# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/matriks-dilatasi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/dilation-matrix/id.mdx

Temukan cara merepresentasikan dilatasi menggunakan matriks. Pelajari operasi matriks untuk mengubah ukuran dari titik pusat dan sembarang dengan contoh.

---

## Mencari Matriks yang Berkaitan dengan Dilatasi

Bagaimana menemukan matriks yang berkaitan dengan operasi dilatasi? Ingat kembali bahwa titik $$(x,y)$$ dipetakan oleh dilatasi dengan faktor $$k \neq 0$$ dan pusat $$O$$ ke $$(kx,ky)$$.

Visible text: Bagaimana menemukan matriks yang berkaitan dengan operasi dilatasi? Ingat kembali bahwa titik dipetakan oleh dilatasi dengan faktor dan pusat ke .

Misalkan, matriks yang ingin kita cari adalah $$\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$$.

Visible text: Misalkan, matriks yang ingin kita cari adalah .

Carilah $$r, s, t, u$$ sedemikian rupa sehingga memenuhi

Visible text: Carilah sedemikian rupa sehingga memenuhi

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}
```

Dari perkalian matriks di sisi kiri, kita dapatkan:

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}
```

Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian:

- **Baris pertama:** $$rx + sy = kx$$. Agar persamaan ini berlaku untuk semua $$x$$ dan $$y$$, maka koefisien $$x$$ harus sama dan koefisien $$y$$ harus sama. Jadi, $$r = k$$ dan $$s = 0$$.
- **Baris kedua:** $$tx + uy = ky$$. Dengan cara yang sama, $$t = 0$$ dan $$u = k$$.

Visible text: - **Baris pertama:** . Agar persamaan ini berlaku untuk semua dan , maka koefisien harus sama dan koefisien harus sama. Jadi, dan .
- **Baris kedua:** . Dengan cara yang sama, dan .

## Matriks Dilatasi terhadap Titik Pusat

Matriks yang terkait dengan dilatasi dengan faktor $$k \neq 0$$ oleh titik pusat $$O(0,0)$$ adalah

Visible text: Matriks yang terkait dengan dilatasi dengan faktor oleh titik pusat adalah

```math
\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
```

## Operasi Matriks terkait Dilatasi terhadap Sebarang Titik

Titik $$(x,y)$$ yang didilatasikan dengan faktor $$k \neq 0$$ dan pusat $$(a,b)$$ akan dipetakan ke $$(k(x-a)+a,\, k(y-b)+b)$$.

Visible text: Titik yang didilatasikan dengan faktor dan pusat akan dipetakan ke .

Temukan kombinasi operasi matriks terhadap vektor posisi $$\begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix}$$ sehingga hasilnya menjadi $$\begin{pmatrix} k(x-a)+a \\ k(y-b)+b \end{pmatrix}$$.

Visible text: Temukan kombinasi operasi matriks terhadap vektor posisi sehingga hasilnya menjadi .

Operasi matriks yang terkait dengan dilatasi dengan faktor $$k \neq 0$$ oleh titik $$(a,b)$$ adalah

Visible text: Operasi matriks yang terkait dengan dilatasi dengan faktor oleh titik adalah

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

atau dapat juga ditulis sebagai:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right)
```

## Mencari Peta dari Sebuah Dilatasi dengan Bantuan Matriks

Tentukan peta dari titik $$A(2,4)$$ yang ditransformasikan oleh dilatasi dengan faktor $$2$$ oleh titik pusat $$P(1,1)$$!

Visible text: Tentukan peta dari titik yang ditransformasikan oleh dilatasi dengan faktor oleh titik pusat !

**Alternatif Penyelesaian:**

Diketahui $$x=2, y=4, k=2, a=1, b=1$$.

Visible text: Diketahui .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2-1 \\ 4-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) + (0)(3) \\ (0)(1) + (2)(3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}
```

Jadi, peta dari titik $$A(2,4)$$ adalah <InlineMath math="A'(3,7)" />.

Visible text: Jadi, peta dari titik adalah <InlineMath math="A'(3,7)" />.

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Dilatasi Titik $$A(2,4)$$ dengan Pusat{" "}
$$P(1,1)$$ dan Faktor Skala $$k=2$$
  Visible text: Visualisasi Dilatasi Titik dengan Pusat{" "}
 dan Faktor Skala
- description: Titik $$A(2,4)$$ didilatasikan terhadap pusat{" "}
$$P(1,1)$$ dengan faktor skala $$k=2$${" "}
menghasilkan bayangan <InlineMath math="A'(3,7)" />. Garis dari pusat ke
titik asli dan dari pusat ke bayangan berada pada garis yang sama, dan
jarak <InlineMath math="PA'" /> adalah dua kali jarak{" "}
$$PA$$.
  Visible text: Titik didilatasikan terhadap pusat{" "}
 dengan faktor skala {" "}
menghasilkan bayangan <InlineMath math="A'(3,7)" />. Garis dari pusat ke
titik asli dan dari pusat ke bayangan berada pada garis yang sama, dan
jarak <InlineMath math="PA'" /> adalah dua kali jarak{" "}
.
- data: [
{
points: [{ x: 1, y: 1, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P(1,1)", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 4, z: 0 }],
color: getColor("SKY"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "A(2,4)", at: 0, offset: [1.5, 0.2, 0] }],
},
{
points: [{ x: 3, y: 7, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "A'(3,7)", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 }, // P
{ x: 2, y: 4, z: 0 }, // A
],
color: getColor("AMBER"),
},
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 }, // P
{ x: 3, y: 7, z: 0 }, // A'
],
color: getColor("SKY"),
cone: { position: "end", size: 0.3 },
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 18]

## Latihan

1.  Carilah koordinat peta dari titik $$(a,b)$$ oleh dilatasi $$[O,3]$$!
2.  Tentukan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan faktor skala $$-2$$ dan pusat di $$O(0,0)$$.
3.  Sebuah titik $$B(-1, 5)$$ didilatasikan dengan pusat $$P(2, -3)$$ dan faktor skala $$k = \frac{1}{2}$$. Tentukan koordinat bayangan titik $$B$$!
4.  Sebuah segitiga $$KLM$$ dengan titik sudut $$K(1,1)$$, $$L(5,1)$$, dan $$M(3,4)$$ didilatasikan dengan pusat $$O(0,0)$$ dan faktor skala $$2$$. Gambarkan segitiga asli dan bayangannya, lalu tentukan koordinat titik-titik bayangannya!

Visible text: 1. Carilah koordinat peta dari titik oleh dilatasi !
2. Tentukan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan faktor skala dan pusat di .
3. Sebuah titik didilatasikan dengan pusat dan faktor skala . Tentukan koordinat bayangan titik !
4. Sebuah segitiga dengan titik sudut , , dan didilatasikan dengan pusat dan faktor skala . Gambarkan segitiga asli dan bayangannya, lalu tentukan koordinat titik-titik bayangannya!

### Kunci Jawaban

1.  Dilatasi $$[O,3]$$ berarti pusat dilatasi adalah $$O(0,0)$$ dan faktor skala $$k=3$$.

    Misalkan titiknya adalah $$Q(a,b)$$.

    Maka $$x=a, y=b, k=3$$.

    <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 3b \end{pmatrix}" />

    Jadi, koordinat peta dari titik $$(a,b)$$ adalah $$(3a, 3b)$$.

2.  Faktor skala $$k=-2$$, pusat $$O(0,0)$$.

    Matriks dilatasinya adalah:

    
    
    ```math
    \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}
    ```

3.  Titik $$B(-1, 5)$$, pusat $$P(2, -3)$$, faktor skala $$k = \frac{1}{2}$$.

    $$x=-1, y=5, a=2, b=-3, k=\frac{1}{2}$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-(-3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
      <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
      <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{1}{2})(-3) + (0)(8) \\ (0)(-3) + (\frac{1}{2})(8) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
      <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}" />
    </MathContainer>

    Koordinat bayangan titik $$B$$ adalah <InlineMath math="B'(\frac{1}{2}, 1)" />.

4.  Segitiga $$KLM$$ dengan $$K(1,1)$$, $$L(5,1)$$, $$M(3,4)$$.

    Pusat $$O(0,0)$$, $$k=2$$.

    Bayangan titik $$K(1,1)$$:

    <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_K' \\ y_K' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \implies K'(2,2)" />

    Bayangan titik $$L(5,1)$$:

    <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_L' \\ y_L' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \implies L'(10,2)" />

    Bayangan titik $$M(3,4)$$:

    <ContentStack>

      <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_M' \\ y_M' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \implies M'(6,8)" />

      <LineEquation
        title={
          <>
            Visualisasi Dilatasi Segitiga $$KLM$$ dengan Pusat{" "}
            $$O(0,0)$$ dan Faktor Skala{" "}
            $$k=2$$
          </>
        }
        description={
          <>
            Segitiga $$KLM$$ didilatasikan menjadi segitiga{" "}
            <InlineMath math="K'L'M'" />. Titik pusat dilatasi{" "}
            $$O(0,0)$$.
          </>
        }
        data={[
          // Original Triangle KLM
          {
            points: [
              { x: 1, y: 1, z: 0 }, // K
              { x: 5, y: 1, z: 0 }, // L
            ],
            color: getColor("SKY"),
            labels: [
              { text: "K(1, 1)", at: 0, offset: [-0.7, -0.2, 0] },
              { text: "L(5, 1)", at: 1, offset: [0.7, -0.2, 0] },
            ],
            showPoints: true,
          },
          {
            points: [
              { x: 5, y: 1, z: 0 }, // L
              { x: 3, y: 4, z: 0 }, // M
            ],
            color: getColor("ORANGE"),
            labels: [{ text: "M(3,4)", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
            showPoints: true,
          },
          {
            points: [
              { x: 3, y: 4, z: 0 }, // M
              { x: 1, y: 1, z: 0 }, // K
            ],
            color: getColor("PURPLE"),
            showPoints: true,
          },
          // Dilated Triangle K'L'M'
          {
            points: [
              { x: 2, y: 2, z: 0 }, // K'
              { x: 10, y: 2, z: 0 }, // L'
            ],
            color: getColor("TEAL"),
            labels: [
              { text: "K'(2, 2)", at: 0, offset: [-0.8, -0.3, 0] },
              { text: "L'(10, 2)", at: 1, offset: [0.8, -0.3, 0] },
            ],
            showPoints: true,
          },
          {
            points: [
              { x: 10, y: 2, z: 0 }, // L'
              { x: 6, y: 8, z: 0 }, // M'
            ],
            color: getColor("PINK"),
            labels: [{ text: "M'(6,8)", at: 1, offset: [0, 0.6, 0] }],
            showPoints: true,
          },
          {
            points: [
              { x: 6, y: 8, z: 0 }, // M'
              { x: 2, y: 2, z: 0 }, // K'
            ],
            color: getColor("INDIGO"),
            showPoints: true,
          },
          // Origin
          {
            points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
            color: getColor("INDIGO"),
            showPoints: true,
            labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
          },
        ]}
        showZAxis={false}
        cameraPosition={[0, 0, 20]}
      />
    </ContentStack>

Visible text: 1. Dilatasi berarti pusat dilatasi adalah dan faktor skala .

 Misalkan titiknya adalah .

 Maka .

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 3b \end{pmatrix}" />

 Jadi, koordinat peta dari titik adalah .

2. Faktor skala , pusat .

 Matriks dilatasinya adalah:

 
 

3. Titik , pusat , faktor skala .

 .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-(-3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{1}{2})(-3) + (0)(8) \\ (0)(-3) + (\frac{1}{2})(8) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}" />
 </MathContainer>

 Koordinat bayangan titik adalah <InlineMath math="B'(\frac{1}{2}, 1)" />.

4. Segitiga dengan , , .

 Pusat , .

 Bayangan titik :

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_K' \\ y_K' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \implies K'(2,2)" />

 Bayangan titik :

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_L' \\ y_L' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \implies L'(10,2)" />

 Bayangan titik :

 <ContentStack>

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_M' \\ y_M' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \implies M'(6,8)" />

 <LineEquation
 title={
 <>
 Visualisasi Dilatasi Segitiga dengan Pusat{" "}
 dan Faktor Skala{" "}
 
 </>
 }
 description={
 <>
 Segitiga didilatasikan menjadi segitiga{" "}
 <InlineMath math="K'L'M'" />. Titik pusat dilatasi{" "}
 .
 </>
 }
 data={[
 // Original Triangle KLM
 {
 points: [
 { x: 1, y: 1, z: 0 }, // K
 { x: 5, y: 1, z: 0 }, // L
 ],
 color: getColor("SKY"),
 labels: [
 { text: "K(1, 1)", at: 0, offset: [-0.7, -0.2, 0] },
 { text: "L(5, 1)", at: 1, offset: [0.7, -0.2, 0] },
 ],
 showPoints: true,
 },
 {
 points: [
 { x: 5, y: 1, z: 0 }, // L
 { x: 3, y: 4, z: 0 }, // M
 ],
 color: getColor("ORANGE"),
 labels: [{ text: "M(3,4)", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
 showPoints: true,
 },
 {
 points: [
 { x: 3, y: 4, z: 0 }, // M
 { x: 1, y: 1, z: 0 }, // K
 ],
 color: getColor("PURPLE"),
 showPoints: true,
 },
 // Dilated Triangle K'L'M'
 {
 points: [
 { x: 2, y: 2, z: 0 }, // K'
 { x: 10, y: 2, z: 0 }, // L'
 ],
 color: getColor("TEAL"),
 labels: [
 { text: "K'(2, 2)", at: 0, offset: [-0.8, -0.3, 0] },
 { text: "L'(10, 2)", at: 1, offset: [0.8, -0.3, 0] },
 ],
 showPoints: true,
 },
 {
 points: [
 { x: 10, y: 2, z: 0 }, // L'
 { x: 6, y: 8, z: 0 }, // M'
 ],
 color: getColor("PINK"),
 labels: [{ text: "M'(6,8)", at: 1, offset: [0, 0.6, 0] }],
 showPoints: true,
 },
 {
 points: [
 { x: 6, y: 8, z: 0 }, // M'
 { x: 2, y: 2, z: 0 }, // K'
 ],
 color: getColor("INDIGO"),
 showPoints: true,
 },
 // Origin
 {
 points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
 color: getColor("INDIGO"),
 showPoints: true,
 labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
 },
 ]}
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[0, 0, 20]}
 />
 </ContentStack>