# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/matriks-transformasi-komposisi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/composite-transformation-matrix/id.mdx

Pelajari matriks transformasi komposisi dengan contoh perhitungan. Gabungkan refleksi, rotasi, dan dilatasi menggunakan perkalian matriks.

---

## Komposisi Transformasi dengan Menggunakan Matriks

Dalam geometri, transformasi adalah operasi yang memindahkan atau mengubah bentuk objek. Ketika beberapa transformasi diterapkan secara berurutan pada sebuah objek, ini disebut sebagai komposisi transformasi.

Kita dapat menggunakan matriks untuk merepresentasikan banyak transformasi geometri dan juga untuk mencari hasil dari komposisi transformasi tersebut.

Kita akan fokus pada transformasi-transformasi yang dapat direpresentasikan dengan matriks berordo $$2 \times 2$$. Sebagai contoh, pencerminan terhadap sumbu $$x$$ dapat direpresentasikan oleh matriks $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$. Jika titik $$(x,y)$$ dicerminkan terhadap sumbu $$x$$, petanya dapat ditemukan dengan mengalikan matriks ini dengan vektor posisi titik: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$.

Visible text: Kita akan fokus pada transformasi-transformasi yang dapat direpresentasikan dengan matriks berordo . Sebagai contoh, pencerminan terhadap sumbu dapat direpresentasikan oleh matriks . Jika titik dicerminkan terhadap sumbu , petanya dapat ditemukan dengan mengalikan matriks ini dengan vektor posisi titik: .

Berikut adalah beberapa transformasi dasar beserta matriksnya yang sering digunakan dalam komposisi transformasi:

1.  Pencerminan terhadap sumbu $$x$$: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
2.  Pencerminan terhadap sumbu $$y$$: $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
3.  Pencerminan terhadap garis $$y=x$$: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
4.  Pencerminan terhadap garis $$y=-x$$: $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
5.  Pencerminan terhadap titik pusat $$O(0,0)$$ (setara dengan rotasi $$180^\circ$$): $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
6.  Rotasi terhadap titik asal $$(0,0)$$ sebesar sudut $$\theta$$: $$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$
7.  Dilatasi terhadap titik asal $$(0,0)$$ dengan faktor skala $$k$$: $$\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$$

Visible text: 1. Pencerminan terhadap sumbu : 
2. Pencerminan terhadap sumbu : 
3. Pencerminan terhadap garis : 
4. Pencerminan terhadap garis : 
5. Pencerminan terhadap titik pusat (setara dengan rotasi ): 
6. Rotasi terhadap titik asal sebesar sudut : 
7. Dilatasi terhadap titik asal dengan faktor skala :

### Mengoperasikan Komposisi Transformasi dengan Menggunakan Matriks

Komposisi transformasi berarti melakukan beberapa transformasi secara berurutan. Jika transformasi $$T_1$$ diikuti oleh transformasi $$T_2$$, kita menotasikannya sebagai $$T_2 \circ T_1$$. Artinya, $$T_1$$ diterapkan terlebih dahulu, kemudian hasilnya ditransformasikan oleh $$T_2$$.

Visible text: Komposisi transformasi berarti melakukan beberapa transformasi secara berurutan. Jika transformasi diikuti oleh transformasi , kita menotasikannya sebagai . Artinya, diterapkan terlebih dahulu, kemudian hasilnya ditransformasikan oleh .

Misalkan matriks yang bersesuaian dengan $$T_1$$ adalah $$M_1$$, dan matriks yang bersesuaian dengan $$T_2$$ adalah $$M_2$$. Untuk mencari peta dari titik $$P(x,y)$$ oleh komposisi $$T_2 \circ T_1$$, ada dua cara yang ekuivalen:

Visible text: Misalkan matriks yang bersesuaian dengan adalah , dan matriks yang bersesuaian dengan adalah . Untuk mencari peta dari titik oleh komposisi , ada dua cara yang ekuivalen:

1.  **Menerapkan Transformasi secara Berurutan pada Titik:**

    - Hitung peta <InlineMath math="P'(x',y')" /> dari $$P(x,y)$$ oleh $$T_1$$: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}" />.
    - Kemudian, hitung peta <InlineMath math="P''(x'',y'')" /> dari <InlineMath math="P'(x',y')" /> oleh $$T_2$$: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}" />.

    Jika kita substitusikan langkah (a) ke (b), kita dapatkan: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \left( M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right)" />.

2.  **Mencari Matriks Komposisi Terlebih Dahulu:**

    - Tentukan matriks $$M$$ yang merepresentasikan komposisi transformasi $$T_2 \circ T_1$$. Matriks ini adalah hasil perkalian $$M_2 M_1$$.

      **Perhatikan urutannya:** matriks transformasi kedua ($$M_2$$) dikalikan dari kiri dengan matriks transformasi pertama ($$M_1$$).

    - Hitung peta <InlineMath math="P''(x'',y'')" /> dari $$P(x,y)$$ menggunakan matriks komposisi $$M$$: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (M_2 M_1) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}" />.

Visible text: 1. **Menerapkan Transformasi secara Berurutan pada Titik:**

 - Hitung peta <InlineMath math="P'(x',y')" /> dari oleh : <InlineMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}" />.
 - Kemudian, hitung peta <InlineMath math="P''(x'',y'')" /> dari <InlineMath math="P'(x',y')" /> oleh : <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}" />.

 Jika kita substitusikan langkah (a) ke (b), kita dapatkan: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \left( M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right)" />.

2. **Mencari Matriks Komposisi Terlebih Dahulu:**

 - Tentukan matriks yang merepresentasikan komposisi transformasi . Matriks ini adalah hasil perkalian .

 **Perhatikan urutannya:** matriks transformasi kedua () dikalikan dari kiri dengan matriks transformasi pertama ().

 - Hitung peta <InlineMath math="P''(x'',y'')" /> dari menggunakan matriks komposisi : <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (M_2 M_1) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}" />.

Kedua cara ini menghasilkan peta akhir yang sama karena sifat asosiatif perkalian matriks, yaitu $$M_2 (M_1 P) = (M_2 M_1) P$$, di mana $$P$$ adalah vektor kolom $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$.

Visible text: Kedua cara ini menghasilkan peta akhir yang sama karena sifat asosiatif perkalian matriks, yaitu , di mana adalah vektor kolom .

**Contoh Ilustratif:**

Misalkan $$T_1$$ adalah pencerminan terhadap sumbu $$y$$, dan $$T_2$$ adalah rotasi terhadap titik asal $$O$$ sebesar $$\frac{1}{2}\pi$$ radian ($$90^\circ$$). Kita ingin mencari peta titik $$P(x,y)$$ oleh $$T_2 \circ T_1$$.

Visible text: Misalkan adalah pencerminan terhadap sumbu , dan adalah rotasi terhadap titik asal sebesar radian (). Kita ingin mencari peta titik oleh .

Matriks untuk $$T_1$$ (pencerminan sumbu $$y$$) adalah $$M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriks untuk (pencerminan sumbu ) adalah .

Matriks untuk $$T_2$$ (rotasi $$90^\circ$$) adalah $$M_2 = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriks untuk (rotasi ) adalah .

**Cara $$1$$: Transformasi Berurutan pada Titik**

Visible text: **Cara : Transformasi Berurutan pada Titik**

- Peta $$P(x,y)$$ oleh $$T_1$$:

  <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}" />

  Jadi <InlineMath math="P'(-x,y)" />.

- Peta <InlineMath math="P'(-x,y)" /> oleh $$T_2$$:

  <BlockMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(-x)+(-1)(y) \\ (1)(-x)+(0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}" />

- Peta akhirnya adalah <InlineMath math="P''(-y,-x)" />.

Visible text: - Peta oleh :

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}" />

 Jadi <InlineMath math="P'(-x,y)" />.

- Peta <InlineMath math="P'(-x,y)" /> oleh :

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(-x)+(-1)(y) \\ (1)(-x)+(0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}" />

- Peta akhirnya adalah <InlineMath math="P''(-y,-x)" />.

