# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/transformasi-geometri/rotasi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/rotation/id.mdx

Pelajari transformasi rotasi geometri dengan rumus utama, contoh soal, dan visualisasi interaktif. Pelajari rotasi titik dan garis terhadap titik asal.

---

## Memahami Rotasi

Rotasi, atau perputaran, adalah transformasi geometri yang memutar setiap titik suatu objek mengelilingi titik pusat tertentu sejauh sudut tertentu. Transformasi ini mempertahankan kongruensi (bentuk dan ukuran) objek, tetapi orientasinya dapat berubah.

Hal penting yang perlu diperhatikan dalam rotasi:

- **Titik Pusat Rotasi (C):** Titik tetap yang menjadi pusat perputaran.
- **Sudut Rotasi ($$\theta$$):** Besarnya perputaran. Jika sudut bernilai positif, rotasi dilakukan berlawanan arah jarum jam. Jika sudut bernilai negatif, rotasi dilakukan searah dengan jarum jam.

Visible text: - **Titik Pusat Rotasi (C):** Titik tetap yang menjadi pusat perputaran.
- **Sudut Rotasi ():** Besarnya perputaran. Jika sudut bernilai positif, rotasi dilakukan berlawanan arah jarum jam. Jika sudut bernilai negatif, rotasi dilakukan searah dengan jarum jam.

### Definisi Rotasi

Diketahui titik pusat $$C$$ dan sudut berarah $$\theta$$. Rotasi dengan titik pusat $$C$$ sebesar $$\theta$$, dinotasikan dengan $$\rho_{C,\theta}$$ atau $$R(C,\theta)$$, didefinisikan sebagai transformasi yang memetakan:

Visible text: Diketahui titik pusat dan sudut berarah . Rotasi dengan titik pusat sebesar , dinotasikan dengan atau , didefinisikan sebagai transformasi yang memetakan:

1. Titik $$C$$ ke dirinya sendiri (<InlineMath math="C'=C" />).
2. Sembarang titik $$P$$ ke titik <InlineMath math="P'" /> sedemikian sehingga <InlineMath math="CP = CP'" /> (jarak dari pusat ke titik sama dengan jarak dari pusat ke bayangan) dan sudut yang terbentuk oleh sinar $$\vec{CP}$$ dan <InlineMath math="\vec{CP'}" /> adalah $$\theta$$.

Visible text: 1. Titik ke dirinya sendiri (<InlineMath math="C'=C" />).
2. Sembarang titik ke titik <InlineMath math="P'" /> sedemikian sehingga <InlineMath math="CP = CP'" /> (jarak dari pusat ke titik sama dengan jarak dari pusat ke bayangan) dan sudut yang terbentuk oleh sinar dan <InlineMath math="\vec{CP'}" /> adalah .

## Rotasi terhadap Titik Asal

Kasus khusus yang sering dibahas adalah rotasi terhadap titik asal $$O(0,0)$$.

Visible text: Kasus khusus yang sering dibahas adalah rotasi terhadap titik asal .

Jika titik $$P(x,y)$$ dirotasikan terhadap titik asal $$O(0,0)$$ sebesar sudut $$\theta$$, maka koordinat bayangannya <InlineMath math="P'(x',y')" /> dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

Visible text: Jika titik dirotasikan terhadap titik asal sebesar sudut , maka koordinat bayangannya <InlineMath math="P'(x',y')" /> dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = x \cos \theta - y \sin \theta
```

```math
y' = x \sin \theta + y \cos \theta
```

## Merotasikan Sebuah Titik Seperempat Putaran

Sebuah titik $$B(0,4)$$ dirotasikan terhadap titik asal $$(0,0)$$ sebesar $$90^\circ$$. Tentukan titik bayangannya.

Visible text: Sebuah titik dirotasikan terhadap titik asal sebesar . Tentukan titik bayangannya.

Di sini, $$x=0$$, $$y=4$$, dan $$\theta = 90^\circ$$.

Visible text: Di sini, , , dan .

Kita tahu $$\cos 90^\circ = 0$$ dan $$\sin 90^\circ = 1$$.

Visible text: Kita tahu dan .

Menggunakan rumus:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = (0) \cos 90^\circ - (4) \sin 90^\circ = 0 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = -4
```

```math
y' = (0) \sin 90^\circ + (4) \cos 90^\circ = 0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 0
```

Jadi, bayangan titik $$B(0,4)$$ adalah <InlineMath math="B'(-4,0)" />.

Visible text: Jadi, bayangan titik adalah <InlineMath math="B'(-4,0)" />.

Component: LineEquation
Props:
- title: Rotasi Titik $$B(0,4)$$ sebesar{" "}
$$90^\circ$$ terhadap Titik Asal
  Visible text: Rotasi Titik sebesar{" "}
 terhadap Titik Asal
- description: Visualisasi rotasi titik $$B(0,4)$$ menjadi{" "}
<InlineMath math="B'(-4,0)" /> sebesar $$90^\circ$${" "}
berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal{" "}
$$O(0,0)$$.
  Visible text: Visualisasi rotasi titik menjadi{" "}
<InlineMath math="B'(-4,0)" /> sebesar {" "}
berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal{" "}
.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Titik Pusat Rotasi
{
points: [{ x: 0, y: 4, z: 0 }],
color: getColor("SKY"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "B(0,4) - Asli", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
}, // Titik Asli
{
points: [{ x: -4, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "B'(-4,0) - Peta", at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
}, // Titik Peta
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: getColor("PURPLE"),
}, // Garis OB
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("PURPLE"),
}, // Garis OB'
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [2, 2, 15]

## Merotasikan Sebuah Garis Seperempat Putaran

Tentukan peta dari garis $$y=2x$$ yang dirotasikan terhadap titik asal $$(0,0)$$ sebesar $$90^\circ$$.

Visible text: Tentukan peta dari garis yang dirotasikan terhadap titik asal sebesar .

Ambil sembarang titik $$P(x,y)$$ pada garis $$y=2x$$. Bayangannya, <InlineMath math="P'(x',y')" />, setelah rotasi $$90^\circ$$ terhadap titik asal adalah:

Visible text: Ambil sembarang titik pada garis . Bayangannya, <InlineMath math="P'(x',y')" />, setelah rotasi terhadap titik asal adalah:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = x \cos 90^\circ - y \sin 90^\circ = x(0) - y(1) = -y
```

```math
y' = x \sin 90^\circ + y \cos 90^\circ = x(1) + y(0) = x
```

Dari sini kita peroleh <InlineMath math="y = -x'" /> dan <InlineMath math="x = y'" />.

Substitusikan <InlineMath math="x = y'" /> dan <InlineMath math="y = -x'" /> ke dalam persamaan garis asli $$y=2x$$:

Visible text: Substitusikan <InlineMath math="x = y'" /> dan <InlineMath math="y = -x'" /> ke dalam persamaan garis asli :

Component: MathContainer
Children:

