# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-fungsi/refleksi-vertikal
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-transformation/vertical-reflection/id.mdx

Pelajari refleksi vertikal untuk membalik grafik fungsi terhadap sumbu x melalui contoh dan latihan soal.

---

## Konsep Dasar Refleksi Vertikal

Refleksi vertikal adalah transformasi geometri yang memantulkan grafik fungsi terhadap sumbu $$x$$, seperti melihat bayangan objek di permukaan air yang tenang. Bayangkan sebuah objek yang dipantulkan di cermin horizontal, bentuknya tetap sama tetapi posisinya terbalik secara vertikal.

Visible text: Refleksi vertikal adalah transformasi geometri yang memantulkan grafik fungsi terhadap sumbu , seperti melihat bayangan objek di permukaan air yang tenang. Bayangkan sebuah objek yang dipantulkan di cermin horizontal, bentuknya tetap sama tetapi posisinya terbalik secara vertikal.

Jika kita memiliki fungsi $$f(x)$$, maka refleksi vertikal menghasilkan fungsi baru $$g(x) = -f(x)$$ yang merupakan bayangan dari fungsi asli terhadap sumbu $$x$$.

Visible text: Jika kita memiliki fungsi , maka refleksi vertikal menghasilkan fungsi baru yang merupakan bayangan dari fungsi asli terhadap sumbu .

### Aturan Refleksi Vertikal

Untuk setiap fungsi $$f(x)$$, refleksi vertikal didefinisikan sebagai:

Visible text: Untuk setiap fungsi , refleksi vertikal didefinisikan sebagai:

```math
g(x) = -f(x)
```

Transformasi ini mengubah setiap titik $$(x, y)$$ pada grafik asli menjadi $$(x, -y)$$ pada grafik hasil refleksi.

Visible text: Transformasi ini mengubah setiap titik pada grafik asli menjadi pada grafik hasil refleksi.

## Visualisasi Refleksi Vertikal

Mari kita lihat bagaimana refleksi vertikal bekerja pada fungsi kuadrat $$f(x) = x^2$$.

Visible text: Mari kita lihat bagaimana refleksi vertikal bekerja pada fungsi kuadrat .

Component: LineEquation
Props:
- title: Refleksi Vertikal Fungsi Kuadrat $$f(x) = x^2$$
  Visible text: Refleksi Vertikal Fungsi Kuadrat
- description: Perhatikan bagaimana grafik terpantul terhadap sumbu $$x$$, membentuk bayangan yang terbalik.
  Visible text: Perhatikan bagaimana grafik terpantul terhadap sumbu , membentuk bayangan yang terbalik.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
labels: [{ text: "f(x) = x²", offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: -(x * x), z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
labels: [{ text: "g(x) = -x²", offset: [0.5, -1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Dari visualisasi di atas, kita dapat mengamati:

- Fungsi asli $$f(x) = x^2$$ membuka ke atas dengan titik puncak di $$(0, 0)$$
- Fungsi hasil refleksi $$g(x) = -x^2$$ membuka ke bawah dengan titik puncak tetap di $$(0, 0)$$
- Kedua grafik simetris terhadap sumbu $$x$$

Visible text: - Fungsi asli membuka ke atas dengan titik puncak di 
- Fungsi hasil refleksi membuka ke bawah dengan titik puncak tetap di 
- Kedua grafik simetris terhadap sumbu

## Refleksi Vertikal pada Fungsi Linear

Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi linear $$f(x) = 2x + 3$$.

Visible text: Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi linear .

Component: LineEquation
Props:
- title: Refleksi Vertikal Fungsi Linear $$f(x) = 2x + 3$$
  Visible text: Refleksi Vertikal Fungsi Linear
- description: Garis hasil refleksi memiliki kemiringan yang berlawanan dan titik potong y yang berlawanan.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [12, 6, 12]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: getColor("VIOLET"),
labels: [{ text: "f(x) = 2x + 3", offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: -(2 * x + 3), z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
labels: [{ text: "g(x) = -(2x + 3) = -2x - 3", offset: [1, -0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Perhatikan bahwa:

- Fungsi asli $$f(x) = 2x + 3$$ memiliki kemiringan positif dan memotong sumbu $$y$$ di $$(0, 3)$$
- Fungsi hasil refleksi $$g(x) = -2x - 3$$ memiliki kemiringan negatif dan memotong sumbu $$y$$ di $$(0, -3)$$
- Kedua garis berpotongan di sumbu $$x$$

Visible text: - Fungsi asli memiliki kemiringan positif dan memotong sumbu di 
- Fungsi hasil refleksi memiliki kemiringan negatif dan memotong sumbu di 
- Kedua garis berpotongan di sumbu

## Sifat Penting Refleksi Vertikal

### Sumbu Horizontal sebagai Sumbu Simetri

Refleksi vertikal menggunakan sumbu $$x$$ sebagai garis cermin. Setiap titik pada grafik asli memiliki jarak yang sama ke sumbu $$x$$ dengan titik yang bersesuaian pada grafik hasil refleksi.

