# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/matriks-pencerminan
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-matrix/id.mdx

Pelajari matriks pencerminan terhadap sumbu koordinat dan garis diagonal. Pelajari cara mentransformasi titik dan segitiga dengan perhitungan matriks detail.

---

## Matriks Pencerminan terhadap Sumbu Horizontal

Ingat kembali bahwa pencerminan titik $$(x,y)$$ terhadap sumbu $$x$$ menghasilkan bayangan $$(x,-y)$$.

Visible text: Ingat kembali bahwa pencerminan titik terhadap sumbu menghasilkan bayangan .

Kita mencari matriks $$\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$$ sedemikian sehingga:

Visible text: Kita mencari matriks sedemikian sehingga:

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x + 0y \\ 0x - 1y \end{pmatrix}
```

Dengan menyamakan koefisien, kita peroleh:

- $$rx + sy = 1x + 0y \implies r=1, s=0$$
- $$tx + uy = 0x - 1y \implies t=0, u=-1$$

Visible text: - 
-

Jadi, matriks pencerminan terhadap sumbu $$x$$ adalah $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Jadi, matriks pencerminan terhadap sumbu adalah .

## Matriks Pencerminan terhadap Sumbu Vertikal

Pencerminan titik $$(x,y)$$ terhadap sumbu $$y$$ menghasilkan $$(-x,y)$$.

Visible text: Pencerminan titik terhadap sumbu menghasilkan .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1x + 0y \\ 0x + 1y \end{pmatrix}
```

Diperoleh $$r=-1, s=0, t=0, u=1$$.

Visible text: Diperoleh .

Matriksnya adalah $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriksnya adalah .

## Matriks Pencerminan terhadap Garis Diagonal Utama

Pencerminan titik $$(x,y)$$ terhadap garis $$y=x$$ menghasilkan $$(y,x)$$.

Visible text: Pencerminan titik terhadap garis menghasilkan .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0x + 1y \\ 1x + 0y \end{pmatrix}
```

Diperoleh $$r=0, s=1, t=1, u=0$$.

Visible text: Diperoleh .

Matriksnya adalah $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriksnya adalah .

## Matriks Pencerminan terhadap Garis Diagonal Negatif

Pencerminan titik $$(x,y)$$ terhadap garis $$y=-x$$ menghasilkan $$(-y,-x)$$.

Visible text: Pencerminan titik terhadap garis menghasilkan .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0x - 1y \\ -1x + 0y \end{pmatrix}
```

Diperoleh $$r=0, s=-1, t=-1, u=0$$.

Visible text: Diperoleh .

Matriksnya adalah $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriksnya adalah .

## Matriks-Matriks Pencerminan Dasar

- Matriks pencerminan terhadap sumbu $$x$$: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
- Matriks pencerminan terhadap sumbu $$y$$: $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
- Matriks pencerminan terhadap garis $$y=x$$: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
- Matriks pencerminan terhadap garis $$y=-x$$: $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Visible text: - Matriks pencerminan terhadap sumbu : 
- Matriks pencerminan terhadap sumbu : 
- Matriks pencerminan terhadap garis : 
- Matriks pencerminan terhadap garis :

## Mencari Peta Titik dengan Matriks

Carilah peta dari $$(3,-4)$$ yang dicerminkan terhadap sumbu $$x$$.

Visible text: Carilah peta dari yang dicerminkan terhadap sumbu .

**Alternatif Penyelesaian:**

Menggunakan matriks pencerminan terhadap sumbu $$x$$:

Visible text: Menggunakan matriks pencerminan terhadap sumbu :

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(3) + (0)(-4) \\ (0)(3) + (-1)(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}
```

Jadi, petanya adalah $$(3,4)$$.

Visible text: Jadi, petanya adalah .

## Mencari Peta Segitiga dengan Matriks

Tentukan peta dari segitiga $$ABC$$ dengan $$A(3,1)$$, $$B(-2,3)$$, dan $$C(2,-1)$$ yang dicerminkan terhadap sumbu $$y$$!

Visible text: Tentukan peta dari segitiga dengan , , dan yang dicerminkan terhadap sumbu !

**Alternatif Penyelesaian:**

Matriks pencerminan terhadap sumbu $$y$$ adalah $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriks pencerminan terhadap sumbu adalah .

Matriks titik-titik sudut segitiga $$ABC$$: $$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriks titik-titik sudut segitiga : .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} x'_A & x'_B & x'_C \\ y'_A & y'_B & y'_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
```

```math
= \begin{pmatrix} (-1)(3)+0 & (-1)(-2)+0 & (-1)(2)+0 \\ 0+(1)(1) & 0+(1)(3) & 0+(1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
```

Sehingga, petanya adalah segitiga <InlineMath math="A'B'C'" /> dengan <InlineMath math="A'(-3,1)" />, <InlineMath math="B'(2,3)" />, dan <InlineMath math="C'(-2,-1)" />.

Component: LineEquation
Props:
- title: Pencerminan $$\triangle ABC$$ terhadap sumbu $$y$$ dengan
Matriks
  Visible text: Pencerminan terhadap sumbu dengan
Matriks
- description: Segitiga $$ABC$$ dicerminkan menjadi{" "}
<InlineMath math="A'B'C'" /> terhadap sumbu $$y$$.
  Visible text: Segitiga dicerminkan menjadi{" "}
<InlineMath math="A'B'C'" /> terhadap sumbu .
- data: [
...[
{
from: { x: 3, y: 1, z: 0, label: "A(3,1)" },
to: { x: -2, y: 3, z: 0, label: "B(-2,3)" },
},
{
from: { x: -2, y: 3, z: 0, label: "B(-2,3)" },
to: { x: 2, y: -1, z: 0, label: "C(2,-1)" },
},
{
from: { x: 2, y: -1, z: 0, label: "C(2,-1)" },
to: { x: 3, y: 1, z: 0, label: "A(3,1)" },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
...[
{
from: { x: -3, y: 1, z: 0, label: "A'(-3,1)" },
to: { x: 2, y: 3, z: 0, label: "B'(2,3)" },
},
{
from: { x: 2, y: 3, z: 0, label: "B'(2,3)" },
to: { x: -2, y: -1, z: 0, label: "C'(-2,-1)" },
},
{
from: { x: -2, y: -1, z: 0, label: "C'(-2,-1)" },
to: { x: -3, y: 1, z: 0, label: "A'(-3,1)" },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 12]

## Latihan

1.  Carilah peta dari titik $$(3,5)$$ yang dicerminkan terhadap sumbu $$x$$ dengan menggunakan perkalian matriks $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.
2.  Tentukan peta dari segitiga $$ABC$$ dengan $$A(3,1)$$, $$B(-2,3)$$, dan $$C(2,-1)$$ yang dicerminkan terhadap garis $$y=-x$$!

Visible text: 1. Carilah peta dari titik yang dicerminkan terhadap sumbu dengan menggunakan perkalian matriks .
2. Tentukan peta dari segitiga dengan , , dan yang dicerminkan terhadap garis !

### Kunci Jawaban

1.  Peta dari titik $$(3,5)$$ yang dicerminkan terhadap sumbu $$x$$ dengan menggunakan perkalian matriks $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ adalah:

    <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}" />

    Peta: $$(3,-5)$$.

2.  Matriks pencerminan terhadap $$y=-x$$ adalah $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$.

    Matriks titik $$ABC$$: $$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
    ```

      
    
    ```math
    = \begin{pmatrix} (0)(3)+(-1)(1) & (0)(-2)+(-1)(3) & (0)(2)+(-1)(-1) \\ (-1)(3)+(0)(1) & (-1)(-2)+(0)(3) & (-1)(2)+(0)(-1) \end{pmatrix}
    ```

      
    
    ```math
    = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & -2 \end{pmatrix}
    ```

    </MathContainer>

    Peta: <InlineMath math="A'(-1,-3)" />, <InlineMath math="B'(-3,2)" />, <InlineMath math="C'(1,-2)" />.

Visible text: 1. Peta dari titik yang dicerminkan terhadap sumbu dengan menggunakan perkalian matriks adalah:

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}" />

 Peta: .

2. Matriks pencerminan terhadap adalah .

 Matriks titik : .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Peta: <InlineMath math="A'(-1,-3)" />, <InlineMath math="B'(-3,2)" />, <InlineMath math="C'(1,-2)" />.