# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/dilatasi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/dilation/id.mdx

Pelajari konsep dilatasi geometri dengan faktor skala dan pusat dilatasi. Pelajari perbesaran, pengecilan, dan rumus dengan visualisasi interaktif.

---

## Memahami Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu objek (memperbesar atau memperkecil) tanpa mengubah bentuknya. Setiap titik pada objek dipetakan ke posisi baru berdasarkan titik pusat dilatasi dan faktor skala.

### Definisi Formal Dilatasi

Diketahui titik $$C$$ sebagai pusat dilatasi dan sebuah faktor skala $$k \neq 0$$. Dilatasi terhadap titik $$A$$ yang berpusat di titik $$C$$ dengan faktor $$k$$, dinotasikan sebagai $$D_{(C,k)}$$, adalah sebuah transformasi yang memetakan $$A$$ ke <InlineMath math="A' = D_{(C,k)}(A)" /> sedemikian rupa sehingga memenuhi <InlineMath math="\vec{CA'} = k \cdot \vec{CA}" />.

Visible text: Diketahui titik sebagai pusat dilatasi dan sebuah faktor skala . Dilatasi terhadap titik yang berpusat di titik dengan faktor , dinotasikan sebagai , adalah sebuah transformasi yang memetakan ke <InlineMath math="A' = D_{(C,k)}(A)" /> sedemikian rupa sehingga memenuhi <InlineMath math="\vec{CA'} = k \cdot \vec{CA}" />.

Ini berarti vektor dari pusat dilatasi ke bayangan adalah $$k \text{ kali}$$ vektor dari pusat dilatasi ke titik asli.

Visible text: Ini berarti vektor dari pusat dilatasi ke bayangan adalah vektor dari pusat dilatasi ke titik asli.

- Jika $$|k| > 1$$, terjadi perbesaran.
- Jika $$0 < |k| < 1$$, terjadi pengecilan.
- Jika $$k > 0$$, titik asli dan bayangannya berada pada sisi yang sama dari pusat dilatasi.
- Jika $$k < 0$$, titik asli dan bayangannya berada pada sisi yang berlawanan dari pusat dilatasi (dan bayangan terbalik).

Visible text: - Jika , terjadi perbesaran.
- Jika , terjadi pengecilan.
- Jika , titik asli dan bayangannya berada pada sisi yang sama dari pusat dilatasi.
- Jika , titik asli dan bayangannya berada pada sisi yang berlawanan dari pusat dilatasi (dan bayangan terbalik).

## Dilatasi terhadap Titik Asal

Jika pusat dilatasi adalah titik asal $$O(0,0)$$ dan faktor skalanya adalah $$k$$, maka untuk sebuah titik $$A(x,y)$$, bayangannya <InlineMath math="A'(x',y')" /> diberikan oleh:

Visible text: Jika pusat dilatasi adalah titik asal dan faktor skalanya adalah , maka untuk sebuah titik , bayangannya <InlineMath math="A'(x',y')" /> diberikan oleh:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = kx
```

```math
y' = ky
```

### Mendilatasikan Sebuah Titik terhadap Titik Asal

Jika titik $$A(1,2)$$ dilatasi terhadap titik asal $$(0,0)$$ dengan faktor $$2$$, tentukan peta dari titik tersebut.

Visible text: Jika titik dilatasi terhadap titik asal dengan faktor , tentukan peta dari titik tersebut.

Di sini, $$x=1$$, $$y=2$$, dan $$k=2$$.

Visible text: Di sini, , , dan .

Pusat dilatasi $$O(0,0)$$.

Visible text: Pusat dilatasi .

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2 \cdot 1 = 2
```

```math
y' = 2 \cdot 2 = 4
```

Jadi, petanya adalah <InlineMath math="A'(2,4)" />.

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Titik $$A(1,2)$$ terhadap Titik Asal, Faktor{" "}
$$k=2$$
  Visible text: Dilatasi Titik terhadap Titik Asal, Faktor{" "}
- description: Visualisasi dilatasi titik $$A(1,2)$$ menjadi{" "}
<InlineMath math="A'(2,4)" /> dengan pusat di $$O(0,0)$${" "}
dan faktor skala $$2$$.
  Visible text: Visualisasi dilatasi titik menjadi{" "}
<InlineMath math="A'(2,4)" /> dengan pusat di {" "}
dan faktor skala .
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Pusat Dilatasi
{
points: [{ x: 1, y: 2, z: 0 }],
color: getColor("SKY"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "A(1,2) - Asli", at: 0, offset: [1, 0.2, 0] }],
}, // Titik Asli
{
points: [{ x: 2, y: 4, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "A'(2,4) - Peta", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
}, // Titik Peta
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
}, // Garis OA
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 4, z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
}, // Garis OA'
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1, 2, 15]

## Dilatasi terhadap Titik Sembarang

Jika pusat dilatasi adalah titik sembarang $$C(a,b)$$ dan faktor skalanya adalah $$k$$, maka untuk sebuah titik $$A(x,y)$$, bayangannya <InlineMath math="A'(x',y')" /> diberikan oleh:

Visible text: Jika pusat dilatasi adalah titik sembarang dan faktor skalanya adalah , maka untuk sebuah titik , bayangannya <InlineMath math="A'(x',y')" /> diberikan oleh:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = a + k(x - a)
```

