Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat

Membalik Tanda Kedua Koordinat Titik

Pencerminan suatu titik $(x,y)$ terhadap titik pusat $O(0,0)$ (titik asal) akan menghasilkan bayangan $(-x,-y)$ . Ini sama dengan rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

Untuk mencari matriks $2 \times 2$ yang menyatakan transformasi ini, kita mulai dengan elemen yang belum diketahui:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Kita ingin mencari $r, s, t, u$ sedemikian sehingga:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}

Dari perkalian matriks, kita dapat menulis:

\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1x + 0y \\ 0x - 1y \end{pmatrix}

Dengan menyamakan koefisien-koefisien yang bersesuaian, kita peroleh:

Untuk baris pertama: $rx + sy = -1x + 0y$ . Ini berarti $r = -1$ dan $s = 0$ .
Untuk baris kedua: $tx + uy = 0x - 1y$ . Ini berarti $t = 0$ dan $u = -1$ .

Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat

Pencerminan terhadap titik pusat $O(0,0)$ mengubah tanda kedua koordinat:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Aplikasi Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat

Matriks di bawah mengubah pencerminan terhadap titik pusat menjadi satu perkalian. Contoh-contohnya memakainya pada titik tunggal, lalu pada seluruh segitiga. Karena pencerminan ini memetakan setiap titik ke titik lawannya, koordinat bayangan cukup dihitung dari koordinat masukan.

Mencerminkan Dua Titik

Tentukan bayangan titik $A(-1,1)$ dan $B(3,-2)$ yang dicerminkan terhadap titik pusat!

Penyelesaian:

Menggunakan matriks transformasi:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Untuk titik $A(-1,1)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_A \\ y'_A \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-1)(-1) + (0)(1) \\ (0)(-1) + (-1)(1) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bayangan titik $A$ adalah $A'(1,-1)$ .

Untuk titik $B(3,-2)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_B \\ y'_B \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-1)(3) + (0)(-2) \\ (0)(3) + (-1)(-2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bayangan titik $B$ adalah $B'(-3,2)$ .

Pencerminan Titik

A

dan

B

terhadap Titik Pusat

Visualisasi pencerminan titik

A(-1,1)

menjadi

A'(1,-1)

dan

B(3,-2)

menjadi

B'(-3,2)

terhadap titik pusat

O(0,0)

Latihan

Kedua soal mencerminkan terhadap titik asal. Soal kedua memakai matriks pencerminan pada setiap titik sudut segitiga.

Tentukan bayangan titik $A(1,-7)$ dan $B(-7,-2)$ yang dicerminkan terhadap titik pusat!
Sebuah segitiga $PQR$ memiliki titik sudut $P(2,2)$ , $Q(5,2)$ , dan $R(3,5)$ . Tentukan koordinat bayangan segitiga $P'Q'R'$ setelah dicerminkan terhadap titik pusat menggunakan perkalian matriks.

Pembahasan

Setiap penyelesaian mengalikan matriks pencerminan dengan koordinat satu titik. Tulis matriksnya lebih dahulu, lalu terapkan pada setiap titik sudut segitiga agar bayangannya tersusun dari titik-titik sudutnya.

Matriks pencerminan terhadap titik pusat:

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Untuk $A(1,-7)$ :

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$

Bayangan titik $A$ adalah $A'(-1,7)$ . Untuk $B(-7,-2)$ :

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

Bayangan titik $B$ adalah $B'(7,2)$ .
Matriks titik $PQR$ :
$\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}$
Bayangan: $P'(-2,-2)$ , $Q'(-5,-2)$ , $R'(-3,-5)$ .

Membalik Tanda Kedua Koordinat Titik

Pencerminan suatu titik $(x,y)$ terhadap titik pusat $O(0,0)$ (titik asal) akan menghasilkan bayangan $(-x,-y)$ . Ini sama dengan rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

Untuk mencari matriks $2 \times 2$ yang menyatakan transformasi ini, kita mulai dengan elemen yang belum diketahui:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Kita ingin mencari $r, s, t, u$ sedemikian sehingga:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}

Dari perkalian matriks, kita dapat menulis:

\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1x + 0y \\ 0x - 1y \end{pmatrix}

Dengan menyamakan koefisien-koefisien yang bersesuaian, kita peroleh:

Untuk baris pertama: $rx + sy = -1x + 0y$ . Ini berarti $r = -1$ dan $s = 0$ .
Untuk baris kedua: $tx + uy = 0x - 1y$ . Ini berarti $t = 0$ dan $u = -1$ .

Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat

Pencerminan terhadap titik pusat $O(0,0)$ mengubah tanda kedua koordinat:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Aplikasi Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat

Mencerminkan Dua Titik

Tentukan bayangan titik $A(-1,1)$ dan $B(3,-2)$ yang dicerminkan terhadap titik pusat!

Penyelesaian:

Menggunakan matriks transformasi:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Untuk titik $A(-1,1)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_A \\ y'_A \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-1)(-1) + (0)(1) \\ (0)(-1) + (-1)(1) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bayangan titik $A$ adalah $A'(1,-1)$ .

Untuk titik $B(3,-2)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_B \\ y'_B \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-1)(3) + (0)(-2) \\ (0)(3) + (-1)(-2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bayangan titik $B$ adalah $B'(-3,2)$ .

Pencerminan Titik

A

dan

B

terhadap Titik Pusat

Visualisasi pencerminan titik

A(-1,1)

menjadi

A'(1,-1)

dan

B(3,-2)

menjadi

B'(-3,2)

terhadap titik pusat

O(0,0)

Latihan

Kedua soal mencerminkan terhadap titik asal. Soal kedua memakai matriks pencerminan pada setiap titik sudut segitiga.

Tentukan bayangan titik $A(1,-7)$ dan $B(-7,-2)$ yang dicerminkan terhadap titik pusat!
Sebuah segitiga $PQR$ memiliki titik sudut $P(2,2)$ , $Q(5,2)$ , dan $R(3,5)$ . Tentukan koordinat bayangan segitiga $P'Q'R'$ setelah dicerminkan terhadap titik pusat menggunakan perkalian matriks.

Pembahasan

Matriks pencerminan terhadap titik pusat:

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Untuk $A(1,-7)$ :

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$

Bayangan titik $A$ adalah $A'(-1,7)$ . Untuk $B(-7,-2)$ :

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

Bayangan titik $B$ adalah $B'(7,2)$ .
Matriks titik $PQR$ :
$\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}$
Bayangan: $P'(-2,-2)$ , $Q'(-5,-2)$ , $R'(-3,-5)$ .