# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/kaitan-matriks-dengan-transformasi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/matrix-transformation/id.mdx

Pelajari cara matriks 2×2 melakukan transformasi geometri seperti rotasi dan refleksi pada titik dan bangun dengan contoh bertahap.

---

## Apa Hubungan Matriks dengan Transformasi Geometri?

Matriks $$2 \times 2$$ dapat dikaitkan dengan operasi transformasi terhadap sembarang titik pada bidang Kartesius.

Visible text: Matriks dapat dikaitkan dengan operasi transformasi terhadap sembarang titik pada bidang Kartesius.

Sebuah titik pada bidang Kartesius yang seringkali disimbolkan dengan pasangan terurut $$(x,y)$$ dapat juga disimbolkan dengan vektor posisi $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$. Notasi vektor posisi inilah yang akan banyak digunakan dalam pembahasan kaitan matriks dengan transformasi.

Visible text: Sebuah titik pada bidang Kartesius yang seringkali disimbolkan dengan pasangan terurut dapat juga disimbolkan dengan vektor posisi . Notasi vektor posisi inilah yang akan banyak digunakan dalam pembahasan kaitan matriks dengan transformasi.

Jika titik $$P(x,y)$$ ditransformasikan oleh matriks $$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$, maka bayangannya <InlineMath math="P'(x',y')" /> diperoleh dari perkalian matriks:

Visible text: Jika titik ditransformasikan oleh matriks , maka bayangannya <InlineMath math="P'(x',y')" /> diperoleh dari perkalian matriks:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}
```

Sehingga, <InlineMath math="x' = ax + by" /> dan <InlineMath math="y' = cx + dy" />.

## Mengalikan Sebuah Matriks dengan Sebuah Vektor Posisi

Jika $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ merepresentasikan sembarang titik di bidang Kartesius, carilah hasil kali $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$.

Visible text: Jika merepresentasikan sembarang titik di bidang Kartesius, carilah hasil kali .

**Alternatif Penyelesaian:**

Hasil kali matriks tersebut adalah:

```math
\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(x) + (-1)(y) \\ (1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}
```

Jika diperhatikan, titik $$(x,y)$$ ditransformasikan oleh matriks $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ menjadi titik $$(-y,x)$$. Ini adalah rumus untuk rotasi $$90^\circ$$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

Visible text: Jika diperhatikan, titik ditransformasikan oleh matriks menjadi titik . Ini adalah rumus untuk rotasi berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

Component: LineEquation
Props:
- title: Transformasi Titik $$P(2,3)$$ oleh Matriks{" "}
$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
  Visible text: Transformasi Titik oleh Matriks{" "}
- description: Titik $$P(2,3)$$ ditransformasi menjadi{" "}
<InlineMath math="P'(-3,2)" />.
  Visible text: Titik ditransformasi menjadi{" "}
<InlineMath math="P'(-3,2)" />.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: getColor("SKY"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P(2,3)", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: 2, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P'(-3,2)", at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -3, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 10]

## Mengalikan Sebuah Matriks dengan Tiga Buah Titik Sekaligus

Carilah peta dari $$\triangle ABC$$, dengan titik sudut $$A(1,1)$$, $$B(4,1)$$, dan $$C(4,2)$$ yang ditransformasikan dengan matriks $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Carilah peta dari , dengan titik sudut , , dan yang ditransformasikan dengan matriks .

**Alternatif Penyelesaian:**

Pertama-tama, kita dapat menuliskan koordinat titik-titik itu sebagai kolom-kolom matriks, yakni $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ (Kolom A, B, C).

Visible text: Pertama-tama, kita dapat menuliskan koordinat titik-titik itu sebagai kolom-kolom matriks, yakni (Kolom A, B, C).

Selanjutnya, kalikan dari kiri matriks itu dengan $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Selanjutnya, kalikan dari kiri matriks itu dengan .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1)+(0)(1) & (-1)(4)+(0)(1) & (-1)(4)+(0)(2) \\ (0)(1)+(-1)(1) & (0)(4)+(-1)(1) & (0)(4)+(-1)(2) \end{pmatrix}
```

```math
= \begin{pmatrix} -1 & -4 & -4 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}
```

Hasil transformasinya adalah sebuah segitiga baru <InlineMath math="\triangle A'B'C'" /> dengan titik-titik sudut <InlineMath math="A'(-1,-1)" />, <InlineMath math="B'(-4,-1)" />, dan <InlineMath math="C'(-4,-2)" />.

