# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/turunan-fungsi/titik-ekstrim-nilai-balik-maksimum-dan-minimum
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/derivative-function/extrema-maximum-and-minimum-value/id.mdx

Pelajari cara mencari ekstrem dengan turunan pertama dan kedua, titik kritis, serta nilai maksimum dan minimum melalui contoh visual.

---

## Memahami Titik Ekstrim

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mencari nilai "terbaik", misalnya keuntungan terbesar, biaya terkecil, atau jarak terdekat. Dalam matematika, nilai-nilai optimal ini dikenal sebagai **nilai ekstrim**, yang terdiri dari **nilai maksimum** dan **nilai minimum**. Titik di mana nilai-nilai ini terjadi disebut **titik ekstrim**.

Titik ekstrim ini sangat erat kaitannya dengan titik stasioner, yaitu titik di mana gradien kurva sama dengan nol (<InlineMath math="f'(x)=0" />). Ada dua cara utama untuk menguji dan menentukan jenis titik stasioner, yaitu Uji Turunan Pertama dan Uji Turunan Kedua.

## Uji Turunan Pertama

Metode ini berfokus pada perubahan perilaku fungsi, yaitu naik atau turun, di sekitar titik stasioner. Dengan melihat perubahan tanda dari <InlineMath math="f'(x)" />, kita bisa mengidentifikasi jenis titik stasionernya.

-   **Nilai Balik Maksimum:** Terjadi jika fungsi berubah dari **naik menjadi turun**. Ini berarti tanda <InlineMath math="f'(x)" /> berubah dari **positif (+) menjadi negatif (-)**. Pikirkan ini seperti puncak sebuah bukit.

-   **Nilai Balik Minimum:** Terjadi jika fungsi berubah dari **turun menjadi naik**. Tanda <InlineMath math="f'(x)" /> berubah dari **negatif (-) menjadi positif (+)**. Ini seperti dasar sebuah lembah.

-   **Titik Belok Horizontal:** Terjadi jika fungsi tidak berubah arah (tetap naik atau tetap turun). Tanda <InlineMath math="f'(x)" /> tidak berubah (positif ke positif atau negatif ke negatif).

Visible text: - **Nilai Balik Maksimum:** Terjadi jika fungsi berubah dari **naik menjadi turun**. Ini berarti tanda <InlineMath math="f'(x)" /> berubah dari **positif (+) menjadi negatif (-)**. Pikirkan ini seperti puncak sebuah bukit.

- **Nilai Balik Minimum:** Terjadi jika fungsi berubah dari **turun menjadi naik**. Tanda <InlineMath math="f'(x)" /> berubah dari **negatif (-) menjadi positif (+)**. Ini seperti dasar sebuah lembah.

- **Titik Belok Horizontal:** Terjadi jika fungsi tidak berubah arah (tetap naik atau tetap turun). Tanda <InlineMath math="f'(x)" /> tidak berubah (positif ke positif atau negatif ke negatif).

Perhatikan visualisasi di bawah ini untuk memahami konsep titik balik.

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Uji Turunan Pertama
- description: Visualisasi konsep titik balik. Garis bantu horizontal menunjukkan gradien
nol pada titik maksimum dan minimum.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 2, 18]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x: x - 3, y: -(x ** 2) + 4, z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: -3, y: 4, z: 0 }],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Maksimum", offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -4, y: 4, z: 0 },
{ x: -2, y: 4, z: 0 },
],
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x: x + 3, y: x ** 2, z: 0 };
}),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 3, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Minimum", offset: [0, -0.75, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
]

Mari kita terapkan ini pada sebuah contoh. Tentukan nilai-nilai stasioner dari fungsi $$f(x) = x(x-3)^2$$.

Visible text: Mari kita terapkan ini pada sebuah contoh. Tentukan nilai-nilai stasioner dari fungsi .

**Penyelesaian:**

**Langkah** $$1$$: Cari turunan pertama

Visible text: **Langkah** : Cari turunan pertama

Kita jabarkan dulu fungsinya: $$f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$$.

Visible text: Kita jabarkan dulu fungsinya: .

Turunannya adalah:

```math
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
```

**Langkah** $$2$$: Temukan titik stasioner

Visible text: **Langkah** : Temukan titik stasioner

Atur <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

Component: MathContainer
Children:

```math
3x^2 - 12x + 9 = 0
```

```math
x^2 - 4x + 3 = 0
```

```math
(x-1)(x-3) = 0
```

Titik stasioner terjadi pada $$x = 1$$ dan $$x = 3$$.

Visible text: Titik stasioner terjadi pada dan .

