [{ text: "h'(x) = |-x - 2|", offset: [2.5, 2, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />