# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/matriks-rotasi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/rotation-matrix/id.mdx
Pelajari matriks rotasi untuk transformasi 2D dengan penurunan rumus, contoh praktis, dan penerapan pada titik asal serta titik sebarang.
---
## Menemukan Matriks Rotasi terhadap Titik Asal
Peta dari titik $$(x,y)$$ yang dirotasikan terhadap titik asal $$(0,0)$$ sebesar $$\theta$$ adalah $$(x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$$.
Visible text: Peta dari titik yang dirotasikan terhadap titik asal sebesar adalah .
Kita ingin menemukan matriks $$2 \times 2$$, misalkan $$\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$$, yang merepresentasikan transformasi rotasi ini.
Visible text: Kita ingin menemukan matriks , misalkan , yang merepresentasikan transformasi rotasi ini.
Matriks ini harus memenuhi:
```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}
```
Dari perkalian matriks di sisi kiri, kita mendapatkan:
```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}
```
Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian:
- Baris pertama: $$rx + sy = x \cos \theta - y \sin \theta$$.
Agar persamaan ini berlaku untuk semua $$x$$ dan $$y$$, maka koefisien $$x$$ harus sama dan koefisien $$y$$ harus sama. Jadi, $$r = \cos \theta$$ dan $$s = -\sin \theta$$.
- Baris kedua: $$tx + uy = x \sin \theta + y \cos \theta$$.
Dengan cara yang sama, $$t = \sin \theta$$ dan $$u = \cos \theta$$.
Visible text: - Baris pertama: .
Agar persamaan ini berlaku untuk semua dan , maka koefisien harus sama dan koefisien harus sama. Jadi, dan .
- Baris kedua: .
Dengan cara yang sama, dan .
### Matriks Rotasi terhadap Titik Asal
Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $$\theta$$ radian terhadap titik pusat $$O(0,0)$$ adalah:
Visible text: Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar radian terhadap titik pusat adalah:
```math
R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
```
## Operasi Matriks terkait Rotasi terhadap Titik Sebarang
Untuk merotasikan titik $$(x,y)$$ terhadap titik sebarang $$P(a,b)$$ sebesar sudut $$\theta$$, kita lakukan tiga langkah:
Visible text: Untuk merotasikan titik terhadap titik sebarang sebesar sudut , kita lakukan tiga langkah:
1. Translasikan titik $$(x,y)$$ sehingga $$P(a,b)$$ menjadi titik asal: $$(x-a, y-b)$$.
2. Rotasikan titik hasil translasi terhadap titik asal sebesar $$\theta$$ menggunakan matriks $$R_\theta$$.
3. Translasikan kembali titik hasil rotasi dengan menambahkan $$(a,b)$$.
Visible text: 1. Translasikan titik sehingga menjadi titik asal: .
2. Rotasikan titik hasil translasi terhadap titik asal sebesar menggunakan matriks .
3. Translasikan kembali titik hasil rotasi dengan menambahkan .
### Operasi Matriks Rotasi terhadap Titik Sebarang
Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $$\theta$$ radian terhadap titik $$(a,b)$$ adalah:
Visible text: Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar radian terhadap titik adalah:
```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```
## Mencari Matriks Rotasi Tertentu
Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $$\theta = \frac{1}{4}\pi$$ radian ($$45^\circ$$) terhadap titik pusat adalah:
Visible text: Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar radian () terhadap titik pusat adalah:
Kita tahu $$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ dan $$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$.
Visible text: Kita tahu dan .
```math
R_{\frac{\pi}{4}} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\ \sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
```
Ini adalah matriks yang dicari.
Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Rotasi Titik $$(2,0)$$ sebesar $$45^\circ$${" "}
terhadap Titik Asal
Visible text: Visualisasi Rotasi Titik sebesar {" "}
terhadap Titik Asal
- description: Titik $$A(2,0)$$ dirotasi $$45^\circ$${" "}
menjadi .
$$\sqrt{2} \approx 1.414$$.
Visible text: Titik dirotasi {" "}
menjadi .
.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("SKY"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "A(2,0)", at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: Math.sqrt(2), y: Math.sqrt(2), z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "A'(√2, √2)", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: Math.sqrt(2), y: Math.sqrt(2), z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 8]
## Latihan
1. Tentukan matriks-matriks yang berkaitan dengan rotasi terhadap titik pusat $$O(0,0)$$ sebesar $$\frac{1}{6}\pi$$ radian.
2. Tentukan peta dari titik $$P(4,2)$$ jika dirotasikan terhadap titik asal $$O(0,0)$$ sebesar $$60^\circ$$.
3. Tentukan peta dari titik $$Q(3,1)$$ jika dirotasikan terhadap titik $$C(1,-2)$$ sebesar $$90^\circ$$.
Visible text: 1. Tentukan matriks-matriks yang berkaitan dengan rotasi terhadap titik pusat sebesar radian.
2. Tentukan peta dari titik jika dirotasikan terhadap titik asal sebesar .
3. Tentukan peta dari titik jika dirotasikan terhadap titik sebesar .
### Kunci Jawaban
1. Diketahui $$\theta = \frac{\pi}{6}$$ atau $$30^\circ$$:
```math
\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
```
```math
\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}
```
Matriks rotasi:
```math
\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
```
2. Titik $$P(4,2)$$, $$\theta = 60^\circ$$. $$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.
Peta: .
3. Diketahui titik $$Q(3,1)$$, pusat $$C(1,-2)$$, $$\theta = 90^\circ$$. $$(a,b)=(1,-2)$$.
```math
\cos 90^\circ = 0
```
```math
\sin 90^\circ = 1
```
```math
= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}
```
Peta: .
Visible text: 1. Diketahui atau :
Matriks rotasi:
2. Titik , . , .
Peta: .
3. Diketahui titik , pusat , . .
Peta: .