# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/matriks-translasi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/translation-matrix/id.mdx

Pelajari operasi matriks translasi dan koordinat homogen: terapkan penjumlahan vektor dan matriks 3x3 untuk transformasi geometri dengan contoh.

---

## Operasi Matriks terkait Translasi

Translasi atau pergeseran titik $$(x,y)$$ oleh vektor $$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$ menghasilkan bayangan $$(x+a, y+b)$$.

Visible text: Translasi atau pergeseran titik oleh vektor menghasilkan bayangan .

Operasi ini dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan vektor (matriks kolom):

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \end{pmatrix}
```

Ini berbeda dengan transformasi seperti rotasi atau refleksi terhadap sumbu/garis yang dapat direpresentasikan oleh perkalian matriks $$2 \times 2$$. Translasi murni adalah operasi penjumlahan vektor.

Visible text: Ini berbeda dengan transformasi seperti rotasi atau refleksi terhadap sumbu/garis yang dapat direpresentasikan oleh perkalian matriks . Translasi murni adalah operasi penjumlahan vektor.

Namun, jika kita ingin menggabungkan translasi dengan transformasi linear lainnya menggunakan perkalian matriks, kita sering menggunakan **koordinat homogen**. Dengan koordinat homogen, titik $$(x,y)$$ direpresentasikan sebagai $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$$, dan matriks transformasi menjadi $$3 \times 3$$. Untuk translasi oleh $$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$, matriksnya adalah:

Visible text: Namun, jika kita ingin menggabungkan translasi dengan transformasi linear lainnya menggunakan perkalian matriks, kita sering menggunakan **koordinat homogen**. Dengan koordinat homogen, titik direpresentasikan sebagai , dan matriks transformasi menjadi . Untuk translasi oleh , matriksnya adalah:

```math
T_{(a,b)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
```

Sehingga:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ 1 \end{pmatrix}
```

### Operasi Matriks

Operasi matriks yang terkait dengan translasi oleh vektor $$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$ terhadap titik $$(x,y)$$ adalah:

Visible text: Operasi matriks yang terkait dengan translasi oleh vektor terhadap titik adalah:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

## Mencari Peta Titik dengan Operasi Matriks

Tentukan peta dari titik $$(-2,3)$$ yang ditranslasikan oleh vektor $$\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$$ menggunakan operasi matriks.

Visible text: Tentukan peta dari titik yang ditranslasikan oleh vektor menggunakan operasi matriks.

**Alternatif Penyelesaian:**

Berdasarkan operasi matriks, petanya dapat ditentukan dengan:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + (-3) \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \end{pmatrix}
```

Petanya adalah $$(-5,7)$$.

Visible text: Petanya adalah .

Component: LineEquation
Props:
- title: Translasi Titik $$P(-2,3)$$ oleh Vektor{" "}
$$\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$$
  Visible text: Translasi Titik oleh Vektor{" "}
- description: Visualisasi translasi titik $$P(-2,3)$$ menjadi{" "}
<InlineMath math="P'(-5,7)" /> oleh vektor translasi.
  Visible text: Visualisasi translasi titik menjadi{" "}
<InlineMath math="P'(-5,7)" /> oleh vektor translasi.
- data: [
{
points: [{ x: -2, y: 3, z: 0 }],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P(-2,3)", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: -5, y: 7, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P'(-5,7)", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -2, y: 3, z: 0 },
{ x: -5, y: 7, z: 0 },
],
color: getColor("ROSE"),
lineWidth: 2,
cone: { position: "end", size: 0.3 },
labels: [{ text: "vektor (-3,4)", at: 0, offset: [-0.5, 2, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [-10, 10, 12]

## Latihan

1.  Tentukan peta dari titik $$(4,-5)$$ yang ditranslasikan oleh vektor $$\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$$ menggunakan operasi matriks.
2.  Sebuah segitiga $$KLM$$ memiliki titik sudut $$K(1,0)$$, $$L(4,2)$$, dan $$M(2,5)$$. Segitiga ini ditranslasikan oleh vektor $$T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$. Tentukan koordinat bayangan segitiga <InlineMath math="K'L'M'" />.

Visible text: 1. Tentukan peta dari titik yang ditranslasikan oleh vektor menggunakan operasi matriks.
2. Sebuah segitiga memiliki titik sudut , , dan . Segitiga ini ditranslasikan oleh vektor . Tentukan koordinat bayangan segitiga <InlineMath math="K'L'M'" />.

### Kunci Jawaban

1.  Titik $$(4,-5)$$, vektor translasi $$\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$$.

    <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ -5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}" />

    Peta: $$(-1,-1)$$.

2.  Vektor translasi $$T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$.

    - Untuk $$K(1,0)$$: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'_K \\ y'_K \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}" />. Jadi <InlineMath math="K'(-1,1)" />.
    - Untuk $$L(4,2)$$: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'_L \\ y'_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}" />. Jadi <InlineMath math="L'(2,3)" />.
    - Untuk $$M(2,5)$$: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'_M \\ y'_M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}" />. Jadi <InlineMath math="M'(0,6)" />.

    Koordinat bayangan: <InlineMath math="K'(-1,1)" />, <InlineMath math="L'(2,3)" />, <InlineMath math="M'(0,6)" />.

Visible text: 1. Titik , vektor translasi .

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ -5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}" />

 Peta: .

2. Vektor translasi .

 - Untuk : <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'_K \\ y'_K \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}" />. Jadi <InlineMath math="K'(-1,1)" />.
 - Untuk : <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'_L \\ y'_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}" />. Jadi <InlineMath math="L'(2,3)" />.
 - Untuk : <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'_M \\ y'_M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}" />. Jadi <InlineMath math="M'(0,6)" />.

 Koordinat bayangan: <InlineMath math="K'(-1,1)" />, <InlineMath math="L'(2,3)" />, <InlineMath math="M'(0,6)" />.