# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/turunan-fungsi/fungsi-naik-turun-dan-stasioner
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/derivative-function/increasing-decreasing-and-stationary-function/id.mdx

Pelajari cara mengidentifikasi fungsi naik, turun, dan stasioner menggunakan turunan. Pelajari analisis perilaku fungsi dan penentuan interval kemonotonan.

---

## Perilaku Fungsi dan Turunannya

Pernahkah kamu memperhatikan bagaimana grafik sebuah fungsi bisa bergerak naik, turun, atau bahkan mendatar sejenak? Perilaku ini, yang disebut **kemonotonan fungsi**, ternyata punya kaitan erat dengan turunan pertamanya.

Bayangkan kamu sedang berjalan di sepanjang kurva grafik dari kiri ke kanan.

-   Saat kamu **mendaki**, artinya fungsi tersebut sedang **naik**.

-   Saat kamu **menuruni lembah**, artinya fungsi tersebut sedang **turun**.

-   Saat kamu berada di puncak bukit atau di dasar lembah, kamu berada di titik **diam** atau **stasioner**.

Visible text: - Saat kamu **mendaki**, artinya fungsi tersebut sedang **naik**.

- Saat kamu **menuruni lembah**, artinya fungsi tersebut sedang **turun**.

- Saat kamu berada di puncak bukit atau di dasar lembah, kamu berada di titik **diam** atau **stasioner**.

Secara geometris, turunan pertama, <InlineMath math="f'(x)" />, adalah gradien dari garis singgung pada kurva di titik tersebut. Jadi, perilaku fungsi bisa kita lihat dari tanda gradiennya.

## Sifat Kemonotonan Fungsi

Hubungan antara turunan pertama dan perilaku fungsi dapat kita rangkum dalam sifat-sifat berikut:

Misalkan fungsi $$y = f(x)$$ kontinu dan dapat diturunkan (diferensiabel) pada suatu interval.

Visible text: Misalkan fungsi kontinu dan dapat diturunkan (diferensiabel) pada suatu interval.

-   Jika <InlineMath math="f'(x) > 0" /> untuk semua $$x$$ dalam interval tersebut, maka $$f(x)$$ adalah **fungsi naik**.

-   Jika <InlineMath math="f'(x) < 0" /> untuk semua $$x$$ dalam interval tersebut, maka $$f(x)$$ adalah **fungsi turun**.

-   Jika <InlineMath math="f'(x) = 0" /> pada titik tertentu, maka $$f(x)$$ memiliki **titik stasioner** di sana.

Visible text: - Jika <InlineMath math="f'(x) > 0" /> untuk semua dalam interval tersebut, maka adalah **fungsi naik**.

- Jika <InlineMath math="f'(x) < 0" /> untuk semua dalam interval tersebut, maka adalah **fungsi turun**.

- Jika <InlineMath math="f'(x) = 0" /> pada titik tertentu, maka memiliki **titik stasioner** di sana.

Titik stasioner inilah yang menjadi kunci untuk menemukan di mana sebuah fungsi berubah dari naik menjadi turun, atau sebaliknya.

## Menganalisis Interval Fungsi

Mari kita bedah sebuah kasus untuk melihat bagaimana cara menentukan interval di mana sebuah fungsi naik atau turun.

Tentukan interval agar fungsi $$f(x) = x^3 - 3x$$ merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

Visible text: Tentukan interval agar fungsi merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

**Penyelesaian:**

**Langkah** $$1$$: Cari turunan pertama

Visible text: **Langkah** : Cari turunan pertama

Pertama, kita turunkan fungsi $$f(x)$$.

Visible text: Pertama, kita turunkan fungsi .

```math
f'(x) = 3x^2 - 3
```

**Langkah** $$2$$: Temukan titik stasioner

Visible text: **Langkah** : Temukan titik stasioner

Titik stasioner terjadi saat <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

Component: MathContainer
Children:

```math
3x^2 - 3 = 0
```

```math
x^2 - 1 = 0
```

```math
(x-1)(x+1) = 0
```

Dari sini, kita dapatkan titik-titik stasionernya adalah $$x = 1$$ dan $$x = -1$$.

Visible text: Dari sini, kita dapatkan titik-titik stasionernya adalah dan .

**Langkah** $$3$$: Buat garis bilangan dan uji interval

Visible text: **Langkah** : Buat garis bilangan dan uji interval

Kita letakkan titik stasioner pada garis bilangan. Titik-titik ini membagi garis menjadi tiga interval. Kita ambil satu titik uji dari setiap interval untuk mengetahui tanda <InlineMath math="f'(x)" /> (positif atau negatif).

-   **Interval $$x < -1$$:**

    Ambil $$x=-2$$. <InlineMath math="f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9" /> (Positif, fungsi naik).

-   **Interval $$-1 < x < 1$$:**

    Ambil $$x=0$$. <InlineMath math="f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3" /> (Negatif, fungsi turun).

-   **Interval $$x > 1$$:**

    Ambil $$x=2$$. <InlineMath math="f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9" /> (Positif, fungsi naik).

Visible text: - **Interval :**

 Ambil . <InlineMath math="f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9" /> (Positif, fungsi naik).

- **Interval :**

 Ambil . <InlineMath math="f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3" /> (Negatif, fungsi turun).

- **Interval :**

 Ambil . <InlineMath math="f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9" /> (Positif, fungsi naik).

**Langkah** $$4$$: Simpulkan intervalnya

Visible text: **Langkah** : Simpulkan intervalnya

Berdasarkan pengujian, kita dapat menyimpulkan:

-   Fungsi naik pada interval $$x < -1$$ atau $$x > 1$$.

-   Fungsi turun pada interval $$-1 < x < 1$$.

Visible text: - Fungsi naik pada interval atau .

- Fungsi turun pada interval .

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Kemonotonan Fungsi
- description: Grafik ini mengilustrasikan perilaku fungsi $$f(x) = x^3 - 3x$$.
Perhatikan bagaimana kurva naik saat turunannya positif, turun saat turunannya negatif, dan mendatar pada titik stasioner di mana <InlineMath math="f'(x)=0" />.
  Visible text: Grafik ini mengilustrasikan perilaku fungsi .
Perhatikan bagaimana kurva naik saat turunannya positif, turun saat turunannya negatif, dan mendatar pada titik stasioner di mana <InlineMath math="f'(x)=0" />.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.05;
const y = x ** 3 - 3 * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("LIME"),
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Naik",
at: 5,
offset: [-1, 1, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = -1 + i * 0.05;
const y = x ** 3 - 3 * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Turun",
at: 20,
offset: [0, -1, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 1 + i * 0.05;
const y = x ** 3 - 3 * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("LIME"),
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Naik",
at: 15,
offset: [1, 1, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: -1, y: 2, z: 0 }],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{
text: "Stasioner (-1, 2)",
offset: [-2.5, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 1, y: -2, z: 0 }],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{
text: "Stasioner (1, -2)",
offset: [2.5, -0.5, 0],
},
],
},
]

## Latihan

1.  Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun pada kurva $$f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$$.

2.  Jika fungsi $$f(x) = ax^3 + x^2 + 5$$ selalu naik dalam interval $$0 < x < 2$$, tentukanlah nilai dari koefisien $$a$$!

3.  Tentukan interval fungsi naik dan turun jika diketahui kurva $$f(x) = \sin 2x \cos 2x$$!

Visible text: 1. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun pada kurva .

2. Jika fungsi selalu naik dalam interval , tentukanlah nilai dari koefisien !

3. Tentukan interval fungsi naik dan turun jika diketahui kurva !

### Kunci Jawaban

1.  **Penyelesaian:**

    Turunan pertama dari $$f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$$ adalah <InlineMath math="f'(x) = 3x^2 - 6x" />.

    Titik stasioner didapat saat <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

    
    
    ```math
    3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0
    ```

    Titik stasionernya adalah $$x=0$$ dan $$x=2$$.

    Dengan menguji interval pada garis bilangan:

    -   Untuk $$x<0$$, <InlineMath math="f'(x)" /> positif (naik).

    -   Untuk $$0<x<2$$, <InlineMath math="f'(x)" /> negatif (turun).

    -   Untuk $$x>2$$, <InlineMath math="f'(x)" /> positif (naik).

    Jadi, fungsi naik pada $$x < 0$$ atau $$x > 2$$, dan turun pada interval $$0 < x < 2$$.

2.  **Penyelesaian:**

    Agar sebuah fungsi *selalu naik* pada suatu interval, turunan pertamanya harus non-negatif (<InlineMath math="f'(x) \ge 0" />) untuk setiap titik di dalam interval tersebut.

    <BlockMath math="f'(x) = 3ax^2 + 2x = x(3ax + 2)" />

    Pada interval $$0 < x < 2$$, faktor $$x$$ selalu positif. Oleh karena itu, agar <InlineMath math="f'(x) \ge 0" />, faktor kedua yaitu $$(3ax + 2)$$ juga harus non-negatif.

    
    
    ```math
    3ax + 2 \ge 0
    ```

    Ketidaksamaan ini harus terpenuhi untuk semua nilai $$x$$ dalam interval $$0 < x < 2$$. Karena $$h(x) = 3ax + 2$$ adalah fungsi linear, perilakunya monoton. Kita hanya perlu memastikan nilainya non-negatif pada titik ujung interval yang paling "kritis".