Matriks $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ merepresentasikan rotasi $$180^\circ$$ terhadap titik asal.

Visible text: Matriks merepresentasikan rotasi terhadap titik asal.

Component: LineEquation
Props:
- title: Transformasi $$\triangle ABC$$ oleh Matriks{" "}
$$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
  Visible text: Transformasi oleh Matriks{" "}
- description: Segitiga $$ABC$$ ditransformasi menjadi{" "}
<InlineMath math="A'B'C'" />.
  Visible text: Segitiga ditransformasi menjadi{" "}
<InlineMath math="A'B'C'" />.
- data: [
// Segitiga ABC (Asli)
...[
{
from: { x: 1, y: 1, z: 0, label: "A(1,1)" },
to: { x: 4, y: 1, z: 0, label: "B(4,1)" },
},
{
from: { x: 4, y: 1, z: 0, label: "B(4,1)" },
to: { x: 4, y: 2, z: 0, label: "C(4,2)" },
},
{
from: { x: 4, y: 2, z: 0, label: "C(4,2)" },
to: { x: 1, y: 1, z: 0, label: "A(1,1)" },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
// Segitiga A'B'C' (Bayangan)
...[
{
from: { x: -1, y: -1, z: 0, label: "A'(-1,-1)" },
to: { x: -4, y: -1, z: 0, label: "B'(-4,-1)" },
},
{
from: { x: -4, y: -1, z: 0, label: "B'(-4,-1)" },
to: { x: -4, y: -2, z: 0, label: "C'(-4,-2)" },
},
{
from: { x: -4, y: -2, z: 0, label: "C'(-4,-2)" },
to: { x: -1, y: -1, z: 0, label: "A'(-1,-1)" },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 12]

## Latihan

1.  Carilah hasil kali dari $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$. Transformasi apakah yang direpresentasikan oleh matriks ini?
2.  Suatu transformasi berkaitan dengan matriks $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$. Carilah peta dari suatu segitiga dengan titik sudut $$A(2,0)$$, $$B(2,1)$$, dan $$C(0,1)$$ oleh transformasi tersebut!

Visible text: 1. Carilah hasil kali dari . Transformasi apakah yang direpresentasikan oleh matriks ini?
2. Suatu transformasi berkaitan dengan matriks . Carilah peta dari suatu segitiga dengan titik sudut , , dan oleh transformasi tersebut!

### Kunci Jawaban

1.  
    
    ```math
    \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(x) + (1)(y) \\ (-1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}
    ```

    Titik $$(x,y)$$ ditransformasikan menjadi $$(y,-x)$$.

    Ini adalah rotasi $$-90^\circ$$ (atau $$270^\circ$$) searah jarum jam terhadap titik asal.

2.  Matriks transformasi $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

    Titik-titik sudut: $$A(2,0)$$, $$B(2,1)$$, $$C(0,1)$$.

    Matriks titik: $$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2)+(2)(0) & (1)(2)+(2)(1) & (1)(0)+(2)(1) \\ (0)(2)+(1)(0) & (0)(2)+(1)(1) & (0)(0)+(1)(1) \end{pmatrix}
    ```

      
    
    ```math
    = \begin{pmatrix} 2+0 & 2+2 & 0+2 \\ 0+0 & 0+1 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
    ```

    </MathContainer>

    Titik-titik bayangan: <InlineMath math="A'(2,0)" />, <InlineMath math="B'(4,1)" />, <InlineMath math="C'(2,1)" />.

    (Transformasi ini dikenal sebagai geseran/shear)

Visible text: 1. 
 

 Titik ditransformasikan menjadi .

 Ini adalah rotasi (atau ) searah jarum jam terhadap titik asal.

2. Matriks transformasi .

 Titik-titik sudut: , , .

 Matriks titik: .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Titik-titik bayangan: <InlineMath math="A'(2,0)" />, <InlineMath math="B'(4,1)" />, <InlineMath math="C'(2,1)" />.

 (Transformasi ini dikenal sebagai geseran/shear)