# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/turunan-fungsi/aturan-rantai-pada-turunan
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/derivative-function/chain-rule-in-derivative/id.mdx
Pelajari aturan rantai untuk menurunkan fungsi komposisi. Pelajari metode bertahap untuk fungsi bersusun dengan contoh pangkat dan trigonometri.
---
## Memahami Fungsi Bersusun
Bayangkan kamu punya mesin yang mengubah sebuah angka (fungsi pertama), dan hasilnya langsung dimasukkan ke mesin lain untuk diolah lagi (fungsi kedua). Proses inilah yang disebut **fungsi komposisi** atau fungsi bersusun. Secara matematis, kalau kita punya $$g(x)$$ sebagai **fungsi dalam** dan $$f(u)$$ sebagai **fungsi luar**, maka komposisinya adalah $$y = f(g(x))$$.
Visible text: Bayangkan kamu punya mesin yang mengubah sebuah angka (fungsi pertama), dan hasilnya langsung dimasukkan ke mesin lain untuk diolah lagi (fungsi kedua). Proses inilah yang disebut **fungsi komposisi** atau fungsi bersusun. Secara matematis, kalau kita punya sebagai **fungsi dalam** dan sebagai **fungsi luar**, maka komposisinya adalah .
Aturan rantai adalah metode untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi seperti ini, di mana satu fungsi "terbungkus" di dalam fungsi lainnya.
## Teorema Aturan Rantai
Untuk menurunkan fungsi komposisi, kita tidak bisa menurunkannya satu per satu begitu saja. Ada sebuah aturan elegan yang menghubungkan turunan fungsi luar dan fungsi dalamnya.
> Jika $$y = f(g(x))$$, maka turunannya ditentukan oleh perkalian antara turunan fungsi luar terhadap fungsi dalam dengan turunan fungsi dalam itu sendiri.
Visible text: > Jika , maka turunannya ditentukan oleh perkalian antara turunan fungsi luar terhadap fungsi dalam dengan turunan fungsi dalam itu sendiri.
Secara formal, jika kita memisalkan $$u = g(x)$$, maka $$y = f(u)$$. Turunannya didefinisikan sebagai:
Visible text: Secara formal, jika kita memisalkan , maka . Turunannya didefinisikan sebagai:
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
```
Rumus ini dikenal sebagai **aturan rantai**. Intinya, kita menurunkan dari "lapisan" terluar ke lapisan terdalam, lalu mengalikan hasilnya.
## Penerapan Aturan Rantai
Yuk, kita coba terapkan teorema ini pada beberapa kasus biar lebih kebayang.
### Fungsi Bentuk Pangkat
Tentukan turunan pertama dari $$y = (x^2 - 4x - 2)^8$$.
Visible text: Tentukan turunan pertama dari .
**Penyelesaian:**
Pertama, kita perlu memecah fungsi ini menjadi dua bagian: fungsi luar dan fungsi dalam.
- **Fungsi dalam** ($$u$$) adalah ekspresi yang ada di dalam kurung: $$u = x^2 - 4x - 2$$.
- **Fungsi luar** ($$y$$) adalah operasi pangkatnya: $$y = u^8$$.
Visible text: - **Fungsi dalam** () adalah ekspresi yang ada di dalam kurung: .
- **Fungsi luar** () adalah operasi pangkatnya: .
Selanjutnya, kita cari turunan dari masing-masing fungsi:
- Turunan fungsi dalam: $$\frac{du}{dx} = 2x - 4$$.
- Turunan fungsi luar: $$\frac{dy}{du} = 8u^7$$.
Visible text: - Turunan fungsi dalam: .
- Turunan fungsi luar: .
Sekarang, kita bisa gabungkan keduanya pakai aturan rantai:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
```
```math
\frac{dy}{dx} = 8u^7 \cdot (2x - 4)
```
Terakhir, kita substitusikan kembali $$u$$ dan sederhanakan ekspresinya:
Visible text: Terakhir, kita substitusikan kembali dan sederhanakan ekspresinya:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{dy}{dx} = 8(x^2 - 4x - 2)^7 (2x - 4)
```
```math
\frac{dy}{dx} = (16x - 32)(x^2 - 4x - 2)^7
```
### Fungsi Trigonometri
Tentukan turunan pertama dari $$y = \cos^4(3 - 4x)$$.
Visible text: Tentukan turunan pertama dari .
**Penyelesaian:**
Fungsi ini bisa kita tulis ulang jadi $$y = (\cos(3 - 4x))^4$$. Ini adalah kasus di mana kita perlu menerapkan aturan rantai lebih dari sekali karena ada tiga lapisan fungsi.