**Cara $$2$$: Matriks Komposisi Terlebih Dahulu**

Visible text: **Cara : Matriks Komposisi Terlebih Dahulu**

- Matriks komposisi $$M = M_2 M_1$$:

  
  
  ```math
  M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \\ (1)(-1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
  ```

- Peta $$P(x,y)$$ oleh $$M$$:

  <BlockMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(x)+(-1)(y) \\ (-1)(x)+(0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}" />

- Peta akhirnya adalah <InlineMath math="P''(-y,-x)" />.

Visible text: - Matriks komposisi :

 
 

- Peta oleh :

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(x)+(-1)(y) \\ (-1)(x)+(0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}" />

- Peta akhirnya adalah <InlineMath math="P''(-y,-x)" />.

Kedua cara memberikan hasil yang sama. Menggunakan matriks komposisi ($$M_2 M_1$$) seringkali lebih efisien jika kita perlu mentransformasikan banyak titik dengan komposisi yang sama.

Visible text: Kedua cara memberikan hasil yang sama. Menggunakan matriks komposisi () seringkali lebih efisien jika kita perlu mentransformasikan banyak titik dengan komposisi yang sama.

## Aturan Matriks Komposisi

Misal, matriks yang berkaitan dengan transformasi $$T_1$$ dan $$T_2$$ berturut-turut adalah $$M_1 = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$$ dan $$M_2 = \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix}$$.

Visible text: Misal, matriks yang berkaitan dengan transformasi dan berturut-turut adalah dan .

Maka, matriks yang terkait dengan komposisi transformasi $$T_2 \circ T_1$$ (Transformasi $$T_1$$ dilanjutkan dengan $$T_2$$) adalah $$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$$.

Visible text: Maka, matriks yang terkait dengan komposisi transformasi (Transformasi dilanjutkan dengan ) adalah .

Ingat bahwa urutan perkalian matriks penting. Matriks untuk transformasi yang dilakukan lebih dulu ($$M_1$$) ditulis di sebelah kanan.

Visible text: Ingat bahwa urutan perkalian matriks penting. Matriks untuk transformasi yang dilakukan lebih dulu () ditulis di sebelah kanan.

## Contoh Penerapan

### Komposisi Dua Pencerminan

Tentukan peta dari titik $$(2,5)$$ yang dicerminkan terhadap sumbu $$x$$ dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu $$y$$.

Visible text: Tentukan peta dari titik yang dicerminkan terhadap sumbu dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu .

**Alternatif Penyelesaian:**

Misalkan $$T_1$$ adalah pencerminan terhadap sumbu $$x$$, dan $$T_2$$ adalah pencerminan terhadap sumbu $$y$$.

Visible text: Misalkan adalah pencerminan terhadap sumbu , dan adalah pencerminan terhadap sumbu .

Matriks $$T_1$$ ($$M_1$$) adalah $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriks () adalah .

Matriks $$T_2$$ ($$M_2$$) adalah $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriks () adalah .

Komposisi transformasi $$T_2 \circ T_1$$ memiliki matriks $$M = M_2 M_1$$.

Visible text: Komposisi transformasi memiliki matriks .

```math
M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(-1) \\ (0)(1)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
```

Peta dari titik $$(2,5)$$ adalah:

Visible text: Peta dari titik adalah:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(2)+(0)(5) \\ (0)(2)+(-1)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}
```

Jadi, peta titiknya adalah $$(-2,-5)$$.

Visible text: Jadi, peta titiknya adalah .

### Komposisi Refleksi dan Rotasi

Tentukan peta dari titik $$(-2,3)$$ yang ditransformasikan oleh komposisi dari refleksi sumbu $$y$$ yang dilanjutkan dengan rotasi $$180^\circ$$ terhadap titik asal.

Visible text: Tentukan peta dari titik yang ditransformasikan oleh komposisi dari refleksi sumbu yang dilanjutkan dengan rotasi terhadap titik asal.

**Alternatif Penyelesaian:**

Misalkan $$T_1$$ adalah refleksi sumbu $$y$$, dan $$T_2$$ adalah rotasi $$180^\circ$$ terhadap titik asal.

Visible text: Misalkan adalah refleksi sumbu , dan adalah rotasi terhadap titik asal.

Matriks $$T_1$$ ($$M_1$$) adalah $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriks () adalah .

Matriks $$T_2$$ ($$M_2$$) adalah $$\begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Matriks () adalah .

Komposisi transformasi $$T_2 \circ T_1$$ memiliki matriks $$M = M_2 M_1$$.

Visible text: Komposisi transformasi memiliki matriks .

```math
M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(1) \\ (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
```

Peta dari titik $$(-2,3)$$ adalah:

Visible text: Peta dari titik adalah:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(-2)+(0)(3) \\ (0)(-2)+(-1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}
```

Jadi, peta titiknya adalah $$(-2,-3)$$.

Visible text: Jadi, peta titiknya adalah .

### Komposisi Tiga Transformasi

Misalkan, kalian ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik $$P(2,5)$$, yakni refleksi terhadap sumbu $$x$$, rotasi $$90^\circ$$ terhadap titik asal, dan setengah putar ($$180^\circ$$ rotasi terhadap titik asal). Tentukan petanya!

Visible text: Misalkan, kalian ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik , yakni refleksi terhadap sumbu , rotasi terhadap titik asal, dan setengah putar ( rotasi terhadap titik asal). Tentukan petanya!

**Alternatif Penyelesaian:**

Misalkan:

- $$T_1$$: Refleksi terhadap sumbu $$x$$.

  Matriks $$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

- $$T_2$$: Rotasi $$90^\circ$$ terhadap
  titik asal.

  Matriks $$M_2 = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

- $$T_3$$: Setengah putar ($$180^\circ$$ rotasi
  terhadap titik asal).

  Matriks $$M_3 = \begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Visible text: - : Refleksi terhadap sumbu .

 Matriks 

- : Rotasi terhadap
 titik asal.

 Matriks 

- : Setengah putar ( rotasi
 terhadap titik asal).

 Matriks

Komposisi transformasi adalah $$T_3 \circ T_2 \circ T_1$$. Matriksnya adalah $$M = M_3 M_2 M_1$$.

Visible text: Komposisi transformasi adalah . Matriksnya adalah .

Component: MathContainer
Children:

```math
M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(-1) \\ (1)(1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
```

```math
M = M_3 (M_2 M_1) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(0)+(0)(1) & (-1)(1)+(0)(0) \\ (0)(0)+(-1)(1) & (0)(1)+(-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
```

Peta dari $$P(2,5)$$ adalah:

Visible text: Peta dari adalah:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (-1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix}
```

Jadi, peta titiknya adalah $$(-5,-2)$$.

Visible text: Jadi, peta titiknya adalah .

## Latihan

Misalkan, kita ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik $$P(2,5)$$, yakni refleksi terhadap sumbu $$y$$, rotasi $$180^\circ$$ terhadap titik asal, dan pencerminan terhadap garis $$y=x$$. Tentukan petanya!

Visible text: Misalkan, kita ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik , yakni refleksi terhadap sumbu , rotasi terhadap titik asal, dan pencerminan terhadap garis . Tentukan petanya!

### Kunci Jawaban

Misalkan:

- $$T_1$$: Refleksi terhadap sumbu $$y$$.

  Matriks $$M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

- $$T_2$$: Rotasi $$180^\circ$$ terhadap
  titik asal.

  Matriks $$M_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

- $$T_3$$: Pencerminan terhadap garis $$y=x$$
  .

  Matriks $$M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Visible text: - : Refleksi terhadap sumbu .

 Matriks .

- : Rotasi terhadap
 titik asal.

 Matriks .

- : Pencerminan terhadap garis 
 .

 Matriks

Komposisi transformasi adalah $$T_3 \circ T_2 \circ T_1$$. Matriksnya adalah $$M = M_3 M_2 M_1$$.

Visible text: Komposisi transformasi adalah . Matriksnya adalah .

**Langkah** $$1$$: Hitung $$M_2 M_1$$.

Visible text: **Langkah** : Hitung .

```math
M_2 M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(1) \\ (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
```

**Langkah** $$2$$: Hitung $$M = M_3 (M_2 M_1)$$.

Visible text: **Langkah** : Hitung .

```math
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(-1) \\ (1)(1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
```

Peta dari $$P(2,5)$$ adalah:

Visible text: Peta dari adalah:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}
```

Jadi, peta titiknya adalah $$(-5,2)$$.

Visible text: Jadi, peta titiknya adalah .