**Langkah** $$3$$: Uji tanda di sekitar titik stasioner

Visible text: **Langkah** : Uji tanda di sekitar titik stasioner

-   **Sekitar $$x = 1$$:** Untuk $$x < 1$$ (misal $$x=0$$), <InlineMath math="f'(0) = 9" /> (positif). Untuk $$x > 1$$ (misal $$x=2$$), <InlineMath math="f'(2) = -3" /> (negatif). Karena tanda berubah dari (+) ke (-), maka $$x=1$$ adalah titik balik maksimum.

-   **Sekitar $$x = 3$$:** Untuk $$x < 3$$ (misal $$x=2$$), <InlineMath math="f'(2) = -3" /> (negatif). Untuk $$x > 3$$ (misal $$x=4$$), <InlineMath math="f'(4) = 9" /> (positif). Karena tanda berubah dari (-) ke (+), maka $$x=3$$ adalah titik balik minimum.

Visible text: - **Sekitar :** Untuk (misal ), <InlineMath math="f'(0) = 9" /> (positif). Untuk (misal ), <InlineMath math="f'(2) = -3" /> (negatif). Karena tanda berubah dari (+) ke (-), maka adalah titik balik maksimum.

- **Sekitar :** Untuk (misal ), <InlineMath math="f'(2) = -3" /> (negatif). Untuk (misal ), <InlineMath math="f'(4) = 9" /> (positif). Karena tanda berubah dari (-) ke (+), maka adalah titik balik minimum.

**Langkah** $$4$$: Tentukan nilai stasioner

Visible text: **Langkah** : Tentukan nilai stasioner

Untuk mendapatkan nilai balik (nilai $$y$$), substitusikan absis titik stasioner ($$x=1$$ dan $$x=3$$) kembali ke fungsi *awal* $$f(x)$$.

Visible text: Untuk mendapatkan nilai balik (nilai ), substitusikan absis titik stasioner ( dan ) kembali ke fungsi *awal* .

-   Nilai maksimum: $$f(1) = 1(1-3)^2 = 4$$.

-   Nilai minimum: $$f(3) = 3(3-3)^2 = 0$$.

Visible text: - Nilai maksimum: .

- Nilai minimum: .

Jadi, nilai balik maksimum fungsi adalah $$4$$ yang terjadi di titik $$(1,4)$$, dan nilai balik minimumnya adalah $$0$$ yang terjadi di titik $$(3,0)$$.

Visible text: Jadi, nilai balik maksimum fungsi adalah yang terjadi di titik , dan nilai balik minimumnya adalah yang terjadi di titik .

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Titik Ekstrim
- description: Visualisasi kurva $$f(x) = x(x-3)^2$$ dengan garis
singgung horizontal pada titik maksimum dan minimumnya.
  Visible text: Visualisasi kurva dengan garis
singgung horizontal pada titik maksimum dan minimumnya.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1.5, 2, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = -0.5 + i * 0.05;
const y = x * Math.pow(x - 3, 2);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 1, y: 4, z: 0 }],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Maksimum (1, 4)", offset: [0, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
{ x: 2, y: 4, z: 0 },
],
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [{ x: 3, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Minimum (3, 0)", offset: [0, -1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
]

## Uji Turunan Kedua

Metode ini seringkali lebih cepat karena tidak memerlukan pengujian interval. Uji ini menggunakan turunan kedua, <InlineMath math="f''(x)" />, untuk menentukan kecekungan kurva pada titik stasioner.

Misalkan <InlineMath math="f'(c) = 0" />.

-   Jika <InlineMath math="f''(c) < 0" />, maka $$f(c)$$ adalah **nilai balik maksimum**. Artinya, di titik itu kurva cekung ke bawah, seperti mangkuk terbalik.

-   Jika <InlineMath math="f''(c) > 0" />, maka $$f(c)$$ adalah **nilai balik minimum**. Artinya, di titik itu kurva cekung ke atas, seperti mangkuk terbuka.

-   Jika <InlineMath math="f''(c) = 0" />, uji ini **gagal** dan kita harus kembali menggunakan Uji Turunan Pertama. Titik ini kemungkinan adalah titik belok.

Visible text: - Jika <InlineMath math="f''(c) < 0" />, maka adalah **nilai balik maksimum**. Artinya, di titik itu kurva cekung ke bawah, seperti mangkuk terbalik.

- Jika <InlineMath math="f''(c) > 0" />, maka adalah **nilai balik minimum**. Artinya, di titik itu kurva cekung ke atas, seperti mangkuk terbuka.

- Jika <InlineMath math="f''(c) = 0" />, uji ini **gagal** dan kita harus kembali menggunakan Uji Turunan Pertama. Titik ini kemungkinan adalah titik belok.

