# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-fungsi/dilatasi-vertikal
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-transformation/vertical-dilation/id.mdx

Pelajari dilatasi vertikal fungsi dengan contoh jelas. Pelajari cara meregangkan atau menekan grafik vertikal menggunakan faktor skala dan terapkan transformasi.

---

## Konsep Dasar Dilatasi Vertikal

Dilatasi vertikal adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran grafik fungsi secara vertikal, seperti meregangkan atau menekan karet gelang ke atas dan ke bawah. Bayangkan menarik foto dengan kedua tangan, satu di atas dan satu di bawah, lalu meregangkan atau menekannya secara vertikal tanpa mengubah lebar foto tersebut.

Jika kita memiliki fungsi $$f(x)$$, maka dilatasi vertikal menghasilkan fungsi baru $$g(x) = k \cdot f(x)$$ dimana $$k$$ adalah faktor skala yang menentukan seberapa besar perubahan ukuran vertikal.

Visible text: Jika kita memiliki fungsi , maka dilatasi vertikal menghasilkan fungsi baru dimana adalah faktor skala yang menentukan seberapa besar perubahan ukuran vertikal.

### Aturan Dilatasi Vertikal

Untuk setiap fungsi $$f(x)$$, dilatasi vertikal didefinisikan sebagai:

Visible text: Untuk setiap fungsi , dilatasi vertikal didefinisikan sebagai:

```math
g(x) = k \cdot f(x)
```

Dimana $$k$$ adalah faktor skala yang mempengaruhi transformasi:

Visible text: Dimana adalah faktor skala yang mempengaruhi transformasi:

- Jika $$k > 1$$, grafik diregangkan secara vertikal (diperbesar)
- Jika $$0 < k < 1$$, grafik ditekan secara vertikal (diperkecil)
- Jika $$k = 1$$, grafik tidak berubah
- Jika $$k < 0$$, grafik mengalami refleksi sekaligus dilatasi

Visible text: - Jika , grafik diregangkan secara vertikal (diperbesar)
- Jika , grafik ditekan secara vertikal (diperkecil)
- Jika , grafik tidak berubah
- Jika , grafik mengalami refleksi sekaligus dilatasi

## Visualisasi Dilatasi Vertikal

Mari kita lihat bagaimana dilatasi vertikal bekerja pada fungsi kuadrat $$f(x) = x^2$$ dengan berbagai faktor skala.

Visible text: Mari kita lihat bagaimana dilatasi vertikal bekerja pada fungsi kuadrat dengan berbagai faktor skala.

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Vertikal Fungsi Kuadrat $$f(x) = x^2$$
  Visible text: Dilatasi Vertikal Fungsi Kuadrat
- description: Perhatikan bagaimana grafik diregangkan atau ditekan secara vertikal dengan faktor skala yang berbeda.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [12, 8, 12]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
labels: [{ text: "f(x) = x²", offset: [3.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: 2 * x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
labels: [{ text: "g(x) = 2x²", offset: [3.5, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: 0.5 * x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "h(x) = 0.5x²", offset: [3.5, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Dari visualisasi di atas, kita dapat mengamati:

- Fungsi asli $$f(x) = x^2$$ sebagai referensi
- Fungsi $$g(x) = 2x^2$$ diregangkan vertikal dengan faktor $$2$$
- Fungsi $$h(x) = 0.5x^2$$ ditekan vertikal dengan faktor $$0.5$$
- Semua grafik memiliki titik puncak yang sama di $$(0, 0)$$

Visible text: - Fungsi asli sebagai referensi
- Fungsi diregangkan vertikal dengan faktor 
- Fungsi ditekan vertikal dengan faktor 
- Semua grafik memiliki titik puncak yang sama di

## Dilatasi Vertikal pada Fungsi Linear

Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi linear $$f(x) = x + 1$$.

Visible text: Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi linear .

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Vertikal Fungsi Linear $$f(x) = x + 1$$
  Visible text: Dilatasi Vertikal Fungsi Linear
- description: Garis hasil dilatasi memiliki kemiringan yang berubah sesuai faktor skala.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: x + 1, z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
labels: [{ text: "f(x) = x + 1", offset: [2, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 3 * (x + 1), z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
labels: [{ text: "g(x) = 3(x + 1)", offset: [1, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 0.5 * (x + 1), z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "h(x) = 0.5(x + 1)", offset: [2, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Perhatikan bahwa:

- Fungsi asli $$f(x) = x + 1$$ memiliki kemiringan $$1$$
- Fungsi $$g(x) = 3(x + 1)$$ memiliki kemiringan $$3$$ (diregangkan)
- Fungsi $$h(x) = 0.5(x + 1)$$ memiliki kemiringan $$0.5$$ (ditekan)
- Semua garis masih memotong sumbu $$y$$, tetapi di titik yang berbeda

Visible text: - Fungsi asli memiliki kemiringan 
- Fungsi memiliki kemiringan (diregangkan)
- Fungsi memiliki kemiringan (ditekan)
- Semua garis masih memotong sumbu , tetapi di titik yang berbeda

## Sifat Penting Dilatasi Vertikal

### Pengaruh pada Koordinat Titik

Jika titik $$(a, b)$$ berada pada grafik $$f(x)$$, maka titik yang bersesuaian pada grafik $$k \cdot f(x)$$ adalah $$(a, k \cdot b)$$.