```math
y' = b + k(y - b)
```

Ini dapat diinterpretasikan sebagai: translasikan sistem sehingga $$C$$ menjadi titik asal, lakukan dilatasi dengan faktor $$k$$, lalu translasikan kembali.

Visible text: Ini dapat diinterpretasikan sebagai: translasikan sistem sehingga menjadi titik asal, lakukan dilatasi dengan faktor , lalu translasikan kembali.

### Mendilatasikan Sebuah Titik terhadap Titik Sembarang

Jika titik $$C(5,2)$$ dilatasi terhadap titik $$P(2,3)$$ dengan faktor $$2$$, tentukan peta dari titik tersebut.

Visible text: Jika titik dilatasi terhadap titik dengan faktor , tentukan peta dari titik tersebut.

Di sini, titik yang akan didilatasi adalah $$C(5,2)$$ jadi $$x=5, y=2$$.

Visible text: Di sini, titik yang akan didilatasi adalah jadi .

Pusat dilatasi adalah $$P(2,3)$$, jadi $$a=2, b=3$$.

Visible text: Pusat dilatasi adalah , jadi .

Faktor skala $$k=2$$.

Visible text: Faktor skala .

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2 + 2(5 - 2) = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8
```

```math
y' = 3 + 2(2 - 3) = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1
```

Jadi, petanya adalah <InlineMath math="C'(8,1)" />.

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Titik $$C(5,2)$$ terhadap{" "}
$$P(2,3)$$, Faktor $$k=2$$
  Visible text: Dilatasi Titik terhadap{" "}
, Faktor
- description: Visualisasi dilatasi titik $$C(5,2)$$ menjadi{" "}
<InlineMath math="C'(8,1)" /> dengan pusat di $$P(2,3)$${" "}
dan faktor skala $$2$$.
  Visible text: Visualisasi dilatasi titik menjadi{" "}
<InlineMath math="C'(8,1)" /> dengan pusat di {" "}
dan faktor skala .
- data: [
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P(2,3) - Pusat", at: 0, offset: [1, 0.5, 0] }],
}, // Pusat Dilatasi
{
points: [{ x: 5, y: 2, z: 0 }],
color: getColor("SKY"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "C(5,2) - Asli", at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Titik Asli
{
points: [{ x: 8, y: 1, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "C'(8,1) - Peta", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Titik Peta
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 5, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
}, // Garis PC
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 8, y: 1, z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
}, // Garis PC'
]
- showZAxis: false

## Latihan

1.  Tentukan peta dari $$B(2,5)$$ oleh dilatasi $$D_{(O,3)}$$ (pusat di $$O(0,0)$$, faktor $$3$$).
2.  Tentukan peta dari $$B(2,5)$$ oleh dilatasi dengan pusat $$P(1,3)$$ dan faktor $$3$$.
3.  Sebuah segitiga dengan titik sudut $$A(1,1)$$, $$B(3,1)$$, dan $$C(1,4)$$ didilatasi terhadap titik asal $$O(0,0)$$ dengan faktor skala $$k=-2$$. Tentukan koordinat bayangan segitiga <InlineMath math="A'B'C'" />!

Visible text: 1. Tentukan peta dari oleh dilatasi (pusat di , faktor ).
2. Tentukan peta dari oleh dilatasi dengan pusat dan faktor .
3. Sebuah segitiga dengan titik sudut , , dan didilatasi terhadap titik asal dengan faktor skala . Tentukan koordinat bayangan segitiga <InlineMath math="A'B'C'" />!

### Kunci Jawaban

1.  Titik $$B(2,5)$$, pusat $$O(0,0)$$, $$k=3$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 3 \cdot 2 = 6" />
      <BlockMath math="y' = 3 \cdot 5 = 15" />
    </MathContainer>

    Jadi, bayangannya <InlineMath math="B'(6,15)" />.

2.  Titik $$B(2,5)$$, pusat $$P(1,3)$$, $$k=3$$. ($$x=2, y=5, a=1, b=3$$)

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 1 + 3(2 - 1) = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4" />
      <BlockMath math="y' = 3 + 3(5 - 3) = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9" />
    </MathContainer>

    Jadi, bayangannya <InlineMath math="B'(4,9)" />.

3.  Pusat $$O(0,0)$$, $$k=-2$$.

    - Untuk $$A(1,1)$$: <InlineMath math="A'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 1) = A'(-2,-2)" />.
    - Untuk $$B(3,1)$$: <InlineMath math="B'(-2 \cdot 3, -2 \cdot 1) = B'(-6,-2)" />.
    - Untuk $$C(1,4)$$: <InlineMath math="C'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 4) = C'(-2,-8)" />.

    Koordinat bayangan segitiga: <InlineMath math="A'(-2,-2)" />, <InlineMath math="B'(-6,-2)" />, <InlineMath math="C'(-2,-8)" />.

Visible text: 1. Titik , pusat , .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 3 \cdot 2 = 6" />
 <BlockMath math="y' = 3 \cdot 5 = 15" />
 </MathContainer>

 Jadi, bayangannya <InlineMath math="B'(6,15)" />.

2. Titik , pusat , . ()

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 1 + 3(2 - 1) = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4" />
 <BlockMath math="y' = 3 + 3(5 - 3) = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9" />
 </MathContainer>

 Jadi, bayangannya <InlineMath math="B'(4,9)" />.

3. Pusat , .

 - Untuk : <InlineMath math="A'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 1) = A'(-2,-2)" />.
 - Untuk : <InlineMath math="B'(-2 \cdot 3, -2 \cdot 1) = B'(-6,-2)" />.
 - Untuk : <InlineMath math="C'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 4) = C'(-2,-8)" />.

 Koordinat bayangan segitiga: <InlineMath math="A'(-2,-2)" />, <InlineMath math="B'(-6,-2)" />, <InlineMath math="C'(-2,-8)" />.