Tentukan nilai-nilai ekstrim dari $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$$ dengan uji turunan kedua.

Visible text: Tentukan nilai-nilai ekstrim dari dengan uji turunan kedua.

**Penyelesaian:**

**Langkah** $$1$$: Cari turunan pertama dan kedua

Visible text: **Langkah** : Cari turunan pertama dan kedua

Component: MathContainer
Children:

```math
f'(x) = x^2 - 2x - 3
```

```math
f''(x) = 2x - 2
```

**Langkah** $$2$$: Temukan titik stasioner

Visible text: **Langkah** : Temukan titik stasioner

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2 - 2x - 3 = 0
```

```math
(x-3)(x+1) = 0
```

Titik stasioner terjadi pada $$x = 3$$ dan $$x = -1$$.

Visible text: Titik stasioner terjadi pada dan .

**Langkah** $$3$$: Uji titik stasioner ke turunan kedua

Visible text: **Langkah** : Uji titik stasioner ke turunan kedua

-   Untuk $$x = 3$$: <InlineMath math="f''(3) = 2(3) - 2 = 4" />. Karena $$4 > 0$$, ini adalah **nilai balik minimum**.

-   Untuk $$x = -1$$: <InlineMath math="f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4" />. Karena $$-4 < 0$$, ini adalah **nilai balik maksimum**.

Visible text: - Untuk : <InlineMath math="f''(3) = 2(3) - 2 = 4" />. Karena , ini adalah **nilai balik minimum**.

- Untuk : <InlineMath math="f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4" />. Karena , ini adalah **nilai balik maksimum**.

**Langkah** $$4$$: Hitung nilai ekstrim

Visible text: **Langkah** : Hitung nilai ekstrim

Substitusikan $$x=3$$ dan $$x=-1$$ ke fungsi awal untuk mendapatkan nilai ekstrimnya.

Visible text: Substitusikan dan ke fungsi awal untuk mendapatkan nilai ekstrimnya.

-   Nilai minimum: $$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$$.

-   Nilai maksimum: $$f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 2 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 2 = \frac{11}{3}$$.

Visible text: - Nilai minimum: .

- Nilai maksimum: .

Jika kita perhatikan pada visualisasi di bawah ini, kurva cekung ke bawah di titik $$x=-1$$ dan cekung ke atas di titik $$x=3$$.

Visible text: Jika kita perhatikan pada visualisasi di bawah ini, kurva cekung ke bawah di titik dan cekung ke atas di titik .

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Uji Turunan Kedua
- description: Grafik $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$$. Garis
bantu menandai titik maksimum, di mana kurva cekung ke bawah, dan
minimum, di mana kurva cekung ke atas.
  Visible text: Grafik . Garis
bantu menandai titik maksimum, di mana kurva cekung ke bawah, dan
minimum, di mana kurva cekung ke atas.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1, -2, 20]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.08;
const y = (1 / 3) * x ** 3 - x ** 2 - 3 * x + 2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: -1, y: 11 / 3, z: 0 }],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Maksimum (-1, 11/3)", offset: [-1, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -2, y: 11 / 3, z: 0 },
{ x: 0, y: 11 / 3, z: 0 },
],
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [{ x: 3, y: -7, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Minimum (3, -7)", offset: [1, -1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: -7, z: 0 },
{ x: 4, y: -7, z: 0 },
],
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
]

## Latihan

1. Tentukan titik stasioner untuk fungsi $$y = x^2 + 2x - 3$$.

Visible text: 1. Tentukan titik stasioner untuk fungsi .

### Kunci Jawaban

1.  **Penyelesaian:**

    **Langkah** $$1$$: Cari turunan pertama

    <BlockMath math="f'(x) = 2x + 2" />

    **Langkah** $$2$$: Cari titik stasioner

    Atur <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

    
    
    ```math
    2x + 2 = 0 \implies x = -1
    ```

    **Langkah** $$3$$: Cari nilai $$y$$

    Substitusikan $$x = -1$$ ke fungsi awal.

    
    
    ```math
    y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
    ```

    Jadi, titik stasionernya adalah $$(-1, -4)$$. Dengan Uji Turunan Kedua (<InlineMath math="f''(x)=2 > 0" />), titik ini adalah titik minimum.

Visible text: 1. **Penyelesaian:**

 **Langkah** : Cari turunan pertama

 <BlockMath math="f'(x) = 2x + 2" />

 **Langkah** : Cari titik stasioner

 Atur <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

 
 

 **Langkah** : Cari nilai 

 Substitusikan ke fungsi awal.

 
 

 Jadi, titik stasionernya adalah . Dengan Uji Turunan Kedua (<InlineMath math="f''(x)=2 > 0" />), titik ini adalah titik minimum.