Visible text: Jika titik berada pada grafik , maka titik yang bersesuaian pada grafik adalah .

### Domain dan Range

- **Domain**: Tidak berubah setelah dilatasi vertikal
- **Range**: Berubah sesuai dengan faktor skala $$k$$

Visible text: - **Domain**: Tidak berubah setelah dilatasi vertikal
- **Range**: Berubah sesuai dengan faktor skala

Jika range fungsi asli adalah $$[c, d]$$, maka range setelah dilatasi vertikal dengan faktor $$k > 0$$ menjadi $$[k \cdot c, k \cdot d]$$.

Visible text: Jika range fungsi asli adalah , maka range setelah dilatasi vertikal dengan faktor menjadi .

### Titik Potong Sumbu

- **Titik potong sumbu $$x$$**: Tidak berubah (kecuali jika $$k = 0$$)
- **Titik potong sumbu $$y$$**: Berubah sesuai faktor skala

Visible text: - **Titik potong sumbu **: Tidak berubah (kecuali jika )
- **Titik potong sumbu **: Berubah sesuai faktor skala

## Contoh Penerapan

### Fungsi Eksponensial

Mari kita lihat dilatasi vertikal pada fungsi eksponensial $$f(x) = 2^x$$.

Visible text: Mari kita lihat dilatasi vertikal pada fungsi eksponensial .

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Vertikal Fungsi Eksponensial $$f(x) = 2^x$$
  Visible text: Dilatasi Vertikal Fungsi Eksponensial
- description: Kurva eksponensial mengalami perubahan tinggi sesuai faktor skala.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [8, 6, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: getColor("INDIGO"),
labels: [{ text: "f(x) = 2^x", offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: 2 * Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels: [{ text: "g(x) = 2 · 2^x", offset: [1, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Pada fungsi eksponensial:

- Asimtot horizontal tetap di $$y = 0$$ untuk kedua fungsi
- Titik potong dengan sumbu $$y$$ berubah dari $$(0, 1)$$ menjadi $$(0, 2)$$
- Laju pertumbuhan fungsi meningkat sesuai faktor skala

Visible text: - Asimtot horizontal tetap di untuk kedua fungsi
- Titik potong dengan sumbu berubah dari menjadi 
- Laju pertumbuhan fungsi meningkat sesuai faktor skala

## Dilatasi Vertikal dengan Faktor Negatif

Mari kita lihat apa yang terjadi ketika faktor skala bernilai negatif.

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Vertikal dengan Faktor Negatif $$f(x) = x^2$$
  Visible text: Dilatasi Vertikal dengan Faktor Negatif
- description: Faktor skala negatif menyebabkan refleksi sekaligus dilatasi.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
labels: [{ text: "f(x) = x²", offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: -2 * x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("PINK"),
labels: [{ text: "g(x) = -2x²", offset: [1, -2, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Ketika faktor skala negatif:

- Grafik mengalami refleksi terhadap sumbu $$x$$
- Sekaligus mengalami dilatasi sesuai nilai absolut faktor skala
- Parabola yang membuka ke atas menjadi membuka ke bawah

Visible text: - Grafik mengalami refleksi terhadap sumbu 
- Sekaligus mengalami dilatasi sesuai nilai absolut faktor skala
- Parabola yang membuka ke atas menjadi membuka ke bawah

## Latihan

1. Diberikan fungsi $$f(x) = x^2 - 4x + 3$$. Tentukan persamaan fungsi hasil dilatasi vertikal dengan faktor skala $$3$$.

2. Jika grafik fungsi $$g(x) = \sqrt{x}$$ mengalami dilatasi vertikal dengan faktor $$\frac{1}{2}$$, tentukan:
   - Persamaan fungsi hasil dilatasi
   - Range fungsi setelah dilatasi

3. Fungsi $$h(x) = |x - 1| + 2$$ mengalami dilatasi vertikal dengan faktor $$-1$$. Tentukan titik puncak dari fungsi hasil dilatasi.

Visible text: 1. Diberikan fungsi . Tentukan persamaan fungsi hasil dilatasi vertikal dengan faktor skala .

