# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/matriks-pencerminan-terhadap-sebarang-titik
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-matrix-arbitrary-point/id.mdx

Temukan cara mencerminkan titik terhadap sebarang titik menggunakan translasi dan operasi matriks. Pelajari transformasi gabungan dengan contoh.

---

## Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Sebarang Titik

Peta dari titik $$(x,y)$$ yang dicerminkan terhadap titik $$(a,b)$$ adalah $$(-x+2a, -y+2b)$$ atau $$(2a-x, 2b-y)$$.

Visible text: Peta dari titik yang dicerminkan terhadap titik adalah atau .

Operasi matriks yang terkait dengan transformasi ini tidak dapat direpresentasikan hanya dengan satu matriks perkalian $$2 \times 2$$ saja, karena melibatkan penjumlahan (translasi) yang disebabkan oleh titik pusat $$(a,b)$$ yang bukan titik asal.

Visible text: Operasi matriks yang terkait dengan transformasi ini tidak dapat direpresentasikan hanya dengan satu matriks perkalian saja, karena melibatkan penjumlahan (translasi) yang disebabkan oleh titik pusat yang bukan titik asal.

Namun, kita bisa merepresentasikan transformasi ini sebagai kombinasi operasi matriks:

1. Translasikan titik $$(x,y)$$ sehingga pusat pencerminan $$(a,b)$$ seolah-olah menjadi titik asal. Ini berarti kita bekerja dengan $$(x-a, y-b)$$.
2. Cerminkan titik yang sudah ditranslasikan ini terhadap titik asal menggunakan matriks $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.
3. Translasikan kembali hasilnya dengan menambahkan koordinat pusat pencerminan $$(a,b)$$.

Visible text: 1. Translasikan titik sehingga pusat pencerminan seolah-olah menjadi titik asal. Ini berarti kita bekerja dengan .
2. Cerminkan titik yang sudah ditranslasikan ini terhadap titik asal menggunakan matriks .
3. Translasikan kembali hasilnya dengan menambahkan koordinat pusat pencerminan .

Secara matematis, jika <InlineMath math="(x', y')" /> adalah bayangan dari $$(x,y)$$:

Visible text: Secara matematis, jika <InlineMath math="(x', y')" /> adalah bayangan dari :

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(x-a) \\ -(y-b) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x+a \\ -y+b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x+2a \\ -y+2b \end{pmatrix}
```

Ini sesuai dengan rumus yang sudah kita kenal.

### Operasi Matriks Pencerminan terhadap Titik

Operasi matriks yang terkait dengan pencerminan terhadap titik $$P(a,b)$$ untuk sembarang titik $$(x,y)$$ adalah:

Visible text: Operasi matriks yang terkait dengan pencerminan terhadap titik untuk sembarang titik adalah:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

Atau, lebih tepatnya, dapat ditulis sebagai kombinasi:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

Bentuk yang disajikan pada Sifat $$4.11$$ di buku ($$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$) adalah hasil penyederhanaan dari $$\begin{pmatrix} -x+2a \\ -y+2b \end{pmatrix}$$.

Visible text: Bentuk yang disajikan pada Sifat di buku () adalah hasil penyederhanaan dari .

## Mencari Peta Titik

Tentukan peta dari titik $$(2,3)$$ oleh pencerminan terhadap titik $$(1,1)$$.

Visible text: Tentukan peta dari titik oleh pencerminan terhadap titik .

**Alternatif Penyelesaian:**

Titik $$(x,y) = (2,3)$$. Pusat $$(a,b) = (1,1)$$.

Visible text: Titik . Pusat .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
```

```math
= \begin{pmatrix} (-1)(2) + (0)(3) \\ (0)(2) + (-1)(3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
```

```math
= \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+2 \\ -3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}
```

Visualisasi:

Component: LineEquation
Props:
- title: Pencerminan Titik $$Q(2,3)$$ terhadap{" "}
$$P(1,1)$$
  Visible text: Pencerminan Titik terhadap{" "}
- description: Titik $$Q(2,3)$$ dicerminkan terhadap{" "}
$$P(1,1)$$ menjadi <InlineMath math="Q'(0,-1)" />.
  Visible text: Titik dicerminkan terhadap{" "}
 menjadi <InlineMath math="Q'(0,-1)" />.
- data: [
{
points: [{ x: 1, y: 1, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P(1,1) - Pusat", at: 0, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Q(2,3) - Asli", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: -1, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Q'(0,-1) - Peta", at: 0, offset: [-0.8, -0.2, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 0, y: -1, z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
}, // Garis QQ'
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1, 1, 10]

## Latihan

1.  Tentukan peta dari titik $$(3,1)$$ oleh pencerminan terhadap titik $$(-2,-1)$$.
2.  Sebuah garis melalui titik $$A(1,2)$$ dan $$B(3,4)$$. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut setelah dicerminkan terhadap titik $$C(0,1)$$.

Visible text: 1. Tentukan peta dari titik oleh pencerminan terhadap titik .
2. Sebuah garis melalui titik dan . Tentukan persamaan bayangan garis tersebut setelah dicerminkan terhadap titik .

### Kunci Jawaban

1.  Titik $$(x,y) = (3,1)$$. Pusat $$(a,b) = (-2,-1)$$.

    Menggunakan rumus <InlineMath math="x' = 2a-x" /> dan <InlineMath math="y' = 2b-y" />:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7" />
      <BlockMath math="y' = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3" />
    </MathContainer>

    Petanya adalah $$(-7,-3)$$. Atau menggunakan operasi matriks:

    <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \end{pmatrix}" />

2.  Pusat pencerminan $$C(0,1)$$. ($$a=0, b=1$$)

    Bayangan titik $$A(1,2)$$:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x'_A = 2(0)-1 = -1" />
      <BlockMath math="y'_A = 2(1)-2 = 0" />
    </MathContainer>

    Jadi <InlineMath math="A'(-1,0)" />.

    Bayangan titik $$B(3,4)$$:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x'_B = 2(0)-3 = -3" />
      <BlockMath math="y'_B = 2(1)-4 = -2" />
    </MathContainer>

    Jadi <InlineMath math="B'(-3,-2)" />.

    Garis bayangan melalui <InlineMath math="A'(-1,0)" /> dan <InlineMath math="B'(-3,-2)" />.

    Gradien <InlineMath math="m' = \frac{-2 - 0}{-3 - (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1" />.

    Persamaan garis:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="y - y'_A = m'(x - x'_A)" />
      
    
    ```math
    y - 0 = 1(x - (-1))
    ```

      
    
    ```math
    y = x + 1
    ```

    </MathContainer>

    atau

    
    
    ```math
    x - y + 1 = 0
    ```

Visible text: 1. Titik . Pusat .

 Menggunakan rumus <InlineMath math="x' = 2a-x" /> dan <InlineMath math="y' = 2b-y" />:

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7" />
 <BlockMath math="y' = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3" />
 </MathContainer>

 Petanya adalah . Atau menggunakan operasi matriks:

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \end{pmatrix}" />

2. Pusat pencerminan . ()

 Bayangan titik :

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x'_A = 2(0)-1 = -1" />
 <BlockMath math="y'_A = 2(1)-2 = 0" />
 </MathContainer>

 Jadi <InlineMath math="A'(-1,0)" />.

 Bayangan titik :

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x'_B = 2(0)-3 = -3" />
 <BlockMath math="y'_B = 2(1)-4 = -2" />
 </MathContainer>

 Jadi <InlineMath math="B'(-3,-2)" />.

 Garis bayangan melalui <InlineMath math="A'(-1,0)" /> dan <InlineMath math="B'(-3,-2)" />.

 Gradien <InlineMath math="m' = \frac{-2 - 0}{-3 - (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1" />.

 Persamaan garis:

 <MathContainer>
 <BlockMath math="y - y'_A = m'(x - x'_A)" />
 
 

 
 

 </MathContainer>

 atau