# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-fungsi/translasi-vertikal
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-transformation/vertical-translation/id.mdx

Pelajari bagaimana translasi vertikal menggeser grafik fungsi ke atas atau ke bawah tanpa mengubah bentuknya.

---

## Konsep Dasar Translasi Vertikal

Translasi vertikal adalah transformasi geometri yang menggeser grafik fungsi ke atas atau ke bawah sepanjang sumbu $$y$$ tanpa mengubah bentuk grafik tersebut. Bayangkan seperti mengangkat atau menurunkan sebuah objek secara vertikal: bentuknya tetap sama, hanya posisinya yang berubah.

Visible text: Translasi vertikal adalah transformasi geometri yang menggeser grafik fungsi ke atas atau ke bawah sepanjang sumbu tanpa mengubah bentuk grafik tersebut. Bayangkan seperti mengangkat atau menurunkan sebuah objek secara vertikal: bentuknya tetap sama, hanya posisinya yang berubah.

Jika kita memiliki fungsi $$f(x)$$, maka translasi vertikal menghasilkan fungsi baru $$g(x) = f(x) + k$$ dimana $$k$$ adalah konstanta translasi.

Visible text: Jika kita memiliki fungsi , maka translasi vertikal menghasilkan fungsi baru dimana adalah konstanta translasi.

### Aturan Translasi Vertikal

Untuk setiap fungsi $$f(x)$$, translasi vertikal didefinisikan sebagai:

Visible text: Untuk setiap fungsi , translasi vertikal didefinisikan sebagai:

```math
g(x) = f(x) + k
```

Dimana:

- Jika $$k > 0$$, grafik bergeser ke **atas** sebesar $$k \text{ satuan}$$
- Jika $$k < 0$$, grafik bergeser ke **bawah** sebesar $$|k| \text{ satuan}$$
- Jika $$k = 0$$, tidak ada translasi (grafik tetap sama)

Visible text: - Jika , grafik bergeser ke **atas** sebesar 
- Jika , grafik bergeser ke **bawah** sebesar 
- Jika , tidak ada translasi (grafik tetap sama)

## Visualisasi Translasi Vertikal

Mari kita lihat bagaimana translasi vertikal bekerja pada fungsi linear $$f(x) = 2x$$.

Visible text: Mari kita lihat bagaimana translasi vertikal bekerja pada fungsi linear .

Component: LineEquation
Props:
- title: Translasi Vertikal Fungsi Linear $$f(x) = 2x$$
  Visible text: Translasi Vertikal Fungsi Linear
- description: Perhatikan bagaimana grafik bergeser vertikal tanpa mengubah kemiringan garis.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
labels: [{ text: "f(x) = 2x", offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
labels: [{ text: "g(x) = 2x + 3", offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x - 2, z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
labels: [{ text: "h(x) = 2x + (-2)", offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Dari visualisasi di atas, kita dapat mengamati:

- Fungsi asli $$f(x) = 2x$$ melewati titik asal
- Fungsi $$g(x) = 2x + 3$$ adalah hasil translasi ke atas $$3 \text{ satuan}$$
- Fungsi $$h(x) = 2x + (-2)$$ adalah hasil translasi ke bawah $$2 \text{ satuan}$$

Visible text: - Fungsi asli melewati titik asal
- Fungsi adalah hasil translasi ke atas 
- Fungsi adalah hasil translasi ke bawah

## Translasi Vertikal pada Fungsi Kuadrat

Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi kuadrat $$f(x) = x^2$$.

Visible text: Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi kuadrat .

Component: LineEquation
Props:
- title: Translasi Vertikal Fungsi Kuadrat $$f(x) = x^2$$
  Visible text: Translasi Vertikal Fungsi Kuadrat
- description: Bentuk parabola tetap sama, hanya posisi vertikalnya yang berubah.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("VIOLET"),
labels: [{ text: "f(x) = x²", offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x + 4, z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
labels: [{ text: "g(x) = x² + 4", offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x - 3, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
labels: [{ text: "h(x) = x² + (-3)", offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Perhatikan bahwa:

- Titik puncak parabola asli $$f(x) = x^2$$ berada di $$(0, 0)$$
- Setelah translasi vertikal $$+4$$, titik puncak $$g(x) = x^2 + 4$$ berada di $$(0, 4)$$
- Setelah translasi vertikal $$+(-3)$$, titik puncak $$h(x) = x^2 + (-3)$$ berada di $$(0, -3)$$

Visible text: - Titik puncak parabola asli berada di 
- Setelah translasi vertikal , titik puncak berada di 
- Setelah translasi vertikal , titik puncak berada di

## Sifat Penting Translasi Vertikal

### Bentuk Grafik Tidak Berubah

Translasi vertikal mempertahankan bentuk asli grafik. Jarak antara titik pada grafik tetap sama, hanya posisi vertikal yang berubah.