Visible text: Refleksi vertikal menggunakan sumbu sebagai garis cermin. Setiap titik pada grafik asli memiliki jarak yang sama ke sumbu dengan titik yang bersesuaian pada grafik hasil refleksi.

### Pengaruh pada Titik Koordinat

Jika titik $$(a, b)$$ berada pada grafik $$f(x)$$, maka titik yang bersesuaian pada grafik $$-f(x)$$ adalah $$(a, -b)$$.

Visible text: Jika titik berada pada grafik , maka titik yang bersesuaian pada grafik adalah .

### Domain dan Range

- **Domain**: Tidak berubah setelah refleksi vertikal
- **Range**: Berubah menjadi kebalikan dari range asli

Jika range fungsi asli adalah $$[c, d]$$, maka range setelah refleksi vertikal menjadi $$[-d, -c]$$.

Visible text: Jika range fungsi asli adalah , maka range setelah refleksi vertikal menjadi .

## Contoh Penerapan

### Contoh Fungsi Eksponensial

Mari kita lihat refleksi vertikal pada fungsi eksponensial $$f(x) = 2^x$$.

Visible text: Mari kita lihat refleksi vertikal pada fungsi eksponensial .

Component: LineEquation
Props:
- title: Refleksi Vertikal Fungsi Eksponensial $$f(x) = 2^x$$
  Visible text: Refleksi Vertikal Fungsi Eksponensial
- description: Kurva eksponensial terpantul menjadi kurva yang menurun dengan asimtot horizontal di bawah sumbu $$x$$.
  Visible text: Kurva eksponensial terpantul menjadi kurva yang menurun dengan asimtot horizontal di bawah sumbu .
- showZAxis: false
- cameraPosition: [8, 6, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: getColor("INDIGO"),
labels: [{ text: "f(x) = 2^x", offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: -Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels: [{ text: "g(x) = -2^x", offset: [0.5, -1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Pada fungsi eksponensial:

- Asimtot horizontal tetap di $$y = 0$$ untuk kedua fungsi (karena sumbu $$x$$ terpantul pada dirinya sendiri)
- Titik potong dengan sumbu $$y$$ berubah dari $$(0, 1)$$ menjadi $$(0, -1)$$
- Fungsi yang semula naik menjadi turun

Visible text: - Asimtot horizontal tetap di untuk kedua fungsi (karena sumbu terpantul pada dirinya sendiri)
- Titik potong dengan sumbu berubah dari menjadi 
- Fungsi yang semula naik menjadi turun

## Refleksi Vertikal pada Fungsi Trigonometri

Mari kita lihat bagaimana refleksi vertikal mempengaruhi fungsi $$\sin$$.

Visible text: Mari kita lihat bagaimana refleksi vertikal mempengaruhi fungsi .

Component: LineEquation
Props:
- title: Refleksi Vertikal Fungsi Sinus $$f(x) = \sin(x)$$
  Visible text: Refleksi Vertikal Fungsi Sinus
- description: Gelombang $$\sin$$ terpantul menghasilkan gelombang yang bergerak berlawanan fase.
  Visible text: Gelombang terpantul menghasilkan gelombang yang bergerak berlawanan fase.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const x = (i - 30) * 0.2;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
labels: [{ text: "f(x) = sin(x)", offset: [1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const x = (i - 30) * 0.2;
return { x, y: -Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "g(x) = -sin(x)", offset: [1, -1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Perhatikan bahwa:

- Amplitudo tetap sama tetapi arah gelombang terbalik
- Periode dan frekuensi tidak berubah
- Titik maksimum menjadi titik minimum dan sebaliknya

## Latihan

1. Diberikan fungsi $$f(x) = x^2 + 4x + 3$$. Tentukan persamaan fungsi hasil refleksi vertikal.

2. Jika grafik fungsi $$g(x) = 3^x + 2$$ direfleksikan terhadap sumbu $$x$$, tentukan:
   - Persamaan fungsi hasil refleksi
   - Range fungsi setelah refleksi

3. Fungsi $$h(x) = \sqrt{x + 1}$$ mengalami refleksi vertikal. Tentukan titik potong dengan sumbu $$y$$ dari fungsi hasil refleksi.

Visible text: 1. Diberikan fungsi . Tentukan persamaan fungsi hasil refleksi vertikal.