```math
(-x') = 2(y')
```

```math
-x' = 2y'
```

Mengganti <InlineMath math="x'" /> dan <InlineMath math="y'" /> kembali ke $$x$$ dan $$y$$, persamaan garis bayangan adalah $$-x = 2y$$ atau $$y = -\frac{1}{2}x$$.

Visible text: Mengganti <InlineMath math="x'" /> dan <InlineMath math="y'" /> kembali ke dan , persamaan garis bayangan adalah atau .

Component: LineEquation
Props:
- title: Rotasi Garis $$y=2x$$ sebesar{" "}
$$90^\circ$$ terhadap Titik Asal
  Visible text: Rotasi Garis sebesar{" "}
 terhadap Titik Asal
- description: Garis asli $$y=2x$$ dirotasikan{" "}
$$90^\circ$$ menghasilkan garis bayangan{" "}
$$y = -\frac{1}{2}x$$.
  Visible text: Garis asli dirotasikan{" "}
 menghasilkan garis bayangan{" "}
.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Titik Pusat Rotasi
{
// Garis Asli: y = 2x
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 0.5; // range from -2.5 to 2.5
return { x: xVal, y: 2 * xVal, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y=2x", at: 6, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
// Garis Bayangan: y = -1/2 x
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 0.5;
return { x: xVal, y: (-1 / 2) * xVal, z: 0 };
}),
color: getColor("PINK"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y=(-1/2)x", at: 1, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 10]

## Latihan

1.  Sebuah titik $$A(3,0)$$ dirotasikan terhadap titik asal $$(0,0)$$ sebesar $$90^\circ$$. Tentukan titik bayangannya.
2.  Tentukan peta dari garis $$y=4x$$ yang dirotasikan terhadap titik asal $$(0,0)$$ sebesar $$90^\circ$$.
3.  Titik $$P(-2, -5)$$ dirotasikan terhadap titik asal $$O(0,0)$$ sebesar $$180^\circ$$. Tentukan koordinat bayangannya!

Visible text: 1. Sebuah titik dirotasikan terhadap titik asal sebesar . Tentukan titik bayangannya.
2. Tentukan peta dari garis yang dirotasikan terhadap titik asal sebesar .
3. Titik dirotasikan terhadap titik asal sebesar . Tentukan koordinat bayangannya!

### Kunci Jawaban

1.  Titik $$A(3,0)$$, $$\theta = 90^\circ$$. $$x=3, y=0$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 3 \cos 90^\circ - 0 \sin 90^\circ = 3(0) - 0(1) = 0" />
      <BlockMath math="y' = 3 \sin 90^\circ + 0 \cos 90^\circ = 3(1) + 0(0) = 3" />
    </MathContainer>

    Jadi, bayangan titiknya adalah <InlineMath math="A'(0,3)" />.

2.  Garis $$y=4x$$, $$\theta = 90^\circ$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = -y" />
      <BlockMath math="y' = x" />
    </MathContainer>

    Maka <InlineMath math="y = -x'" /> dan <InlineMath math="x = y'" />.

    Substitusi ke persamaan garis: <InlineMath math="(-x') = 4(y')" />.

    Persamaan garis bayangan: $$-x = 4y$$ atau $$y = -\frac{1}{4}x$$.

3.  Titik $$P(-2,-5)$$, $$\theta = 180^\circ$$. $$x=-2, y=-5$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    \cos 180^\circ = -1
    ```

      
    
    ```math
    \sin 180^\circ = 0
    ```

    </MathContainer>

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = (-2) \cos 180^\circ - (-5) \sin 180^\circ = (-2)(-1) - (-5)(0) = 2 - 0 = 2" />
      <BlockMath math="y' = (-2) \sin 180^\circ + (-5) \cos 180^\circ = (-2)(0) + (-5)(-1) = 0 + 5 = 5" />
    </MathContainer>

    Jadi, bayangan titik $$P$$ adalah <InlineMath math="P'(2,5)" />.

Visible text: 1. Titik , . .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 3 \cos 90^\circ - 0 \sin 90^\circ = 3(0) - 0(1) = 0" />
 <BlockMath math="y' = 3 \sin 90^\circ + 0 \cos 90^\circ = 3(1) + 0(0) = 3" />
 </MathContainer>

 Jadi, bayangan titiknya adalah <InlineMath math="A'(0,3)" />.

2. Garis , .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = -y" />
 <BlockMath math="y' = x" />
 </MathContainer>

 Maka <InlineMath math="y = -x'" /> dan <InlineMath math="x = y'" />.

 Substitusi ke persamaan garis: <InlineMath math="(-x') = 4(y')" />.

 Persamaan garis bayangan: atau .

3. Titik , . .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = (-2) \cos 180^\circ - (-5) \sin 180^\circ = (-2)(-1) - (-5)(0) = 2 - 0 = 2" />
 <BlockMath math="y' = (-2) \sin 180^\circ + (-5) \cos 180^\circ = (-2)(0) + (-5)(-1) = 0 + 5 = 5" />
 </MathContainer>

 Jadi, bayangan titik adalah <InlineMath math="P'(2,5)" />.