2. Jika grafik fungsi mengalami dilatasi vertikal dengan faktor , tentukan:
 - Persamaan fungsi hasil dilatasi
 - Range fungsi setelah dilatasi

3. Fungsi mengalami dilatasi vertikal dengan faktor . Tentukan titik puncak dari fungsi hasil dilatasi.

### Kunci Jawaban

1. Dilatasi vertikal dengan faktor $$3$$: <InlineMath math="f'(x) = 3f(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9" />

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$f(x) = x^2 - 4x + 3$$ dan Hasil Dilatasinya</>}
     description={
       <>
         Parabola asli diregangkan vertikal dengan faktor{" "}
         $$3$$ menghasilkan parabola yang lebih tinggi.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[12, 8, 12]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x - 4 * x + 3, z: 0 };
         }),
         color: getColor("PURPLE"),
         labels: [{ text: "f(x) = x² - 4x + 3", offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: 3 * (x * x - 4 * x + 3), z: 0 };
         }),
         color: getColor("ORANGE"),
         labels: [{ text: "f'(x) = 3x² - 12x + 9", offset: [1, -3, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

2. Persamaan fungsi hasil dilatasi:

   - Dilatasi vertikal: <InlineMath math="g'(x) = \frac{1}{2}g(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}" />
   - Range setelah dilatasi: $$[0, \infty)$$ menjadi $$[0, \infty)$$ tetapi dengan nilai maksimum yang lebih kecil

   Visualisasi:

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$g(x) = \sqrt{x}$$ dan Hasil Dilatasinya</>}
     description={
       <>
         Kurva akar kuadrat ditekan vertikal dengan faktor{" "}
         $$0{,}5$$ menghasilkan kurva yang lebih rendah.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[8, 6, 8]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
         }),
         color: getColor("VIOLET"),
         labels: [{ text: "g(x) = √x", offset: [2, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: 0.5 * Math.sqrt(x), z: 0 };
         }),
         color: getColor("TEAL"),
         labels: [{ text: "g'(x) = 0.5√x", offset: [2, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

3. Fungsi asli $$h(x) = |x - 1| + 2$$ memiliki titik puncak di $$(1, 2)$$.
   Setelah dilatasi vertikal dengan faktor $$-1$$: <InlineMath math="h'(x) = -1 \cdot (|x - 1| + 2) = -|x - 1| - 2" />, titik puncak menjadi $$(1, -2)$$.

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$h(x) = |x - 1| + 2$$ dan Hasil Dilatasinya</>}
     description={<>Fungsi nilai mutlak mengalami refleksi dan dilatasi dengan faktor $$-1$$.</>}
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[10, 6, 10]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: Math.abs(x - 1) + 2, z: 0 };
         }),
         color: getColor("INDIGO"),
         labels: [{ text: "h(x) = |x - 1| + 2", offset: [1, -1.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: -(Math.abs(x - 1) + 2), z: 0 };
         }),
         color: getColor("EMERALD"),
         labels: [{ text: "h'(x) = -|x - 1| - 2", offset: [1, 1.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

Visible text: 1. Dilatasi vertikal dengan faktor : <InlineMath math="f'(x) = 3f(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9" />

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Dilatasinya</>}
 description={
 <>
 Parabola asli diregangkan vertikal dengan faktor{" "}
 menghasilkan parabola yang lebih tinggi.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[12, 8, 12]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x - 4 * x + 3, z: 0 };
 }),
 color: getColor("PURPLE"),
 labels: [{ text: "f(x) = x² - 4x + 3", offset: [1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: 3 * (x * x - 4 * x + 3), z: 0 };
 }),
 color: getColor("ORANGE"),
 labels: [{ text: "f'(x) = 3x² - 12x + 9", offset: [1, -3, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

2. Persamaan fungsi hasil dilatasi:

 - Dilatasi vertikal: <InlineMath math="g'(x) = \frac{1}{2}g(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}" />
 - Range setelah dilatasi: menjadi tetapi dengan nilai maksimum yang lebih kecil

 Visualisasi:

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Dilatasinya</>}
 description={
 <>
 Kurva akar kuadrat ditekan vertikal dengan faktor{" "}
 menghasilkan kurva yang lebih rendah.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[8, 6, 8]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
 }),
 color: getColor("VIOLET"),
 labels: [{ text: "g(x) = √x", offset: [2, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: 0.5 * Math.sqrt(x), z: 0 };
 }),
 color: getColor("TEAL"),
 labels: [{ text: "g'(x) = 0.5√x", offset: [2, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

3. Fungsi asli memiliki titik puncak di .
 Setelah dilatasi vertikal dengan faktor : <InlineMath math="h'(x) = -1 \cdot (|x - 1| + 2) = -|x - 1| - 2" />, titik puncak menjadi .

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Dilatasinya</>}
 description={<>Fungsi nilai mutlak mengalami refleksi dan dilatasi dengan faktor .</>}
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[10, 6, 10]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: Math.abs(x - 1) + 2, z: 0 };
 }),
 color: getColor("INDIGO"),
 labels: [{ text: "h(x) = |x - 1| + 2", offset: [1, -1.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: -(Math.abs(x - 1) + 2), z: 0 };
 }),
 color: getColor("EMERALD"),
 labels: [{ text: "h'(x) = -|x - 1| - 2", offset: [1, 1.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />