# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/pencerminan-terhadap-garis-diagonal-utama
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-y-equals-x/id.mdx

Temukan pertukaran koordinat pada pencerminan garis diagonal utama dengan tutorial jelas untuk titik, segitiga, dan persamaan.

---

## Memahami Pencerminan terhadap Garis Diagonal Utama

Pencerminan terhadap garis $$y = x$$ adalah transformasi geometri yang memetakan setiap titik suatu objek ke posisi baru dengan garis $$y = x$$ bertindak sebagai cermin.

Visible text: Pencerminan terhadap garis adalah transformasi geometri yang memetakan setiap titik suatu objek ke posisi baru dengan garis bertindak sebagai cermin.

Jarak titik asli ke garis cermin sama dengan jarak titik bayangan ke garis cermin, dan garis yang menghubungkan titik asli dengan bayangannya akan tegak lurus terhadap garis $$y = x$$.

Visible text: Jarak titik asli ke garis cermin sama dengan jarak titik bayangan ke garis cermin, dan garis yang menghubungkan titik asli dengan bayangannya akan tegak lurus terhadap garis .

### Aturan Pencerminan terhadap Garis Diagonal Utama

Jika sebuah titik $$P(x, y)$$ dicerminkan terhadap garis $$y = x$$, maka koordinat bayangannya, <InlineMath math="P'(x', y')" />, akan mengikuti aturan sederhana:

Visible text: Jika sebuah titik dicerminkan terhadap garis , maka koordinat bayangannya, <InlineMath math="P'(x', y')" />, akan mengikuti aturan sederhana:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = y
```

```math
y' = x
```

Sehingga, peta dari titik $$P(x, y)$$ adalah <InlineMath math="P'(y, x)" />. Perhatikan bahwa koordinat $$x$$ dan $$y$$ saling bertukar posisi.

Visible text: Sehingga, peta dari titik adalah <InlineMath math="P'(y, x)" />. Perhatikan bahwa koordinat dan saling bertukar posisi.

## Mencerminkan Titik

Misalkan kita memiliki titik $$A(1, 4)$$. Jika titik $$A$$ dicerminkan terhadap garis $$y = x$$, maka bayangannya, <InlineMath math="A'" />, dapat ditentukan dengan menukar koordinatnya:

Visible text: Misalkan kita memiliki titik . Jika titik dicerminkan terhadap garis , maka bayangannya, <InlineMath math="A'" />, dapat ditentukan dengan menukar koordinatnya:

Koordinat $$x$$ asli adalah $$1$$, menjadi koordinat $$y$$ baru.

Visible text: Koordinat asli adalah , menjadi koordinat baru.

Koordinat $$y$$ asli adalah $$4$$, menjadi koordinat $$x$$ baru.

Visible text: Koordinat asli adalah , menjadi koordinat baru.

Jadi, bayangan titik $$A$$ adalah <InlineMath math="A'(4, 1)" />.

Visible text: Jadi, bayangan titik adalah <InlineMath math="A'(4, 1)" />.

Mari kita visualisasikan ini beserta beberapa titik lain:

Component: LineEquation
Props:
- title: Peta Titik terhadap Garis $$y=x$$
  Visible text: Peta Titik terhadap Garis
- description: Visualisasi pencerminan beberapa titik terhadap garis{" "}
$$y=x$$.
  Visible text: Visualisasi pencerminan beberapa titik terhadap garis{" "}
.
- data: [
{
points: [
{ x: -6, y: -6, z: 0 },
{ x: 6, y: 6, z: 0 },
],
color: getColor("PURPLE"),
labels: [{ text: "y=x", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Garis refleksi
// Titik A dan A'
{
points: [{ x: 1, y: 4, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "A(1,4)", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 4, y: 1, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "A'(4,1)", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
// Titik B dan B'
{
points: [{ x: -2, y: 2, z: 0 }],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "B(-2,2)", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: -2, z: 0 }],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "B'(2,-2)", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
// Titik C dan C'
{
points: [{ x: -1, y: -3, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "C(-1,-3)", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: -1, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "C'(-3,-1)", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]

## Mencerminkan Segitiga

Tentukan peta dari segitiga $$ABC$$ dengan titik sudut $$A(-2,4)$$, $$B(3,1)$$, dan $$C(-3,-1)$$ yang dicerminkan terhadap garis $$y=x$$.

Visible text: Tentukan peta dari segitiga dengan titik sudut , , dan yang dicerminkan terhadap garis .

Untuk mencerminkan segitiga, kita cerminkan setiap titik sudutnya terhadap garis $$y=x$$:

Visible text: Untuk mencerminkan segitiga, kita cerminkan setiap titik sudutnya terhadap garis :

1.  Titik $$A(-2, 4)$$: Bayangannya adalah <InlineMath math="A'(4, -2)" />.
2.  Titik $$B(3, 1)$$: Bayangannya adalah <InlineMath math="B'(1, 3)" />.
3.  Titik $$C(-3, -1)$$: Bayangannya adalah <InlineMath math="C'(-1, -3)" />.

Visible text: 1. Titik : Bayangannya adalah <InlineMath math="A'(4, -2)" />.
2. Titik : Bayangannya adalah <InlineMath math="B'(1, 3)" />.
3. Titik : Bayangannya adalah <InlineMath math="C'(-1, -3)" />.

Segitiga bayangan <InlineMath math="A'B'C'" /> terbentuk dengan menghubungkan titik-titik <InlineMath math="A'(4, -2)" />, <InlineMath math="B'(1, 3)" />, dan <InlineMath math="C'(-1, -3)" />.

Component: LineEquation
Props:
- title: Segitiga $$ABC$$ dan Bayangannya{" "}
<InlineMath math="A'B'C'" /> terhadap $$y=x$$
  Visible text: Segitiga dan Bayangannya{" "}
<InlineMath math="A'B'C'" /> terhadap
- description: Visualisasi pencerminan segitiga $$ABC$$ terhadap garis{" "}
$$y=x$$.
  Visible text: Visualisasi pencerminan segitiga terhadap garis{" "}
.
- data: [
{
points: [
{ x: -7, y: -7, z: 0 },
{ x: 7, y: 7, z: 0 },
],
color: getColor("PURPLE"),
labels: [{ text: "y=x", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Garis refleksi
// Segitiga ABC (Asli)
...[
{
from: { x: -2, y: 4, z: 0, label: "A(-2,4)" },
to: { x: 3, y: 1, z: 0, label: "B(3,1)" },
},
{
from: { x: 3, y: 1, z: 0, label: "B(3,1)" },
to: { x: -3, y: -1, z: 0, label: "C(-3,-1)" },
},
{
from: { x: -3, y: -1, z: 0, label: "C(-3,-1)" },
to: { x: -2, y: 4, z: 0, label: "A(-2,4)" },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.4, 0.4, 0] }],
})),
// Segitiga A'B'C' (Bayangan)
...[
{
from: { x: 4, y: -2, z: 0, label: "A'(4,-2)" },
to: { x: 1, y: 3, z: 0, label: "B'(1,3)" },
},
{
from: { x: 1, y: 3, z: 0, label: "B'(1,3)" },
to: { x: -1, y: -3, z: 0, label: "C'(-1,-3)" },
},
{
from: { x: -1, y: -3, z: 0, label: "C'(-1,-3)" },
to: { x: 4, y: -2, z: 0, label: "A'(4,-2)" },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.4, 0.4, 0] }],
})),
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 18]

## Mencerminkan Persamaan Garis

Jika sebuah garis memiliki persamaan $$y = 2x + 3$$ dicerminkan terhadap garis $$y=x$$, tentukan persamaan garis bayangannya.

Visible text: Jika sebuah garis memiliki persamaan dicerminkan terhadap garis , tentukan persamaan garis bayangannya.

Untuk mencari persamaan bayangan, kita gunakan aturan <InlineMath math="x' = y" /> dan <InlineMath math="y' = x" />. Ini berarti kita mengganti setiap $$x$$ dalam persamaan asli dengan $$y$$ (atau <InlineMath math="y'" />) dan setiap $$y$$ dengan $$x$$ (atau <InlineMath math="x'" />).

Visible text: Untuk mencari persamaan bayangan, kita gunakan aturan <InlineMath math="x' = y" /> dan <InlineMath math="y' = x" />. Ini berarti kita mengganti setiap dalam persamaan asli dengan (atau <InlineMath math="y'" />) dan setiap dengan (atau <InlineMath math="x'" />).

Persamaan asli:

```math
y = 2x + 3
```

Substitusikan $$x \rightarrow y$$ dan $$y \rightarrow x$$ (menggunakan $$x$$ dan $$y$$ untuk variabel baru agar lebih sederhana):

Visible text: Substitusikan dan (menggunakan dan untuk variabel baru agar lebih sederhana):