    -   Jika $$a \ge 0$$, maka $$3ax$$ juga non-negatif, sehingga $$3ax+2$$ pasti akan positif. Kondisi ini sudah terpenuhi.

    -   Jika $$a < 0$$, maka $$h(x)$$ adalah fungsi yang menurun. Nilai terkecilnya akan berada di ujung kanan interval ($$x=2$$). Agar $$h(x)$$ selalu non-negatif, kita cukup pastikan nilai minimumnya ini lebih besar atau sama dengan nol.

    Kita uji pada batas kritis $$x=2$$:

    <MathContainer>
        
        
        ```math
        3a(2) + 2 \ge 0
        ```

        
        
        ```math
        6a \ge -2
        ```

        
        
        ```math
        a \ge -1/3
        ```

    </MathContainer>

    Dengan menggabungkan kedua kasus tersebut, syarat agar fungsi selalu naik pada interval yang diberikan adalah $$a \ge -1/3$$.

3.  **Penyelesaian:**

    Gunakan identitas trigonometri sudut ganda: $$\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$$.

    Maka, $$f(x) = \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin(4x)$$.

    Turunan pertamanya adalah:

    <BlockMath math="f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(4x) \cdot 4 = 2\cos(4x)" />

    -   **Fungsi naik** saat <InlineMath math="f'(x) > 0" />, yaitu $$2\cos(4x) > 0$$ atau $$\cos(4x) > 0$$. Ini terjadi di kuadran $$\mathrm{I}$$ dan $$\mathrm{IV}$$.

        <MathContainer>
            
        
        ```math
        -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi
        ```

            
        
        ```math
        -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
        ```

        </MathContainer>

        Interval ini berlaku untuk setiap $$k$$ bilangan bulat.

    -   **Fungsi turun** saat <InlineMath math="f'(x) < 0" />, yaitu $$\cos(4x) < 0$$. Ini terjadi di kuadran $$\mathrm{II}$$ dan $$\mathrm{III}$$.

        <MathContainer>
            
        
        ```math
        \frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi
        ```

            
        
        ```math
        \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
        ```

        </MathContainer>

        Interval ini berlaku untuk setiap $$k$$ bilangan bulat.

Visible text: 1. **Penyelesaian:**

 Turunan pertama dari adalah <InlineMath math="f'(x) = 3x^2 - 6x" />.

 Titik stasioner didapat saat <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

 
 

 Titik stasionernya adalah dan .

 Dengan menguji interval pada garis bilangan:

 - Untuk , <InlineMath math="f'(x)" /> positif (naik).

 - Untuk , <InlineMath math="f'(x)" /> negatif (turun).

 - Untuk , <InlineMath math="f'(x)" /> positif (naik).

 Jadi, fungsi naik pada atau , dan turun pada interval .

2. **Penyelesaian:**

 Agar sebuah fungsi *selalu naik* pada suatu interval, turunan pertamanya harus non-negatif (<InlineMath math="f'(x) \ge 0" />) untuk setiap titik di dalam interval tersebut.

 <BlockMath math="f'(x) = 3ax^2 + 2x = x(3ax + 2)" />

 Pada interval , faktor selalu positif. Oleh karena itu, agar <InlineMath math="f'(x) \ge 0" />, faktor kedua yaitu juga harus non-negatif.

 
 

 Ketidaksamaan ini harus terpenuhi untuk semua nilai dalam interval . Karena adalah fungsi linear, perilakunya monoton. Kita hanya perlu memastikan nilainya non-negatif pada titik ujung interval yang paling "kritis".

 - Jika , maka juga non-negatif, sehingga pasti akan positif. Kondisi ini sudah terpenuhi.

 - Jika , maka adalah fungsi yang menurun. Nilai terkecilnya akan berada di ujung kanan interval (). Agar selalu non-negatif, kita cukup pastikan nilai minimumnya ini lebih besar atau sama dengan nol.

 Kita uji pada batas kritis :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Dengan menggabungkan kedua kasus tersebut, syarat agar fungsi selalu naik pada interval yang diberikan adalah .

3. **Penyelesaian:**

 Gunakan identitas trigonometri sudut ganda: .

 Maka, .

 Turunan pertamanya adalah:

 <BlockMath math="f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(4x) \cdot 4 = 2\cos(4x)" />

 - **Fungsi naik** saat <InlineMath math="f'(x) > 0" />, yaitu atau . Ini terjadi di kuadran dan .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Interval ini berlaku untuk setiap bilangan bulat.

 - **Fungsi turun** saat <InlineMath math="f'(x) < 0" />, yaitu . Ini terjadi di kuadran dan .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Interval ini berlaku untuk setiap bilangan bulat.