# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/turunan-fungsi/turunan-fungsi-aljabar
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/derivative-function/derivative-of-algebraic-function/id.mdx

Pelajari diferensiasi fungsi aljabar menggunakan aturan pangkat, hasil kali, dan hasil bagi. Pelajari cara menurunkan polinomial, akar, dan fungsi rasional.

---

## Menerapkan Aturan Turunan

Setelah kita menguasai berbagai [sifat turunan](/id/materi/matematika/turunan-fungsi/sifat-turunan-fungsi), kini saatnya untuk mengaplikasikannya pada berbagai bentuk fungsi aljabar. Baik itu polinomial, fungsi rasional, atau yang mengandung bentuk akar, kuncinya adalah mengenali struktur fungsi dan memilih 'alat' atau sifat yang tepat untuk menurunkannya. Mari kita lihat bagaimana strategi ini diterapkan dalam beberapa contoh.

## Penggunaan Sifat Turunan

Mari kita lihat bagaimana sifat-sifat turunan bekerja dalam praktik melalui beberapa contoh.

### Menurunkan Polinomial

Tentukan turunan pertama dari $$y = 4x^2 + x + 2$$.

Visible text: Tentukan turunan pertama dari .

**Penyelesaian:**

Kita bisa menurunkan setiap suku satu per satu menggunakan aturan pangkat dan aturan konstanta.

Component: MathContainer
Children:

```math
y' = (4 \cdot 2)x^{2-1} + (1 \cdot 1)x^{1-1} + 0
```

```math
y' = 8x^1 + 1x^0
```

```math
y' = 8x + 1 \quad (\text{karena } x^0=1)
```

### Menaklukkan Bentuk Akar

Tentukan turunan pertama dari $$y = x\sqrt{x^3}$$.

Visible text: Tentukan turunan pertama dari .

**Penyelesaian:**

Ada dua cara untuk menyelesaikan ini.

**Cara $$1$$: Menggunakan Aturan Hasil Kali**

Visible text: **Cara : Menggunakan Aturan Hasil Kali**

Pertama, kita ubah bentuk akar menjadi pangkat: $$y = x \cdot x^{3/2}$$.

Visible text: Pertama, kita ubah bentuk akar menjadi pangkat: .

Misalkan $$u(x) = x$$ dan $$v(x) = x^{3/2}$$. Maka, <InlineMath math="u'(x)=1" /> dan <InlineMath math="v'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}" />.

Visible text: Misalkan dan . Maka, <InlineMath math="u'(x)=1" /> dan <InlineMath math="v'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}" />.

Component: MathContainer
Children:

```math
y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
```

```math
y' = (1)(x^{3/2}) + (x)(\frac{3}{2}x^{1/2})
```

```math
y' = x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{3/2}
```

```math
y' = \frac{5}{2}x^{3/2}
```

**Cara $$2$$: Menyederhanakan Terlebih Dahulu**

Visible text: **Cara : Menyederhanakan Terlebih Dahulu**

Kita bisa menyederhanakan fungsinya sebelum diturunkan.

Component: MathContainer
Children:

```math
y = x \cdot x^{3/2} = x^{1 + 3/2} = x^{5/2}
```

```math
y' = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2}
```

> Kedua cara memberikan hasil yang sama. Terkadang, menyederhanakan fungsi terlebih dahulu dapat membuat proses penurunan menjadi lebih cepat.

### Mengatasi Fungsi Rasional

Tentukan turunan pertama dari $$y = 2\left(\frac{x^2+2}{x}\right)$$.

Visible text: Tentukan turunan pertama dari .

**Penyelesaian:**

Kita gunakan aturan hasil bagi. Misalkan $$u(x) = x^2+2$$ dan $$v(x) = x$$. Maka <InlineMath math="u'(x) = 2x" /> dan <InlineMath math="v'(x) = 1" />.

Visible text: Kita gunakan aturan hasil bagi. Misalkan dan . Maka <InlineMath math="u'(x) = 2x" /> dan <InlineMath math="v'(x) = 1" />.

Component: MathContainer
Children:

```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\right)
```

```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{(2x)(x) - (x^2+2)(1)}{x^2}\right)
```

```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{2x^2 - x^2 - 2}{x^2}\right)
```

```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{x^2 - 2}{x^2}\right)
```

```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{x^2}{x^2} - \frac{2}{x^2}\right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{2}{x^2}\right) = 2 - \frac{4}{x^2}
```

## Latihan

1.  Tentukan turunan pertama dari $$y = \frac{\sqrt{x} + x^2}{2x}$$.

Visible text: 1. Tentukan turunan pertama dari .

### Kunci Jawaban

1.  Untuk soal ini, cara termudah adalah dengan menyederhanakan fungsi terlebih dahulu sebelum menurunkannya.

    **Langkah** $$1$$: Urai Pecahan

    Kita bisa memecah pecahan menjadi dua bagian terpisah untuk mempermudah.

    
    
    ```math
    y = \frac{\sqrt{x}}{2x} + \frac{x^2}{2x}
    ```

    **Langkah** $$2$$: Sederhanakan Setiap Suku

    Ubah bentuk akar menjadi pangkat $$x^{1/2}$$ dan gunakan sifat eksponen untuk menyederhanakan setiap suku.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    y = \frac{x^{1/2}}{2x^1} + \frac{x^2}{2x^1}
    ```

      
    
    ```math
    y = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} + \frac{1}{2}x^{2-1}
    ```

      
    
    ```math
    y = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x
    ```

    </MathContainer>

    **Langkah** $$3$$: Terapkan Aturan Pangkat

    Setelah fungsi menjadi sederhana, kita bisa langsung menurunkannya suku per suku.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="y' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1}\right) + \frac{1}{2}(1)" />
      <BlockMath math="y' = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{1}{2}" />
    </MathContainer>

    Jadi, turunan pertamanya adalah $$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}x^{-3/2}$$.

Visible text: 1. Untuk soal ini, cara termudah adalah dengan menyederhanakan fungsi terlebih dahulu sebelum menurunkannya.

 **Langkah** : Urai Pecahan

 Kita bisa memecah pecahan menjadi dua bagian terpisah untuk mempermudah.

 
 

 **Langkah** : Sederhanakan Setiap Suku

 Ubah bentuk akar menjadi pangkat dan gunakan sifat eksponen untuk menyederhanakan setiap suku.

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 **Langkah** : Terapkan Aturan Pangkat

 Setelah fungsi menjadi sederhana, kita bisa langsung menurunkannya suku per suku.

 <MathContainer>
 <BlockMath math="y' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1}\right) + \frac{1}{2}(1)" />
 <BlockMath math="y' = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{1}{2}" />
 </MathContainer>

 Jadi, turunan pertamanya adalah .