### Pengaruh pada Titik Koordinat

Jika titik $$(a, b)$$ berada pada grafik $$f(x)$$, maka setelah translasi vertikal sebesar $$k$$, titik tersebut menjadi $$(a, b + k)$$ pada grafik $$f(x) + k$$.

Visible text: Jika titik berada pada grafik , maka setelah translasi vertikal sebesar , titik tersebut menjadi pada grafik .

### Domain dan Range

- **Domain**: Tidak berubah setelah translasi vertikal
- **Range**: Bergeser sebesar $$k \text{ satuan}$$

Visible text: - **Domain**: Tidak berubah setelah translasi vertikal
- **Range**: Bergeser sebesar

Jika range fungsi asli adalah $$[c, d]$$, maka range setelah translasi vertikal $$k$$ menjadi $$[c + k, d + k]$$.

Visible text: Jika range fungsi asli adalah , maka range setelah translasi vertikal menjadi .

## Contoh Penerapan

### Contoh Fungsi Eksponensial

Mari kita lihat translasi vertikal pada fungsi eksponensial $$f(x) = 2^x$$.

Visible text: Mari kita lihat translasi vertikal pada fungsi eksponensial .

Component: LineEquation
Props:
- title: Translasi Vertikal Fungsi Eksponensial $$f(x) = 2^x$$
  Visible text: Translasi Vertikal Fungsi Eksponensial
- description: Kurva eksponensial mempertahankan karakteristiknya setelah translasi vertikal.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.2;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: getColor("INDIGO"),
labels: [{ text: "f(x) = 2^x", offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.2;
return { x, y: Math.pow(2, x) + 2, z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels: [{ text: "g(x) = 2^x + 2", offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.2;
return { x, y: Math.pow(2, x) - 1, z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "h(x) = 2^x + (-1)", offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Pada fungsi eksponensial:

- Asimtot horizontal $$y = 0$$ pada $$f(x) = 2^x$$ bergeser menjadi $$y = k$$ pada $$f(x) + k$$
- Titik potong dengan sumbu $$y$$ bergeser dari $$(0, 1)$$ menjadi $$(0, 1 + k)$$

Visible text: - Asimtot horizontal pada bergeser menjadi pada 
- Titik potong dengan sumbu bergeser dari menjadi

## Latihan

1. Diberikan fungsi $$f(x) = x^2 + 4x + 3$$. Tentukan persamaan fungsi hasil translasi vertikal ke atas sebesar $$5 \text{ satuan}$$.

2. Jika grafik fungsi $$g(x) = 3x + 2$$ ditranslasi vertikal ke bawah sebesar $$7 \text{ satuan}$$, tentukan:
   - Persamaan fungsi hasil translasi
   - Titik potong dengan sumbu $$y$$ setelah translasi

3. Fungsi $$h(x) = \sqrt{x}$$ mengalami translasi vertikal sehingga titik $$(4, 2)$$ menjadi $$(4, 5)$$. Tentukan nilai konstanta translasi dan persamaan fungsi hasil translasi.

Visible text: 1. Diberikan fungsi . Tentukan persamaan fungsi hasil translasi vertikal ke atas sebesar .

2. Jika grafik fungsi ditranslasi vertikal ke bawah sebesar , tentukan:
 - Persamaan fungsi hasil translasi
 - Titik potong dengan sumbu setelah translasi

3. Fungsi mengalami translasi vertikal sehingga titik menjadi . Tentukan nilai konstanta translasi dan persamaan fungsi hasil translasi.

