# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/pencerminan-terhadap-titik
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-point/id.mdx

Pelajari pencerminan titik sebagai rotasi 180°. Gunakan rumus koordinat untuk membaca bayangan titik lewat contoh dan visualisasi.

---

## Memahami Pencerminan terhadap Titik

Pencerminan terhadap titik, sering juga disebut rotasi setengah putar ($$180^\circ$$), adalah transformasi geometri di mana setiap titik pada objek dipetakan ke posisi baru sedemikian rupa sehingga titik pusat pencerminan menjadi titik tengah antara titik asli dan bayangannya.

Visible text: Pencerminan terhadap titik, sering juga disebut rotasi setengah putar (), adalah transformasi geometri di mana setiap titik pada objek dipetakan ke posisi baru sedemikian rupa sehingga titik pusat pencerminan menjadi titik tengah antara titik asli dan bayangannya.

Misalkan titik pusat pencerminan adalah $$P(a,b)$$. Jika sebuah titik $$Q(x,y)$$ dicerminkan terhadap titik $$P$$, maka bayangannya <InlineMath math="Q'(x',y')" /> akan berada pada garis yang melalui $$Q$$ dan $$P$$, dengan $$P$$ sebagai titik tengah segmen <InlineMath math="QQ'" />.

Visible text: Misalkan titik pusat pencerminan adalah . Jika sebuah titik dicerminkan terhadap titik , maka bayangannya <InlineMath math="Q'(x',y')" /> akan berada pada garis yang melalui dan , dengan sebagai titik tengah segmen <InlineMath math="QQ'" />.

### Aturan Pencerminan terhadap Titik

Jika sebuah titik $$Q(x, y)$$ dicerminkan terhadap titik $$P(a, b)$$, maka koordinat bayangannya, <InlineMath math="Q'(x', y')" />, ditentukan oleh rumus:

Visible text: Jika sebuah titik dicerminkan terhadap titik , maka koordinat bayangannya, <InlineMath math="Q'(x', y')" />, ditentukan oleh rumus:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2a - x
```

```math
y' = 2b - y
```

Atau bisa juga ditulis:

```math
Q'(-x + 2a, -y + 2b)
```

Ini berarti koordinat $$x$$ bayangan adalah dua kali koordinat $$x$$ pusat dikurangi koordinat $$x$$ asli, dan hal yang sama berlaku untuk koordinat $$y$$.

Visible text: Ini berarti koordinat bayangan adalah dua kali koordinat pusat dikurangi koordinat asli, dan hal yang sama berlaku untuk koordinat .

## Mencerminkan Titik terhadap Titik Lain

Tentukan titik peta dari setengah putar $$\sigma_{(2,3)}$$ untuk titik $$(5, 4)$$.

Visible text: Tentukan titik peta dari setengah putar untuk titik .

Ini berarti kita mencerminkan titik $$Q(5,4)$$ terhadap titik pusat $$P(2,3)$$.

Visible text: Ini berarti kita mencerminkan titik terhadap titik pusat .

Di sini, $$x=5$$, $$y=4$$, $$a=2$$, dan $$b=3$$.

Visible text: Di sini, , , , dan .

Menggunakan rumus:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2a - x = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1
```

```math
y' = 2b - y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2
```

Jadi, bayangan titik $$(5,4)$$ adalah $$(-1,2)$$.

Visible text: Jadi, bayangan titik adalah .

Component: LineEquation
Props:
- title: Peta Titik $$Q(5,4)$$ terhadap Titik{" "}
$$P(2,3)$$
  Visible text: Peta Titik terhadap Titik{" "}
- description: Visualisasi pencerminan titik $$Q(5,4)$$ terhadap titik
pusat $$P(2,3)$$ menghasilkan{" "}
<InlineMath math="Q'(-1,2)" />.
  Visible text: Visualisasi pencerminan titik terhadap titik
pusat menghasilkan{" "}
<InlineMath math="Q'(-1,2)" />.
- data: [
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P(2,3) - Pusat", at: 0, offset: [1.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 5, y: 4, z: 0 }],
color: getColor("SKY"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Q(5,4) - Asli", at: 0, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: -1, y: 2, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Q'(-1,2) - Bayangan", at: 0, offset: [-0.7, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5, y: 4, z: 0 },
{ x: -1, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("PINK"),
}, // Garis penghubung Q ke Q'
]
- showZAxis: false

## Mencerminkan Garis terhadap Titik

Tentukan titik peta dari setengah putar $$\sigma_{(1,3)}$$ untuk garis $$l$$ dengan persamaan $$2x - y + 3 = 0$$.

Visible text: Tentukan titik peta dari setengah putar untuk garis dengan persamaan .

Ambil sembarang titik $$(x,y)$$ pada garis $$l$$. Bayangannya, <InlineMath math="(x',y')" />, setelah dicerminkan terhadap titik $$P(1,3)$$ adalah:

Visible text: Ambil sembarang titik pada garis . Bayangannya, <InlineMath math="(x',y')" />, setelah dicerminkan terhadap titik adalah:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2(1) - x = 2 - x \implies x = 2 - x'
```

```math
y' = 2(3) - y = 6 - y \implies y = 6 - y'
```

Substitusikan <InlineMath math="x = 2 - x'" /> dan <InlineMath math="y = 6 - y'" /> ke dalam persamaan garis $$l$$:

Visible text: Substitusikan <InlineMath math="x = 2 - x'" /> dan <InlineMath math="y = 6 - y'" /> ke dalam persamaan garis :

Component: MathContainer
Children:

```math
2(2 - x') - (6 - y') + 3 = 0
```

```math
4 - 2x' - 6 + y' + 3 = 0
```

```math
-2x' + y' + 1 = 0
```

Mengganti <InlineMath math="x'" /> dan <InlineMath math="y'" /> kembali ke $$x$$ dan $$y$$, persamaan garis bayangan <InlineMath math="l'" /> adalah:

Visible text: Mengganti <InlineMath math="x'" /> dan <InlineMath math="y'" /> kembali ke dan , persamaan garis bayangan <InlineMath math="l'" /> adalah:

```math
-2x + y + 1 = 0
```

Atau bisa ditulis sebagai $$2x - y - 1 = 0$$.

Visible text: Atau bisa ditulis sebagai .

Component: LineEquation
Props:
- title: Peta Garis $$2x-y+3=0$$ terhadap Titik{" "}
$$P(1,3)$$
  Visible text: Peta Garis terhadap Titik{" "}
- description: Garis asli $$2x-y+3=0$$ dicerminkan terhadap titik{" "}
$$P(1,3)$$ menghasilkan garis bayangan{" "}
$$2x-y-1=0$$.
  Visible text: Garis asli dicerminkan terhadap titik{" "}
 menghasilkan garis bayangan{" "}
.
- data: [
{
points: [{ x: 1, y: 3, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P(1,3) - Pusat", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
// Garis Asli: 2x - y + 3 = 0 => y = 2x + 3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: 2 * xVal + 3, z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "2x-y+3=0", at: 5, offset: [-2, 0.5, 0] }],
},
{
// Garis Bayangan: 2x - y - 1 = 0 => y = 2x - 1
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: 2 * xVal - 1, z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels: [{ text: "2x-y-1=0", at: 5, offset: [2, -0.5, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1, 2, 15]

## Latihan

1.  Tentukan titik peta dari setengah putar $$\sigma_{(-2,3)}$$ untuk titik $$(3, -4)$$.
2.  Titik $$K(-5, 1)$$ dicerminkan terhadap titik asal $$O(0,0)$$. Tentukan koordinat bayangannya!
3.  Tentukan titik peta dari setengah putar $$\sigma_{(1,-3)}$$ untuk garis $$l$$ dengan persamaan $$2x + 5y + 6 = 0$$.

Visible text: 1. Tentukan titik peta dari setengah putar untuk titik .
2. Titik dicerminkan terhadap titik asal . Tentukan koordinat bayangannya!
3. Tentukan titik peta dari setengah putar untuk garis dengan persamaan .

### Kunci Jawaban

1.  Pusat $$P(-2,3)$$, titik $$Q(3,-4)$$. Maka $$a=-2, b=3, x=3, y=-4$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2a - x = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7" />
      <BlockMath math="y' = 2b - y = 2(3) - (-4) = 6 + 4 = 10" />
    </MathContainer>

    Jadi, bayangan titik $$Q(3,-4)$$ adalah $$(-7,10)$$.

2.  Pusat $$O(0,0)$$, titik $$K(-5,1)$$. Maka $$a=0, b=0, x=-5, y=1$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2(0) - (-5) = 0 + 5 = 5" />
      <BlockMath math="y' = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1" />
    </MathContainer>

    Jadi, bayangan titik $$K(-5,1)$$ adalah <InlineMath math="K'(5,-1)" />.

3.  Pusat $$P(1,-3)$$. Garis $$2x + 5y + 6 = 0$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2(1) - x = 2 - x \implies x = 2 - x'" />
      <BlockMath math="y' = 2(-3) - y = -6 - y \implies y = -6 - y'" />
    </MathContainer>

    Substitusi ke persamaan garis:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="2(2 - x') + 5(-6 - y') + 6 = 0" />
      <BlockMath math="4 - 2x' - 30 - 5y' + 6 = 0" />
      <BlockMath math="-2x' - 5y' - 20 = 0" />
    </MathContainer>

    Persamaan garis bayangan: $$-2x - 5y - 20 = 0$$ atau $$2x + 5y + 20 = 0$$.

Visible text: 1. Pusat , titik . Maka .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2a - x = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7" />
 <BlockMath math="y' = 2b - y = 2(3) - (-4) = 6 + 4 = 10" />
 </MathContainer>

 Jadi, bayangan titik adalah .

2. Pusat , titik . Maka .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2(0) - (-5) = 0 + 5 = 5" />
 <BlockMath math="y' = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1" />
 </MathContainer>

 Jadi, bayangan titik adalah <InlineMath math="K'(5,-1)" />.

3. Pusat . Garis .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2(1) - x = 2 - x \implies x = 2 - x'" />
 <BlockMath math="y' = 2(-3) - y = -6 - y \implies y = -6 - y'" />
 </MathContainer>

 Substitusi ke persamaan garis:

 <MathContainer>
 <BlockMath math="2(2 - x') + 5(-6 - y') + 6 = 0" />
 <BlockMath math="4 - 2x' - 30 - 5y' + 6 = 0" />
 <BlockMath math="-2x' - 5y' - 20 = 0" />
 </MathContainer>

 Persamaan garis bayangan: atau .