Visible text: Fungsi ini bisa kita tulis ulang jadi . Ini adalah kasus di mana kita perlu menerapkan aturan rantai lebih dari sekali karena ada tiga lapisan fungsi.
- **Fungsi terdalam**: $$v = 3 - 4x$$
- **Fungsi tengah**: $$u = \cos(v)$$
- **Fungsi terluar**: $$y = u^4$$
Visible text: - **Fungsi terdalam**:
- **Fungsi tengah**:
- **Fungsi terluar**:
Kemudian, kita turunkan setiap lapisan:
- Turunan fungsi terluar: $$\frac{dy}{du} = 4u^3$$
- Turunan fungsi tengah: $$\frac{du}{dv} = -\sin(v)$$
- Turunan fungsi terdalam: $$\frac{dv}{dx} = -4$$
Visible text: - Turunan fungsi terluar:
- Turunan fungsi tengah:
- Turunan fungsi terdalam:
Gabungkan semuanya dengan aturan rantai:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}
```
```math
\frac{dy}{dx} = (4u^3) \cdot (-\sin(v)) \cdot (-4)
```
Sekarang, substitusikan kembali $$u$$ dan $$v$$ secara bertahap untuk mendapatkan hasil akhir:
Visible text: Sekarang, substitusikan kembali dan secara bertahap untuk mendapatkan hasil akhir:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{dy}{dx} = (4\cos^3(v)) \cdot (-\sin(v)) \cdot (-4)
```
```math
\frac{dy}{dx} = 16\cos^3(v)\sin(v)
```
```math
\frac{dy}{dx} = 16\cos^3(3 - 4x)\sin(3 - 4x)
```
## Latihan
1. Tentukan turunan pertama dari $$y = (3x^2 - 1)^3$$.
2. Tentukan turunan pertama dari $$y = \sin^3(2x)$$.
Visible text: 1. Tentukan turunan pertama dari .
2. Tentukan turunan pertama dari .
### Kunci Jawaban
1. **Penyelesaian untuk $$y = (3x^2 - 1)^3$$**
**Langkah** $$1$$: Kenali fungsinya
- Fungsi dalam: $$u = 3x^2 - 1$$
- Fungsi luar: $$y = u^3$$
**Langkah** $$2$$: Cari turunan masing-masing
- $$\frac{du}{dx} = 6x$$
- $$\frac{dy}{du} = 3u^2$$
**Langkah** $$3$$: Gabungkan dengan aturan rantai
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
```
```math
\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 6x = 18x \cdot u^2
```
**Langkah** $$4$$: Jangan lupa substitusi balik
```math
\frac{dy}{dx} = 18x(3x^2 - 1)^2
```
2. **Penyelesaian untuk $$y = \sin^3(2x)$$**
Fungsi ini adalah $$y = (\sin(2x))^3$$. Kita gunakan aturan rantai berlapis.
**Langkah** $$1$$: Kenali fungsinya
- Fungsi terdalam: $$v = 2x$$
- Fungsi tengah: $$u = \sin(v)$$
- Fungsi terluar: $$y = u^3$$
**Langkah** $$2$$: Cari turunan masing-masing
- $$\frac{dv}{dx} = 2$$
- $$\frac{du}{dv} = \cos(v)$$
- $$\frac{dy}{du} = 3u^2$$
**Langkah** $$3$$: Gabungkan dengan aturan rantai
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}
```
```math
\frac{dy}{dx} = (3u^2) \cdot (\cos(v)) \cdot (2)
```
**Langkah** $$4$$: Substitusi balik dan sederhanakan
```math
\frac{dy}{dx} = 6u^2 \cos(v)
```
```math
\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(v) \cos(v)
```
```math
\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(2x) \cos(2x)
```
Visible text: 1. **Penyelesaian untuk **
**Langkah** : Kenali fungsinya
- Fungsi dalam:
- Fungsi luar:
**Langkah** : Cari turunan masing-masing
-
-
**Langkah** : Gabungkan dengan aturan rantai
**Langkah** : Jangan lupa substitusi balik
2. **Penyelesaian untuk **
Fungsi ini adalah . Kita gunakan aturan rantai berlapis.
**Langkah** : Kenali fungsinya
- Fungsi terdalam:
- Fungsi tengah:
- Fungsi terluar:
**Langkah** : Cari turunan masing-masing
-
-
-
**Langkah** : Gabungkan dengan aturan rantai
**Langkah** : Substitusi balik dan sederhanakan