### Kunci Jawaban

1. Translasi vertikal ke atas $$5 \text{ satuan}$$: <InlineMath math="f'(x) = f(x) + 5 = x^2 + 4x + 3 + 5 = x^2 + 4x + 8" />

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$f(x) = x^2 + 4x + 3$$ dan Hasil Translasinya</>}
     description={<>Fungsi kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas $$5 \text{ satuan}$$.</>}
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x + 4 * x + 3, z: 0 };
         }),
         color: getColor("PURPLE"),
         labels: [{ text: "f(x) = x² + 4x + 3", at: 10, offset: [0, 1.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x + 4 * x + 3 + 5, z: 0 };
         }),
         color: getColor("ORANGE"),
         labels: [{ text: "f'(x) = x² + 4x + 8", at: 10, offset: [0, -0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

2. Persamaan fungsi hasil translasi:

   - Translasi ke bawah $$7 \text{ satuan}$$: <InlineMath math="g'(x) = g(x) + (-7) = 3x + 2 + (-7) = 3x + (-5)" />
   - Titik potong dengan sumbu $$y$$: substitusi $$x = 0$$ ke <InlineMath math="g'(x) = 3(0) + (-5) = -5" />, jadi titik potongnya adalah $$(0, -5)$$

   Visualisasi:

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$g(x) = 3x + 2$$ dan Hasil Translasinya</>}
     description={<>Fungsi linear asli dan hasil translasi vertikal ke bawah $$7 \text{ satuan}$$.</>}
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = (i - 10) * 0.5;
           return { x, y: 3 * x + 2, z: 0 };
         }),
         color: getColor("VIOLET"),
         labels: [{ text: "g(x) = 3x + 2", offset: [1, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = (i - 10) * 0.5;
           return { x, y: 3 * x + 2 - 7, z: 0 };
         }),
         color: getColor("TEAL"),
         labels: [{ text: "g'(x) = 3x + (-5)", offset: [1, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

3. Titik $$(4, 2)$$ pada $$h(x) = \sqrt{x}$$ menjadi $$(4, 5)$$, berarti translasi vertikal sebesar $$k = 5 - 2 = 3 \text{ satuan}$$ ke atas.
   Persamaan hasil translasi: <InlineMath math="h'(x) = \sqrt{x} + 3" />

   <LineEquation
     title={<>Fungsi $$h(x) = \sqrt{x}$$ dan Hasil Translasinya</>}
     description={<>Fungsi akar kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas $$3 \text{ satuan}$$.</>}
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
         }),
         color: getColor("INDIGO"),
         labels: [{ text: "h(x) = √x", offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x) + 3, z: 0 };
         }),
         color: getColor("EMERALD"),
         labels: [{ text: "h'(x) = √x + 3", offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

Visible text: 1. Translasi vertikal ke atas : <InlineMath math="f'(x) = f(x) + 5 = x^2 + 4x + 3 + 5 = x^2 + 4x + 8" />

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Translasinya</>}
 description={<>Fungsi kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas .</>}
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x + 4 * x + 3, z: 0 };
 }),
 color: getColor("PURPLE"),
 labels: [{ text: "f(x) = x² + 4x + 3", at: 10, offset: [0, 1.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x + 4 * x + 3 + 5, z: 0 };
 }),
 color: getColor("ORANGE"),
 labels: [{ text: "f'(x) = x² + 4x + 8", at: 10, offset: [0, -0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

2. Persamaan fungsi hasil translasi:

 - Translasi ke bawah : <InlineMath math="g'(x) = g(x) + (-7) = 3x + 2 + (-7) = 3x + (-5)" />
 - Titik potong dengan sumbu : substitusi ke <InlineMath math="g'(x) = 3(0) + (-5) = -5" />, jadi titik potongnya adalah 

 Visualisasi:

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Translasinya</>}
 description={<>Fungsi linear asli dan hasil translasi vertikal ke bawah .</>}
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = (i - 10) * 0.5;
 return { x, y: 3 * x + 2, z: 0 };
 }),
 color: getColor("VIOLET"),
 labels: [{ text: "g(x) = 3x + 2", offset: [1, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = (i - 10) * 0.5;
 return { x, y: 3 * x + 2 - 7, z: 0 };
 }),
 color: getColor("TEAL"),
 labels: [{ text: "g'(x) = 3x + (-5)", offset: [1, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

3. Titik pada menjadi , berarti translasi vertikal sebesar ke atas.
 Persamaan hasil translasi: <InlineMath math="h'(x) = \sqrt{x} + 3" />

 <LineEquation
 title={<>Fungsi dan Hasil Translasinya</>}
 description={<>Fungsi akar kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas .</>}
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
 }),
 color: getColor("INDIGO"),
 labels: [{ text: "h(x) = √x", offset: [1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(x) + 3, z: 0 };
 }),
 color: getColor("EMERALD"),
 labels: [{ text: "h'(x) = √x + 3", offset: [1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />