Pencerminan terhadap Pusat Sembarang

Menggabungkan Translasi dengan Pencerminan terhadap Titik Asal

Bayangan titik $(x,y)$ yang dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ adalah $(-x+2a, -y+2b)$ atau $(2a-x, 2b-y)$ .

Jika pusat pencerminan bukan titik asal, kita memerlukan translasi selain perkalian dengan matriks $2 \times 2$ .

Gunakan tiga operasi berikut:

Kurangi koordinat titik $(x,y)$ dengan koordinat pusat agar diperoleh $(x-a, y-b)$ .
Cerminkan titik yang sudah ditranslasikan terhadap titik asal menggunakan matriks berikut:

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Translasikan kembali hasilnya dengan menambahkan koordinat pusat pencerminan $(a,b)$ .

Secara matematis, jika $(x', y')$ adalah bayangan dari $(x,y)$ :

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Vektor terakhir menghasilkan aturan koordinat $(x,y)\mapsto(2a-x,2b-y)$ .

Operasi Matriks Pencerminan terhadap Titik

Operasi matriks yang terkait dengan pencerminan terhadap titik $P(a,b)$ untuk sembarang titik $(x,y)$ adalah:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Bentuk terpusat yang setara menunjukkan ketiga operasi secara langsung:

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right) \\ &\quad{}+ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{aligned}

Jika bentuk matriks tersebut dijabarkan, hasilnya adalah:

\begin{pmatrix} -x+2a \\ -y+2b \end{pmatrix}

Hasil ini sama dengan aturan koordinat $(x,y) \mapsto (2a-x,2b-y)$ . Dalam bentuk vektor, hubungan yang sama ditulis $Q'=2P-Q$ : titik pusat merupakan titik tengah antara titik asal dan bayangannya.

Menentukan Bayangan Titik

Tentukan bayangan titik $(2,3)$ oleh pencerminan terhadap titik $(1,1)$ .

Titik yang akan dicerminkan adalah $(x,y) = (2,3)$ dan pusat pencerminannya adalah $(a,b) = (1,1)$ .

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Diagram berikut menempatkan pusat tepat di tengah titik asal dan bayangannya.

Pencerminan Titik

Q(2,3)

terhadap

P(1,1)

Titik

Q(2,3)

dicerminkan terhadap

P(1,1)

menjadi

Q'(0,-1)

Latihan

Kedua soal memakai pusat yang bukan titik asal, jadi rumus terhadap titik asal belum bisa dipakai langsung. Soal kedua mencerminkan sebuah garis, sehingga bayangannya harus ditulis sebagai persamaan.

Tentukan bayangan titik $(3,1)$ oleh pencerminan terhadap titik $(-2,-1)$ .
Sebuah garis melalui titik $A(1,2)$ dan $B(3,4)$ . Tentukan persamaan bayangan garis tersebut setelah dicerminkan terhadap titik $C(0,1)$ .

Pembahasan

Titik $(x,y) = (3,1)$ . Pusat $(a,b) = (-2,-1)$ .

Menggunakan rumus $x' = 2a-x$ dan $y' = 2b-y$ :
$x' = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7$
Bayangannya adalah $(-7,-3)$ . Atau menggunakan operasi matriks:

$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Pusat pencerminan $C(0,1)$ . ( $a=0, b=1$ )

Bayangan titik $A(1,2)$ :
$x'_A = 2(0)-1 = -1$
Jadi $A'(-1,0)$ .

Bayangan titik $B(3,4)$ :
$x'_B = 2(0)-3 = -3$
Jadi $B'(-3,-2)$ .

Garis bayangan melalui $A'(-1,0)$ dan $B'(-3,-2)$ .

Gradien $m' = \frac{-2 - 0}{-3 - (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1$ .

Persamaan garis:
$y - y'_A = m'(x - x'_A)$
atau

$x - y + 1 = 0$