```math
x = 2y + 3
```

Ini adalah persamaan garis bayangan. Biasanya, kita menulis ulang persamaan ini dalam bentuk $$y$$ sebagai fungsi dari $$x$$:

Visible text: Ini adalah persamaan garis bayangan. Biasanya, kita menulis ulang persamaan ini dalam bentuk sebagai fungsi dari :

Component: MathContainer
Children:

```math
x - 3 = 2y
```

```math
y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}
```

Jadi, persamaan bayangan dari garis $$y = 2x + 3$$ setelah dicerminkan terhadap $$y=x$$ adalah $$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$$.

Visible text: Jadi, persamaan bayangan dari garis setelah dicerminkan terhadap adalah .

Component: LineEquation
Props:
- title: Garis $$y=2x+3$$ dan Bayangannya terhadap{" "}
$$y=x$$
  Visible text: Garis dan Bayangannya terhadap{" "}
- description: Pencerminan garis $$y=2x+3$$ terhadap garis{" "}
$$y=x$$.
  Visible text: Pencerminan garis terhadap garis{" "}
.
- data: [
{
points: [
{ x: -7, y: -7, z: 0 },
{ x: 7, y: 7, z: 0 },
],
color: getColor("INDIGO"),
labels: [{ text: "y=x", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Garis refleksi
{
// Garis Asli y = 2x + 3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: 2 * xVal + 3, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
smooth: true,
labels: [{ text: "y=2x+3", at: 4, offset: [-1, 0.5, 0] }],
},
{
// Garis Bayangan y = (1/2)x - 3/2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: (1 / 2) * xVal - 3 / 2, z: 0 };
}),
color: getColor("PINK"),
smooth: true,
labels: [{ text: "y=(1/2)x-3/2", at: 9, offset: [0.5, -1, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 18]

## Latihan

1.  Tentukan koordinat bayangan dari titik $$M(-4, 7)$$ jika dicerminkan terhadap garis $$y = x$$!
2.  Tentukan peta dari segitiga $$ABC$$ dengan titik sudut $$A(1, -2)$$, $$B(2, 3)$$, dan $$C(-2, 0)$$ yang dicerminkan terhadap garis $$y = x$$.
3.  Jika sebuah garis memiliki persamaan $$y = -3x + 5$$ dicerminkan terhadap garis $$y = x$$, tentukan persamaan garis bayangannya.

Visible text: 1. Tentukan koordinat bayangan dari titik jika dicerminkan terhadap garis !
2. Tentukan peta dari segitiga dengan titik sudut , , dan yang dicerminkan terhadap garis .
3. Jika sebuah garis memiliki persamaan dicerminkan terhadap garis , tentukan persamaan garis bayangannya.

### Kunci Jawaban

1.  Bayangan titik $$M(-4, 7)$$ adalah <InlineMath math="M'(7, -4)" />.

    **Penjelasan:** Koordinat $$x$$ dan $$y$$ ditukar: <InlineMath math="x' = 7" />, <InlineMath math="y' = -4" />.

2.  Koordinat bayangan segitiga <InlineMath math="A'B'C'" /> adalah:

    - <InlineMath math="A'(-2, 1)" /> (dari $$A(1, -2)$$)
    - <InlineMath math="B'(3, 2)" /> (dari $$B(2, 3)$$)
    - <InlineMath math="C'(0, -2)" /> (dari $$C(-2, 0)$$)

3.  Persamaan bayangan garis $$y = -3x + 5$$ adalah $$x = -3y + 5$$.

    **Penjelasan:** Substitusi $$x \rightarrow y$$ dan $$y \rightarrow x$$ ke dalam persamaan asli:

    
    
    ```math
    x = -3y + 5
    ```

    Jika diubah ke bentuk $$y = mx+c$$:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    3y = -x + 5
    ```

      
    
    ```math
    y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}
    ```

    </MathContainer>

Visible text: 1. Bayangan titik adalah <InlineMath math="M'(7, -4)" />.

 **Penjelasan:** Koordinat dan ditukar: <InlineMath math="x' = 7" />, <InlineMath math="y' = -4" />.

2. Koordinat bayangan segitiga <InlineMath math="A'B'C'" /> adalah:

 - <InlineMath math="A'(-2, 1)" /> (dari )
 - <InlineMath math="B'(3, 2)" /> (dari )
 - <InlineMath math="C'(0, -2)" /> (dari )

3. Persamaan bayangan garis adalah .

 **Penjelasan:** Substitusi dan ke dalam persamaan asli:

 
 

 Jika diubah ke bentuk :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>