2. Jika grafik fungsi direfleksikan terhadap sumbu , tentukan:
 - Persamaan fungsi hasil refleksi
 - Range fungsi setelah refleksi

3. Fungsi mengalami refleksi vertikal. Tentukan titik potong dengan sumbu dari fungsi hasil refleksi.

### Kunci Jawaban

1. Refleksi vertikal: <InlineMath math="f'(x) = -f(x) = -(x^2 + 4x + 3) = -x^2 - 4x - 3" />

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$f(x) = x^2 + 4x + 3$$ dan Hasil Refleksinya</>}
     description="Parabola asli yang membuka ke atas direfleksikan menjadi parabola yang membuka ke bawah."
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x + 4 * x + 3, z: 0 };
         }),
         color: getColor("PURPLE"),
         labels: [{ text: "f(x) = x² + 4x + 3", offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: -(x * x + 4 * x + 3), z: 0 };
         }),
         color: getColor("ORANGE"),
         labels: [{ text: "f'(x) = -x² - 4x - 3", offset: [1, -1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

2. Persamaan fungsi hasil refleksi:

   - Refleksi vertikal: <InlineMath math="g'(x) = -(3^x + 2) = -3^x - 2" />
   - Range setelah refleksi: Karena range asli $$g(x) = 3^x + 2$$ adalah $$(2, \infty)$$, maka range setelah refleksi adalah $$(-\infty, -2)$$

   Visualisasi:

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$g(x) = 3^x + 2$$ dan Hasil Refleksinya</>}
     description="Kurva eksponensial yang naik direfleksikan menjadi kurva yang turun dengan asimtot horizontal baru."
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[8, 6, 8]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
           const x = (i - 15) * 0.2;
           return { x, y: Math.pow(3, x) + 2, z: 0 };
         }),
         color: getColor("VIOLET"),
         labels: [{ text: "g(x) = 3^x + 2", offset: [0.5, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
           const x = (i - 15) * 0.2;
           return { x, y: -(Math.pow(3, x) + 2), z: 0 };
         }),
         color: getColor("TEAL"),
         labels: [{ text: "g'(x) = -3^x - 2", offset: [0.5, -1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

3. Fungsi asli $$h(x) = \sqrt{x + 1}$$ memiliki titik potong dengan sumbu $$y$$ di $$(0, 1)$$ karena $$h(0) = \sqrt{0 + 1} = 1$$.
   Setelah refleksi vertikal: <InlineMath math="h'(x) = -\sqrt{x + 1}" />, titik potong dengan sumbu $$y$$ menjadi $$(0, -1)$$.

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$h(x) = \sqrt{x + 1}$$ dan Hasil Refleksinya</>}
     description={<>Kurva akar kuadrat direfleksikan terhadap sumbu $$x$$ menghasilkan kurva yang membuka ke bawah.</>}
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x + 1), z: 0 };
         }),
         color: getColor("INDIGO"),
         labels: [{ text: "h(x) = √(x + 1)", offset: [1, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: -Math.sqrt(x + 1), z: 0 };
         }),
         color: getColor("EMERALD"),
         labels: [{ text: "h'(x) = -√(x + 1)", offset: [1, -0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

Visible text: 1. Refleksi vertikal: <InlineMath math="f'(x) = -f(x) = -(x^2 + 4x + 3) = -x^2 - 4x - 3" />

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Refleksinya</>}
 description="Parabola asli yang membuka ke atas direfleksikan menjadi parabola yang membuka ke bawah."
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x + 4 * x + 3, z: 0 };
 }),
 color: getColor("PURPLE"),
 labels: [{ text: "f(x) = x² + 4x + 3", offset: [1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: -(x * x + 4 * x + 3), z: 0 };
 }),
 color: getColor("ORANGE"),
 labels: [{ text: "f'(x) = -x² - 4x - 3", offset: [1, -1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

2. Persamaan fungsi hasil refleksi:

 - Refleksi vertikal: <InlineMath math="g'(x) = -(3^x + 2) = -3^x - 2" />
 - Range setelah refleksi: Karena range asli adalah , maka range setelah refleksi adalah 

 Visualisasi:

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Refleksinya</>}
 description="Kurva eksponensial yang naik direfleksikan menjadi kurva yang turun dengan asimtot horizontal baru."
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[8, 6, 8]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
 const x = (i - 15) * 0.2;
 return { x, y: Math.pow(3, x) + 2, z: 0 };
 }),
 color: getColor("VIOLET"),
 labels: [{ text: "g(x) = 3^x + 2", offset: [0.5, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
 const x = (i - 15) * 0.2;
 return { x, y: -(Math.pow(3, x) + 2), z: 0 };
 }),
 color: getColor("TEAL"),
 labels: [{ text: "g'(x) = -3^x - 2", offset: [0.5, -1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

3. Fungsi asli memiliki titik potong dengan sumbu di karena .
 Setelah refleksi vertikal: <InlineMath math="h'(x) = -\sqrt{x + 1}" />, titik potong dengan sumbu menjadi .

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Refleksinya</>}
 description={<>Kurva akar kuadrat direfleksikan terhadap sumbu menghasilkan kurva yang membuka ke bawah.</>}
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(x + 1), z: 0 };
 }),
 color: getColor("INDIGO"),
 labels: [{ text: "h(x) = √(x + 1)", offset: [1, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: -Math.sqrt(x + 1), z: 0 };
 }),
 color: getColor("EMERALD"),
 labels: [{ text: "h'(x) = -√(x + 1)", offset: [1, -0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />